БСЭ1/Математика

← Матейко, Ян

Математика Большая советская энциклопедия (1-е издание)

Математика в школе →

Словник: Маммилярия — Мера стоимости. Источник: т. XXXVIII (1938): Маммилярия — Мера стоимости, стлб. 59—402

МАТЕМАТИКА. Содержание:

I.

Определение основные этапы развития  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

359

М. как наука о числах, величинах и геометрических фигурах. История математики до начала 17 в.: а) Египет, Вавилония, б) Греция, в) Эллинистическая и Римская эпоха, г) Индия, д) Арабы, е) Западная Европа до 16 в., ж) 16 век.
M. как наука об изменении величин и о геометрических преобразованиях. История М. в 17 и 18 вв.: а) 17 век, б) 18 век.
М. как наука о количественных и пространственных формах действительного мира во всей их общности. История М. в 19 веке.

II.

Математический метод  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

380

М. и другие науки.—М. и техника.—Математическая абстракция.—Математический алгоритм.—Аксиоматический метод.—Заключение об общем характере развития М.

III.

Современная организация математического исследования  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

394

IV.

Математика в России и в СССР  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

398

М. в дореволюционной России.—М. в СССР.

I. Определение, основные этапы развития.

Математика есть наука о количественных и пространственных формах и отношениях реального мира.

«Чистая математика имеет своим предметом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, т. е. весьма реальное содержание. Тот факт, что это содержание проявляется в крайне абстрактной форме, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира. Чтобы изучить эти формы и отношения в их чистом виде, следует их оторвать совершенно от их содержания, устранить его как нечто безразличное для дела. Так получаются точки без протяжения, линии без толщины и ширины, $a$ и $b$, $x$ и $y$, постоянные и переменные» (Энгельс, Анти-Дюринг, в книге: Маркс и Энгельс, Сочинения, том XIV, М. — Л., 1931, стр. 39).

Действительный объем этого общего определения проще всего понять, рассмотрев основные понятия и разделы М. в порядке их возникновения. Мы увидим, что само это определение таит в себе возможности развития, приобретая’ новый, более широкий смысл с ростом науки. При этом мы отмётим и более узкие определения, которые математика уже переросла.

М. как наука о числах, величинах и геометрических фигурах.

До начала 17 в. математические исследования имеют дело почти исключительно с очень ограниченным запасом основных понятий, возникших еще на очень ранних ступенях исторического развития в связи с самыми элементарными запросами хозяйственной жизни, сводившимися к простому счету предметов, измерению количества продуктов, площадей земельных участков, определению размеров отдельных частей архитектурных сооружений, измерению времени, коммерческим расчетам и т. п. Первые шаги механики и физики, за исключением отдельных исследований Архимеда, требовавших уже начатков исчисления бесконечно-малых, могли еще удовлетвориться этим же запасом основных математич. понятий. Единственной наукой, к-рая еще задолго до широкого развития математич. изучения явлений природы в 17—18 вв. систематически предъявляла М. свои особые и очень большие требования, была астрономия, целиком обусловившая, напр., раннее развитие тригонометрии. Этот запас понятий, к-рым жила М. до начала 17 в., и до наст. времени составляет основу «элементарной математики», преподаваемой в начальной и средней школе. Каковы же эти понятия? Простейшей количественной формой является натуральное (целое положительное) число. Натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5,... являются основным предметом изучения древнейшей математич. науки — арифметики (см.).

Второй, почти столь же примитивной, количественной формой являются непрерывные величины: длины, площади, объемы, скорости и т. д. Древне-греческими геометрами была создана исчерпывающая теория величин. Рассмотрение отношений величин, или, иначе говоря, измерение одной величины при помощи другой, взятой за единицу меры, приводит к новым числам, в простейших случаях — рациональным (выражающимся при помощи дробей), вообще же — и к иррациональным. Непосредственное рассмотрение величин может теперь быть заменено рассмотрением измеряющих их чисел, сам же запас чисел, изучаемых арифметикой, существенно расширяется. Этот решающий шаг в развитии М., несмотря на то, что простейшие операции с дробями относятся, несомненно, еще к доисторическим временам, оказался в полном объеме непосильным М. древнего мира и был окончательно завершен лишь в М. нового времени. Если элементарная арифметика в ее первоначальной форме учит производить действия над известными (заданными нам) числами, то первой задачей алгебры (см.) явилось научиться выражать общие свойства чисел и рассуждать и вычислять с неизвестными нам числами, особенно при решении уравнений (см.). Алгебра получила большое развитие в Эллинистическую эпоху и сделалась центром математических исследований у индусов и арабов в Средние века. Развитие алгебры тесно связано с созданием алгебраического буквенного исчисления, к-рое, однако, получило свою окончательную форму лишь много позднее — в новое время. — Вычисления с неизвестными числами привели еще математиков Эллинистической эпохи к вопросу об употреблении отрицательных чисел (см.). Индусские и арабские математики, усмотрев реальный смысл отрицательных чисел в измерении направленных величин, ввели их окончательно в М. Что касается комплексных чисел (см.), так же естественно возникающих из потребностей алгебры (при решении квадратных уравнений и уравнений более высоких степеней), то их природа на рассматриваемом сейчас этапе развития М. так и осталась неясной. — Рядом с арифметикой и алгеброй развивается геометрия (см.). В своем первоначальном виде она занимается пространственными формами окружающих нас материальных твердых тел, т. е. геометрическими фигурами. Запас изучаемых геометрией геометрич. фигур постепенно растет. Еще математики древнего мира присоединили к фигурам, составляющим собственный предмет изучения элементарной геометрии (многоугольники, многогранники, круги, шары, конусы), конические сечения и некоторые другие кривые, определяемые простыми геометрич. условиями.

С самого своего возникновения геометрия тесно переплетается с арифметикой и затем с алгеброй при измерении площадей и объемов. Потребности астрономии вызывают, далее, к жизни уже в Эллинистическую эпоху тригонометрию (см.), что существенно увеличивает роль измерения и числа в геометрии. Однако за пределами той ее части, к-рая явно связана с измерением величин (длин кривых, площадей, объемов, углов), геометрия надолго еще остается независимой от количественных понятий. Мы перечислили основные понятия и задачи, с к-рыми М. имела дело вплоть до 17 в. В этих пределах М. действительно можно было определять как науку о числах, величинах и геометрич. фигурах. Такова первая конкретная историч. форма проявления общего определения М., данного в начале статьи.

История М. до начала 17 в. а) Египет, Вавилония. Сохранившиеся математич. тексты древнего Египта и Вавилонии состоят, по преимуществу, из примеров на решение отдельных задач и, в лучшем случае, рецептов для их решения. Иногда эти рецепты удается восстановить, лишь анализируя числовые примеры, данные в текстах. Следует говорить именно о рецептах для решения отдельных типов задач, т. к. математич. теории в смысле доказательств общих теорем, видимо, вовсе не существовало. На это указывает то, что точные решения употребляются без всякого отличия от приближенных, часто же систематически употребляются ошибочные рецепты. Тем не менее, самый запас добытых математич. фактов был, в соответствии с высокой строительной техникой, сложностью земельных отношений, потребностью в точном календаре и т. п., довольно велик. По папирусам первой половины 2-го тысячелетия до хр. э. состояние египетской М. того времени рисуется в следующих чертах. Преодолев все трудности действий с целыми числами, на основе системы счисления, понятной из примера
египтяне создали своеобразный, но довольно сложный аппарат действий с дробями, требовавший специальных вспомогательных таблиц. Систематически решались задачи на нахождение неизвестных чисел, к-рые были бы теперь записаны в виде уравнений с одним неизвестным. Геометрия сводилась к правилам вычисления площадей и объемов. Правильно вычислялись площади треугольника и трапеции, объемы параллелепипеда и пирамиды с квадратным основанием. Наивысшим достижением в этом направлении можно считать вычисление объема усеченной пирамиды с квадратным основанием, соответствующее формуле

$V={\frac {h}{3}}(a^{2}+ab+b^{2}).$

Известные рецепты вычисления площади круга и объемов цилиндра и конуса соответствуют иногда приближенному значению $\pi =3$, иногда гораздо более точному $\pi =({\frac {16}{9}})^{2}=3,1605...$ Сама задача определения длины окружности, видимо, не ставилась.

Клинописных математич. текстов, позволяющих судить о вавилонской М., несравненно больше, чем египетских. Они охватывают период от времени Хаммураби (ок. 2000 до хр. э.) вплоть до возникновения и развития греческой М. Однако уже первые из этих текстов застают вавилонскую М. в периоде ее расцвета; дальнейшие тексты, несмотря на наличие нек-рых новых моментов, рисуют в целом скорее ее упадок. Семитическая Вавилония времен Хаммураби получила еще от сумерских времен развитую смешанную десятично-шестидесятеричную систему нумерации, заключавшую уже в себе позиционный принцип (одни и те же знаки обозначают одно и то же число единиц разных шестидесятеричных разрядов). Напр.:

Аналогично обозначались и шестидесятеричные дроби.Это позволило совершать действия с целыми числами и с шестидесятеричными дробями по единообразным правилам. Деление при помощи таблиц обратных чисел сводилось к умножению. В более поздних текстах вычисление обратных величин доводится до восьмого шестидесятеричного знака. Кроме таблиц обратных чисел, имеются таблицы произведений, квадратов, квадратных и кубических корней. Большое количество хозяйственных записей доказывает широкое употребление всех этих средств в сложной дворцовой и храмовой хозяйственной деятельности. Существовали также сложные расчеты процентов по долгам. Имеется, далее, ряд текстов времен Хаммураби, посвященных систематическому решению задач, сводящихся к уравнениям первой, второй и третьей степени. По гипотезе О. Нейгебауера, мы имеем дело с возникновением в кругах «школ писцов», где ученики подготавливались к счетно-хозяйственной деятельности, собственно научных математич. интересов, не ограничивающихся непосредственно необходимой в практике рецептурой, а приводивших уже к созданию общих алгебраич. методов решения задач. Тексты такого рода исчезают в более позднюю эпоху. Зато еще далее развивается техника вычислений с многозначными числами в связи с развитием в первом тысячелетии до хр. э. более точных методов в астрономии. На почве астрономии возникают далее первые обширные таблицы эмпирически найденных зависимостей, в к-рых можно видеть прообраз идеи функциональной зависимости. Вавилонская клинописная математич. традиция продолжается в Ассирии, персидском государстве и даже в Эллинистическую эпоху (последние клинописные тексты — ок. 200 до хр. э.). В области геометрии вавилонская М. находилась на уровне, близком к египетской. Следует лишь отметить разработанное измерение углов и нек-рые зачатки тригонометрии, связанные, очевидно, с развитием астрономии.

б) Греция. Развитие М. в Греции приняло существенно иное направление, чем на Востоке. Если в отношении вычислительной техники, искусства решения задач алгебраического характера и развития математических средств астрономии лишь в Эллинистическую эпоху был достигнут и превзойден уровень вавилонской М., то уже гораздо раньше М. в Греции вступила в совершенно новый этап логического развития. Появилась потребность в отчетливых математич. доказательствах, были сделаны первые попытки систематического построения математич. теории. В соответствии с этим М. перестала быть безличной, как она была на В.; она создается теперь известными по именам математиками, оставившими после себя, хотя бы и дошедшие до нас лишь в отрывках, сохраненных позднейшими комментаторами, математич. сочинения. Это изменение характера математич. науки объясняется более развитой общественно-политической и культурной жизнью греческих государств, приведшей к высокому развитию диалектики, искусства спора, к привычке отстаивать свои утверждения в борьбе с противником. Возникновение независимой от религии философской мысли привело к потребности в рациональном объяснении явлений природы, что поставило перед М. новые задачи.

Греки считали себя в области арифметики учениками финикиян, объясняя высокое развитие арифметики у этих последних потребностями их обширной торговли, начало же греч. геометрии традиция связывает с путешествиями первых греч. геометров и философов — Фалеса Милетского (конец 7 — нач. 6 вв.) и Пифагора Самосского (ок. 580 — ок. 500) — в Египет. — В области геометрии задачи, к-рыми занимались греч. геометры 6—5 вв. до хр. э. после усвоения египетского наследства, также естественно возникают из простейших запросов строительного искусства, землемерия и навигации. Таковы, напр., вопросы о соотношении между длинами катетов и гипотенузы прямоугольного треугольника (выражаемом «теоремой Пифагора»), о соотношении между площадями подобных фигур, о квадратуре круга, трисекции угла и об удвоении куба. Новым, однако, является подход к этим задачам, ставший необходимым с усложнением предмета исследования. Не ограничиваясь приближенными, эмпирически найденными, решениями, греческие геометры ищут точных доказательств и логически исчерпывающих решений проблемы. Теорема Пифагора приводит их к доказательству несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной. Испробовав элементарные средства решения задач о трисекции угла и квадратуре круга, Гиппий из Элиды ок. 420 до хр. э. решает эти задачи при помощи построения специальной трансцендентной кривой. Первый систематический учебник геометрии приписывается Гиппократу Хиосскому, жившему в конце 5 в. К этому времени несомненно уже существует разработанная система геометрии, не пренебрегающая такими логическими тонкостями, как доказательство случаев равенства треугольников и т. п. Отражением в М. первых, хотя бы и чисто умозрительных, попыток рационального объяснения строения материи явилось едва ли не самое поразительное достижение геометрии 5 в. — разыскание всех пяти правильных многогранников — результат поисков идеальных простейших тел, могущих служить основными камнями мироздания (это открытие приписывается Тимею из Локр). — В школе Пифагора арифметика из простого искусства счисления перерастает в теорию чисел. Суммируются простейшие арифметические прогрессии [в частности $1+3+5+\ldots ++(2n-1)=n^{2}$]; изучаются делимость чисел, различные виды средних (арифметическое, геометрическое и гармоническое). Более изысканные вопросы теории чисел (вроде разыскания «совершенных» и «дружественных» чисел) связываются в школе Пифагора с мистическим магическим значением, приписываемым числовым соотношениям. В связи с геометрии, теоремой Пифагора был найден метод получения неограниченного ряда троек «пифагоровых чисел», т. е. троек чисел, удовлетворяющих соотношению $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ (полное решение задачи о разыскании всех таких троек приписывается Платону). Уже во второй половине 5 в. до хр. э. философская и научная жизнь Греции сосредоточивается в Афинах, где находят себе приют ученые с различных концов греч. мира. Здесь протекает основная деятельность упоминавшихся выше Гиппия из Элиды, Гиппократа Хиосского и Тимея из Локр. — В 4 в., в обстановке политич. реакции и упадка могущества Афин, центром математич. исследований становится платоновская «Академия». Это — эпоха известного подчинения М. ограничениям, выдвинутым идеалистич. философией. Наука о числах строго отделяется здесь от «искусства счисления», а геометрия — от «искусства измерения». Опираясь на существование несоизмеримых отрезков, площадей и объемов, Аристотель (384—322) налагает общий запрет на применение арифметики к геометрии (Aristoteles, Analyt. post. 1,7.75, а). В самой геометрии проводится строгое ограничение построениями, осуществимыми при помощи циркуля и линейки, и найденные в эту же эпоху решения «Делосской задачи» об удвоении куба объявляются лежащими вне геометрии (см. высказывания, приписываемые Платону у Плутарха, Quaest. Conviv., VIII, 92,1). Заслугой платоновской школы является начало сознательного изучения методов математич. доказательств. Наиболее значительным конкретным достижением математиков 4 в. можно считать связанные с той же тенденцией к логическому анализу основ геометрии исследования Эвдокса (ум. ок. 355 до хр. э.), разработавшего теорию пропорций и давшего первое доказательство теоремы об объеме пирамиды (известной в качестве эмпирического факта египтянам с начала 2-го тысячелетия до хр. э., см. выше). По поводу этого доказательства им было формулировано общее основное допущение (называемое часто аксиомой Архимеда), лежащее в основе метода исчерпывания (см. Исчерпывания метод). — В стороне от основного течения М. 4 в. до хр. э. следует отметить начало математич. разработки механики у Архита Тарентского (ок. 430—365 до хр. э.), полководца и автора одного из упоминавшихся решений задачи об удвоении куба.

в) Эллинистическая и Римская эпоха. С 3 в. до хр. э. на протяжении семи столетий (до сожжения патриархом Феофилом Александрийской библиотеки в 389) основным центром научных и, особенно, математич. исследований является Александрия. Здесь, в обстановке объединения различных мировых культур, больших государственных и строительных задач и невиданного ранее по своей широте государственного покровительства науке, греческая М. достигла своего высшего расцвета. Несмотря на распространение греч. образованности и научных интересов по всем концам эллинистического и римского мира, Александрия с ее «музеем», являвшимся первым научно-исследовательским институтом в современном смысле слова, и ее библиотеками обладала столь большой притягательной силой, что почти все крупнейшие научные силы стекались сюда. Из упоминающихся ниже математиков лишь Архимед остался верным родным Сиракузам. — Наибольшей напряженностью математич. творчества отличается первый век Александрийской эпохи (3 г. до хр. э.). Этому веку принадлежат Эвклид, Архимед (ок. 287—212), Эратосфен (276—195?) и Аполлоний (265—170). Сложные гидротехнич. сооружения (напр. Архимедов винт), требования военной техники (метательные машины Архимеда), запросы мореплавания (исследования Архимеда о равновесии и устойчивости плавающих тел), развитие геодезии и картографии (определение Эратосфеном размеров земного шара), а также развитие точных астрономич. измерений и вычислений (Эратосфен находит Юлианское приближение к длине года=365¼ дней), наконец, развитие механики и оптики — все это поставило перед М. множество новых задач. 3 век до хр. э. является периодом плодотворного соединения соответствующего этим требованиям стремительного развития М. вширь с глубиной теоретической мысли. В частности возникший из прикладных нужд интерес к приближенному измерению величин и приближенным вычислениям не привел математиков 3 в. к отказу от математич. строгости. Все многочисленные, производившиеся ими, приближенные извлечения корней и даже все астрономич. вычисления проделывались с точным указанием границ погрешности, по типу знаменитого архимедова определения длины окружности в форме безукоризненно доказанных неравенств

$3{\frac {1}{7}}d<P<3{\frac {10}{71}}d$
(где $P$ — длина окружности с диаметром $d$). Это отчетливое понимание того, что приближенная М. не есть «нестрогая» М., было позднее надолго забыто.

В своих «Элементах» Эвклид (см.) собирает и подвергает окончательной логич. переработке достижения предыдущего периода в области геометрии, дав этим на тысячелетия образец строго систематического изложения геометрии. Вместе с тем в «Элементах» же Эвклид впервые закладывает основы систематич. теории чисел, доказывая бесконечность ряда простых чисел и строя законченную теорию делимости. Здесь же впервые суммируется геометрич. прогрессия. Наконец, «Элементы» содержат в шестой и десятой книгах своеобразную геометрич. замену алгебры, позволявшую в геометрической форме не только решать квадратные уравнения, но и делать довольно сложные преобразования иррациональных выражений. В духе этой же «геометрической алгебры» Архимед формулирует свою теорему о сумме квадратов членов арифметич. прогрессии. — Из геометрических работ Эвклида, не вошедших в «Элементы», и работ Аполлония наибольшее значение для дальнейшего развития М. имело создание законченной теории конических сечений (см.). Основной заслугой Архимеда в геометрии явилось определение различнейших площадей и объемов (в том числе площадей параболического сегмента и поверхности шара, объемов шара, шарового сегмента, сегмента параболоида и т. д.) и центров тяжести (напр. шарового сегмента и сегмента параболоида). «Спираль Архимеда» является одним из примеров изучавшихся в 3 в. до хр. э. трансцендентных кривых. — В течение следующих столетий, несмотря на дальнейший рост объема научных знаний, александрийская наука уже не достигала прежней цельности и глубины. В астрономии это выразилось в том, что, несмотря на возросшую точность наблюдений и усовершенствование математического аппарата, вполне усвоенные лучшими умами 3 в. идеи Аристарха Самосского о движении Земли вокруг Солнца и о расстояниях до неподвижных звезд были забыты. В М. зачатки анализа бесконечно-малых, содержавшихся в эвристических приемах Архимеда (сообщенных им в специальном сочинении «О методе» с указанием на их нестрогость — в окончательном изложении он считал нужным заменять их методом исчерпывания), не получили дальнейшего развития.

Основным дефектом всей М. древнего мира было отсутствие понятия иррационального числа. Мы уже видели, что это обстоятельство привело философию 4 в. до хр. э. к полному отрицанию законности применения арифметики к изучению геометрич. величин. В действительности, в теории пропорций и в методе исчерпывания математикам 4 и 3 вв. до хр. э. все же удалось косвенным образом осуществить это применение арифметики к геометрии. Ближайшие века принесли не положительное разрешение проблемы путем создания фундаментального нового понятия (иррационального числа), а просто постепенное ее забвение, ставшее возможным с постепенной утратой представлений о математич. строгости. На этом этапе развития временный отказ от математич. строгости оказался, однако, полезным для развития математики, открыв пути к беспрепятственному развитию алгебры, допускавшейся в рамках строгих концепций эвклидовых «Элементов» лишь в чрезвычайно стеснительной форме «геометрической алгебры» отрезков, площадей — и объемов.

Первый шаг в этом направлении был сделан в «Метрике» Герона (вероятно 2 в. до хр. э.), известного особенно своими работами по геодезии, легшими в основу грандиозной практической деятельности римских геодезистов. В этом замечательном сочинении, являющемся первым самостоятельным изложением приемов вычислительной геометрии, мы находим, между прочим, формулу Герона $\triangle ={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$ для площади треугольника (под знаком корня произведение четырех отрезков — выражение геометрически бессмысленное). Однако самостоятельное и широкое развитие настоящего алгебраич. исчисления мы видим лишь в «Арифметике» Диофанта (конец 3 в. хр. э.), посвященной в основном решению уравнений. Здесь формулируется правило перенесения членов с одной стороны на другую, употребляется умножение обеих сторон уравнения на одно и то же выражение, даются общие приемы решения квадратных уравнений; решаются также нек-рые задачи, приводящие к уравнениям третьей степени, и задачи на неопределенные уравнения с несколькими неизвестными. Диофант ищет всегда положительные решения; однако при умножении алгебраич. выражений употребляет правило для умножения «отнимаемых» чисел, предваряющее позднейшие правила действий с отрицательными числами. Относя свои исследования к чистой арифметике, Диофант, естественно, ограничивается, в отличие от практика Герона, рациональными решениями, исключая тем самым возможность геометрических или механических приложений своей алгебры. — Тригонометрия воспринимается в древнем мире в большей мере как часть астрономии, а не как часть М. К ней также, как к вычислительной геометрии Герона, не предъявляется требований полной строгости формулировок и доказательств. Гиппарх (2 в. до хр. э.) первый составляет таблицы хорд, заменявшие соврем. таблицы синусов. Основы сферич. тригонометрии в почти соврем, виде создаются Менелаем (1 в. хр. э.) и Клавдием Птолемеем (2 в.). Птолемею же принадлежит инициатива систематич. употребления широт и долгот для обозначения география, мест, т. е. первой системы координат.

В области чистой М. деятельность ученых последних веков древнего мира (кроме Диофанта) все более сосредоточивается на комментировании старых авторов. [Впрочем, Паппу (конец 3 в.) среди обширных комментариев на «Элементы» Эвклида и др. удается доказать ряд замечательных новых положений, в том числе т. н. теорему Гульдена об объеме произвольного тела вращения]. Труды этих ученых комментаторов типа Паппа и Прокла (5 в.), при всей их универсальности, не могли уже в обстановке упадка античного мира привести к объединению изолированно развивавшихся алгебры Диофанта, тригонометрии, включенной в астрономию, и откровенно нестрогой вычислительной геометрии Герона, популярной у геодезистов, — в единую, способную к большому дальнейшему развитию, науку.

г) Индия. С окончательным культурным упадком греко-римского мира центр научного прогресса на долгое время переносится на Восток — в Индию и к арабам. Расцвет индийской М. относится к 5—12 вв. [известнейшие индийские математики: Ариабхатта (Aryabhatta), род. в 476; Брахмагупта (Brahmagupta), род. в 598; Баскара (Bhaskara), род. в 1114]. Степень зависимости этой средневековой индийской М. от греческой, так же как внутренние движущие силы ее развития, не достаточно известна, что заставляет ограничиться суммарной характеристикой ее успехов. По своему типу индийская М. близка к вавилонской: это М. по преимуществу вычислительная (в противоположность преобладанию в греческой М. геометрии) и почти не знающая сколько-либо развитых логических доказательств. Индийские источники указывают (также подобно вавилонским) на тесную связь математических исследований с астрономией, астрологией и магией. Обусловленность развития М. нуждами хозяйственной деятельности, столь широко доказываемая вавилонскими текстами, скрыта здесь от нашего непосредственного наблюдения отсутствием соответствующих материалов. — Индусам принадлежат две основные заслуги. Первой из них является введение современной десятичной системы нумерации с употреблением ноля для обозначения отсутствия единиц данного разряда (последнее, в пределах шестидесятеричной системы, известно и поздним вавилонским текстам) и разработка на этой основе «более совершенной вычислительной техники, включая близкие к современным приемы деления многозначных чисел и извлечения квадратных и кубических корней (все эти операции не представляли, конечно, для математиков древнего мира принципиальной трудности, но осуществлялись более сложным образом). Вторым еще более глубоким основным достижением индийской М. является создание алгебры, свободно оперирующей не только с дробями, но и с иррациональными и отрицательными числами. Здесь впервые Диофантовы «вычитаемые» числа (обозначаемые точкой наверху) получают право стоять отдельно. Например, уравнение

$y{\hat {a}}$	$va$	$3$	$y{\hat {a}}$	$10$	$r{\hat {u}}$	${\dot {8}}$	$(3x^{2}+10x-8=x^{2}+1)$
$y{\hat {a}}$	$va$	$1$	$y{\hat {a}}$	$0$	$r{\hat {u}}$	1

может быть преобразовано по Брахмагупта в

					$r{\hat {u}}$	${\dot {9}}$	$(-9=-2x^{2}-10x)$.
$y{\hat {a}}$	$va$	${\dot {2}}$	$y{\hat {a}}$	${\dot {10}}$

Однако о реальном истолковании отрицательных чисел (с противоположностью имущества и долга) у индусов встречаются лишь спорадические упоминания, обычно же при истолковании решений задач — отрицательные решения считаются невозможными. Вообще следует сказать, что в то время как дробные и иррациональные числа с самого момента своего возникновения связаны с измерением непрерывных величин, отрицательные числа возникают в основном из внутренних потребностей алгебры и лишь позднее (в полной мере в 17 в.) получают самостоятельное значение.

Брахмагупта дает общее правило решения квадратных уравнений (объединяя при помощи употребления отрицательных чисел различные случаи, рассматривавшиеся Диофантом, в один). Баскара указывает на двузначность квадратного корня, занимается преобразованием иррациональных выражений вида

${\sqrt {a+{\sqrt {b}}}}$  (напр. ${\sqrt {10+{\sqrt {24}}+{\sqrt {40}}+{\sqrt {60}}}}={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}$),
учит освобождать дроби от иррациональностей в знаменателе и решает нек-рые частные случаи уравнений высших степеней. Наконец, Брахмагупта и Баскара дают общие методы решения в целых числах неопределенного уравнения первой степени с двумя неизвестными, также как уравнений вида $ax^{2}+b=cy^{2}$ и $xy=ax+by+c$. — В большинстве других направлений (геометрия, тригонометрия) индийская М. осталась позади М. древнего мира не только по своему логическому уровню, но и по объему известного ей фактич. материала. Отметим лишь данное еще у Ариабхатта чрезвычайно точное, по сравнению с известными ранее, выражение для $\pi ={\frac {62832}{20600}}=3,1416$.

д) Арабы. В арабском халифате и возникших на его территории мусульманских арабских и тюркских государствах наука развивается, подобно Эллинистической и Римской эпохе, в обстановке мировых торговых городов, государственной поддержки больших научных начинаний (ср. точное измерение дуги меридиана по повелению халифа Аль-Мамуна, 809—833), учреждения астрономия, обсерваторий и библиотек (библиотека в Кордове содержала в 9 в. 600 тыс. томов). При такой широкой организации научных исследований продвижение арабской науки вперед по сравнению с античной и индийской следует признать незначительным. Видимо наука уже приближалась к пределу, достижимому для рабовладельческого, теократического государства. В астрономии дело свелось к увеличению точности наблюдений и соответствующим исправлениям греческих таблиц [что позволило, между прочим, Омару Альхаями (он. 1040—1124) найти в ряду подходящих дробей к истинной длине года ($365{\frac {1}{4}},365{\frac {7}{29}},365{\frac {8}{33}},365{\frac {31}{128}},...$) третье приближение ($365{\frac {8}{33}}$, более точное, чем принятое сейчас в календарных целях грегорианское приближение $365{\frac {97}{400}}]$. В М. основными новыми достижениями арабов явились: введение шести современных тригонометрия, функций ($sin,cos,tg,cotg,sec,cosec$) и соотношений между ними [Альбаттани (878—918) и Абул-Вафа (940—998)]; сведение классических задач о трисекции угла и удвоении куба к решению уравнений третьей степени, что явилось непосредственным результатом сопоставления индийской алгебры с греческой геометрией (Альбируни, ум. в 1038); исследование и геометрическое решение при помощи конических сечений уравнений третьей степени (Омар Альхаями), причем, однако, возможность общего их алгебраического решения осталась арабам неизвестной.

Зато чрезвычайно велика историческая заслуга арабов, состоящая в сохранении и передаче математикам Зап. Европы математич. открытий древнего мира и Индии. Уже в 8 в. в Багдаде знакомы с математич. работами Брахмагупта. В 9—10 вв. на арабский язык переводятся сочинения Эвклида, Архимеда, Аполлония, Герона, Птолемея, Диофанта и др. При комментировании древних авторов арабские математики не всегда достигали полного их понимания. Например, основатель арабской алгебры Алхваризми (первая половина 9 в.), повторяя Архимеда, считает $3{\frac {1}{7}}$ лишь приближенным значением $\pi$, пригодным в практической жизни, в геометрии же рекомендует применять индийские выражения

$\pi ={\frac {1}{10}}$ и $\pi ={\frac {62832}{20000}}$,

видимо считая их (и притом оба!) за точные, так как в индийских источниках ничего не сказано об их приближенности (не замечая, что $\pi ={\frac {1}{10}}$ менее точно, чем $\pi =3{\frac {1}{7}}$).

е) Западная Европа до 16 в. 12—15 вв. являются для западно-европейской М. по преимуществу периодом усвоения наследства древнего мира, Индии и арабов. Тем не менее уже в этот период, не приведший еще к открытию особенно значительных новых математич. фактов, общий характер европейской математич. культуры отличается рядом существенных прогрессивных черт, обусловивших возможность стремительного развития М. в следующие века. Высокий уровень требований быстро богатеющей и политически независимой буржуазии итальянских городов привел к созданию и широкому распространению учебников, соединяющих практическое общее направление с большой обстоятельностью и научностью. Меньше чем через сто лет после появления в 12 в. первых латинских переводов греческих и арабских математич. сочинений Леонардо Пизанский (Фибоначчи) публикует свои «Liber Abbaci» (1202) и «Practica geometria» (1220), излагающие арифметику, коммерческую арифметику, алгебру и геометрию, написанные с логической отчетливостью мысли, необычной не только у арабов, но, видимо, и в руководствах «прикладного» характера древнего мира. Книги эти имеют большой успех, и «Liber Abbaci» выходит ок. 1228 вторым изданием. К концу рассматриваемой эпохи, с изобретением книгопечатания, учебники вроде «Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalita» (логический уровень к-рых, впрочем, ниже сочинений Леонардо Пизанского) Луки Пачиуоло (изд. в 1494) получают еще более широкое распространение. Наряду с этим практическим направлением основными центрами теоретической научной мысли становятся университеты. Прогресс алгебры как теоретич. дисциплины, а не только собрания рецептов для решения задач сказывается в ясном понимании природы иррациональных чисел как отношений несоизмеримых величин (Томас Брадвардин, приблизительно 1290—1349, и Николай Оресм, приблизительно 1328—82) и особенно в введении дробных (Николай Оресм), отрицательных и нолевых (Шюке — конец 15 в.) показателей степеней. Здесь же возникают первые, предваряющие следующую эпоху, идеи о бесконечно-больших и бесконечно-малых величинах (Томас Брадвардин и Николай Кузанский, 1401—64), о характере изменения функций вблизи максимумов и минимумов (Николай Оресм) и т. п. — Обстоятельность и систематичность европейской науки этой эпохи сказываются не только в многочисленных переводах и изданиях греческих и арабских авторов, но и в таких начинаниях, как составление Региомонтанусом (1436—76) (являющимся также автором первого самостоятельного руководства по тригонометрии — «De triangulis omnimodis») обширных тригонометрии, таблиц, вычисленных с точностью до седьмого знака. Значительно совершенствуется математическая символика, и, например, записи Шюке в конце 15 в., будучи отличными по форме, мало отличаются от современных по своей лаконичности. Например:

$R_{+}{\underline {4^{z}{\tilde {p}}4^{1}}}{\tilde {p}}2^{1}{\tilde {p}}1=$ вместо ${\sqrt {4x^{2}+4x}}+2x+1$.
Еще более существенно развитие научной критики и полемики, благодаря чему, напр., предложенный Николаем Кузанским в качестве точного, в действительности же лишь приближенный, метод спрямления окружности немедленно находит опровержение в специальном сочинении Региомонтануса. Отметим еще, что сосредоточенные поиски решения трудных задач, поощряемые обычаем публичных состязаний в их решении, приводят к первым доказательствам неразрешимости. Уже Леонардо Пизанский в сочинении «Flos» («Цветок»), в к-ром собраны решения предложенных ему и блестяще решенных им задач, доказывает неразрешимость уравнения $x^{3}+2x^{2}+10x=20$ не только в рациональных числах, но и при помощи простейших квадратических иррациональностей (вида ${\sqrt {a+{\sqrt {b}}}}$ и т. п.).

ж) 16 век. Век, последовавший за открытием Америки, был первым веком осознанного превосходства Западной Европы над древним миром и Востоком. Так было в астрономии (открытие Коперника) и в механике (к концу этого столетия уже появляются первые исследования Галилея), так обстоит дело и в М., несмотря на то, что в действительности большие новые идеи, определившие дальнейшее развитие новой европейской М., возникают лишь в следующем 17 в. Пока же, в 16 в., казалось, что новая эра в М. начинается с открытием алгебраич. решения уравнений третьей (Ферро, 1465—1526, и позднее и не 368 зависимо Тарталья, 1500—57) и четвертой (Феррари, 1522—65) степени, к-рое считалось в течение столетий неосуществимым (подробнее об истории этих открытий см. Алгебра, Кардано формула). Кардано (1501—76) исследовал уравнения третьей степени, открыв т. н. неприводимый случай, в к-ром действительные корни уравнения выражаются комплексно. Это заставило Кардано, хотя и очень неуверенно, признать пользу для М. вычислений с комплексными числами. Он же предложил общие методы приближенного решения уравнений любой степени. Дальнейшее развитие получила алгебра у Виета (1540—1603), указавшего, напр., способ составления уравнения п-ой степени по его корням. Виет является основателем настоящего алгебраического буквенного исчисления (до него буквами обозначались лишь неизвестные).

Из других достижений 16 в. укажем закон образования биномиальных коэффициентов для целых показателей (Штифель, 1486—1567), разложение квадратных корней в непрерывную дробь (Бомбелли, 1572), первое точное аналитич. выражение для $\pi$ в виде бесконечного произведения (Виет), тригонометрич. функции для аргумента, изменяющегося до $+\infty$ (Виет). В геометрии развивающееся еще ранее 16 в. учение о перспективе излагается знаменитым художником Дюрером (1471—1528). Виет применяет алгебраич. методы к исследованию возможности геометрии, построений, являясь также тонким мастером в синтетич. решении задач на построение (он восстанавливает, напр., утерянное решение задачи Аполлония о построении окружности, касающейся трех данных).

М. как наука об изменении величин и о геометрических преобразованиях.

Развитие М. в 17 и 18 вв. привело к тому, что определение М., поставленное в заголовке предыдущего раздела, перестало полностью выражать наиболее существенное содержание математич. исследований. Круг количественных и пространственных форм и отношений, изучаемых теперь М., уже не исчерпывается числами, величинами и геометрич. фигурами. В основном это было обусловлено явным введением в М. идей движения и изменения. Уже в алгебре в скрытом виде содержится идея зависимости между величинами (значение суммы зависит от значений слагаемых и т. д.). Однако, чтобы охватить количественные отношения в процессе их изменения, надо было самые зависимости между величинами сделать самостоятельным предметом изучения. Поэтому на первый план выдвигается понятие функции (см.), играющее в дальнейшем такую же роль основного и самостоятельного предмета изучения, как ранее понятие величины или числа. Изучение переменных величин и функциональных зависимостей приводит далее к основным понятиям математич. анализа, вводящим в М. в явном виде идею бесконечного, — к понятиям предела, производной, дифференциала и интеграла (см.). Создается анализ бесконечно-малых, в первую очередь в виде дифференциального и интегрального исчисления (см. Дифференциальное исчисление и Интегральное исчисление), позволяющий связывать конечные изменения переменных величин с их поведением в непосредственной близости отдельных принимаемых ими значений. Основные законы механики и физики записываются в форме дифференциальных уравнений (см.), и интегрирование этих уравнений выдвигается в виде одной из важнейших задач М. Разыскание неизвестных функций, определенных другого рода условиями, составляет также предмет вариационного исчисления (см.) и теории интегральных уравнений (см.) (последняя теория в развитом виде возникает лишь в конце 19 в.). Таким образом, рядом с уравнениями, в к-рых неизвестными являются числа, появляются уравнения, в к-рых неизвестны и подлежат определению функции.

Предмет изучения геометрии также существенно расширяется с проникновением в геометрик) идей движения и преобразования фигур. Одно и то же движение или одно и то же преобразование может перемещать или преобразовывать самые различные фигуры. Поэтому геометрия начинает изучать движение и преобразования сами по себе. Например в проективной геометрии (см.) одним из основных предметов изучения являются сами проективные преобразования плоскости или пространства. Впрочем, сознательное развитие этих идей принадлежит лишь концу 18 и началу 19 вв. — Гораздо раньше, с созданием в 17 в. аналитической геометрии (см.), принципиально изменилось отношение геометрии к остальной М. Здесь был найден универсальный способ переводить вопросы геометрии на язык алгебры и анализа и решать их чисто алгебраическими и аналитич. методами. С другой стороны, открылась широкая возможность изображать (иллюстрировать) алгебраические и аналитич. факты геометрически (напр. при графическом изображении функциональных зависимостей). Эта обратная возможность была, однако, ограничена трехмерностью пространства. Такое положение привело к склонности рассматривать арифметику, алгебру и анализ с теорией функций как части «чистой» М., определяемой в качестве науки о числах, величинах и зависимостях между изменяющимися величинами, геометрию же считать первой частью (предшествующей, например, механике) «прикладной математики», применяющей результаты чистой М. и вырабатывающей свои собственные методы для специального изучения геометрии, фигур и геометрии, преобразований. Мы увидим далее, что на следующем этапе развития такое подчиненное положение геометрии было вновь устранено.

История М. в 17 и 18 вв. а) 17 век. К началу 17 в. элементарные практич. запросы коммерции, землемерия, архитектуры и т. п. были уже достаточно удовлетворены принявшими окончательную форму арифметикой, элементарной алгеброй и геометрией. Нехватало, с точки зрения этих простейших потребностей, быть может, еще логарифмов, введенных лишь в начале 17 в. За этими элементарными пределами теория чисел и такие вопросы алгебры, как решение уравнений третьей и четвертой степени, с точки зрения требований этой эпохи, представляли собой скорее сферу свободной демонстрации избытка творческих сил молодой развивающейся буржуазной культуры. Из наук о природе серьезные большие требования к М. предъявляла лишь астрономия (запросы к-рой были в течение тысячелетий одним из основных стимулов математич. прогресса) и в меньшей степени — механика. Однако астрономия ограничивалась чистым описанием движений небесных тел, не объясняя их причин, механика же существовала почти исключительно в виде статики. — Охарактеризованный выше новый этап развития М. органически связан, с созданием в 17 в. математич. естествознания, имеющего целью объяснение течения отдельных природных явлений действием общих, математически формулированных законов природы. На протяжении самого 17 в. действительно глубокие и обширные математич. исследования относятся лишь к двум областям естественных наук: к изучению силы всемирного тяготения [Галилей (1564—1642) открывает законы падения тел, Кеплер (1571—1630) — законы движения планет, Ньютон (1642—1727) устанавливает закон всемирного тяготения, объединяющий всю область явлений, и закладывает основы небесной механики] и к оптике [Галилей и Кеплер сооружают зрительные трубы, Ньютон развивает оптику на основе теории истечения, Гюйгенс (1629—95) и Гук (1635—1703) — на основе волновой теории]. В других областях изучения природы дело ограничивается пока установлением первых и простейших количественных закономерностей [напр. закон Бойля для зависимости объема газа от давления (1662), закон Гука в теории упругости и т. п.]. Тем не менее рационалистич. философия 17 в. уже выдвигает идею универсальности математич. метода (Декарт, Спиноза, Лейбниц), придающую особенную яркость устремлениям этой по преимуществу философской эпохи в развитии М. Применение новых, возникающих в 17 в., математич. методов к проблемам техники также широко развилось лишь в течение следующих двух веков. Однако «очень важную роль сыграло спорадическое применение машин в 17 столетии, так как оно дало великим математикам того времени практические опорные пункты и стимулы для создания современной механики» (Маркс, Капитал, том I, 8 издание, [Москва], 1936, стр. 281). Авторы 17 века понимают и любят подчеркивать большое практическое значение математики. 17 в. был эпохой, когда рост буржуазного общества позволил ему выдвинуть перед наукой задачи на несколько веков вперед е полным сознанием их практической ценности. Опираясь на свою тесную связь с математич. естествознанием, М. 17 в. смогла подняться на новый этап диалектич. развития. Новые понятия, не укладывающиеся в старые формально-логические категории М., получали свое первое оправдание в соответствии реальным соотношениям действительного мира. Так, напр., реальность понятия производной вытекала из реальности понятия скорости в механике; поэтому вопрос заключался не в том, можно ли логически оправдать это понятие, а лишь в том, как это сделать.

Математические достижения 17 в. начинаются открытием логарифмов (см.). У Непера (1550—1617), опубликовавшего свои таблицы в 1614, мы имеем уж дело не только с приспособлением к вычислительным целям давно известных свойств арифметической и геометрич. прогрессии, а снепрерывным «течением» $y=logx$ при изменении $x$, т. е. впервые с представлением о непрерывной функции, незаданной никаким алгебраич. выражением. — В 1637 Декарт (1596—1650) публикует свою «Геометрию», содержащую основы координатного метода в геометрии, классификацию кривых на алгебраические и трансцендентные, а алгебраических — по их порядку и т. д. Вытекающее отсюда сведение решения уравнения $P(x)=0$ к разысканию пересечений кривой $P(x)=y$ с осью абсцисс приводит к новому направлению в алгебре — изучению распределения действительных корней уравнения любой степени (Декарт, Ньютон, Ролль). На той же основе геометрич. представления функции $y=f(x)$ при помощи кривой на плоскости развиваются исследования Ферма (1601—65) и Декарта о максимумах и минимумах и разыскании касательных к кривым. Эти исследования уже содержат в себе, по существу, приемы дифференциального исчисления, но самые эти приемы еще не выделены и не развиты, и слова «производная» или «дифференциал» остаются еще не произнесенными. — Другим источником анализа бесконечно-малых является созданный Кеплером (в изданном в 1615 соч. «Новая стереометрия винных бочек, преимущественно австрийских, как имеющих самую выгодную форму и исключительно удобное употребление для них кубической линейки» — полушуточное название, в к-ром следует скорее видеть проявление духа времени, любившего подчеркнуть связь теории с практикой, чем доказательство необходимости интегрального исчисления для развития бочарного производства) и Кавальери (1598—1647) «метод неделимых», примененный ими к определению объемов тел вращения. В этом методе действительная, принципиальная новизна основных представлений анализа бесконечно-малых представляется в мистической форме неразрешенного противоречия (между объемом тела и совокупностью не имеющих объема плоских сечений, при помощи к-рых этот объем должен быть определен). Не удивительно поэтому, что приемы Кеплера и Кавальери подверглись критике со стороны Гульдена (1577—1643), предпочитавшего пользоваться строгим классич. методом исчерпывания. Однако новый метод одерживает окончательную победу в работах по определению площадей («квадратур») и спрямлению кривых Декарта, Ферма, Паскаля (1623—62) и Валлиса (1616—1703). Так, в геометрич. форме были, по существу, созданы и дифференциальное и интегральное исчисление. Оставалось объявить решение отдельных геометрич. задач частным случаем основных общих аналитич. операций дифференцирования и интегрирования функций и установить связь между этими двумя операциями. Это и было сделано Ньютоном (в явной и окончательной форме в «Methodus fluxionum et serierum infinitorum», датированном 1671, но опубликованном лишь в 1736) и Лейбницем (1646—1716). Ни постулирование существования «последнего отношения» исчезающих приращений, через к-рое определяются «флюксии» (производные) у Ньютона, ни казавшееся еще более таинственным (хотя и более удобным для развития алгоритма) лейбницевское понятие дифференциала не продвинули существенно логическую сторону вопроса по сравнению с Декартом, Ферма, Кеплером и Кавальери. Это дало основание Марксу так характеризовать «мистический» период развития исчисления бесконечно-малых, продолжающийся до конца 18 в.: «Итак сами верили в мистический характер новооткрытого исчисления, которое давало правильные... результаты математически положительно неправильным путем. Таким образом сами себя мистифицировали и тем более ценили новое открытие, тем более бесили толпу старых ортодоксальных математиков и вызвали таким образом враждебный крик, отдавшийся даже в мире несведущих в математике людей и бывший необходимым, для того чтобы проложить путь новому» («Математические рукописи К. Маркса»).

Лейбниц, нашедший основы нового исчисления в 1675,. публикует их в 1684 в только что основанном (1682) журнале «Acta eruditorum». С этого момента начинается период интенсивной коллективной работы над дифференциальным и интегральным исчислением, интегрированием дифференциальных уравнений и геометрич. приложениями анализа, в к-рой принимают участие, кроме самого Лейбница, Валлис, Гюйгенс, Яков Бернулли (1654—1705), Иоанн Бернулли (1667—1748), Лопиталь (1661—1704) и др. Здесь создается современный стиль математич. работы, при к-ром полученные результаты немедленно публикуются в журнальных статьях и уже очень скоро после опубликования используются в дальнейших исследованиях других ученых. — Параллельно развивается учение о бесконечных рядах. Меркатор в 1668, интегрируя по $x$ геометрическую прогрессию ${\frac {1}{1+x}}=1-x+x^{2}-x^{3}+...$, получает разложение в степенный ряд $log(1+x)$. Ньютон в 1669 получает формулу бинома для любого показателя, интегрируя разложение $(1-x^{2})^{^{-{1\!/_{2}}}}$, получает разложение $arcsinx$ и, наконец, находит степенные ряды обратных к $y=log(1+x)$ и $y=arcsinx$ функций:

$x=e^{y}-1={\frac {y}{1}}+{\frac {y^{2}}{1}}+{\frac {y^{3}}{6}}+...$ и $x=siny={\frac {y}{1}}-{\frac {y^{3}}{6}}+{\frac {y^{5}}{120}}-...$.

В дальнейшем развитии учения о бесконечных рядах принимают участие почти все математики эпохи (Валлис, Гюйгенс, Лейбниц, Яков Бернулли и др.). Следует отметить, что авторы 17 в. имеют достаточно ясные представления о понятии предела последовательности и сходимости ряда и считают нужным доказывать сходимость употребляемых ими рядов. — С созданием координатного метода и распространением представлений о направленных механич. величинах (скорости, ускорения) понятие отрицательного числа приобрело полную наглядность и ясность. Наоборот, комплексные числа, попрежнему оставаясь лишь побочным продуктом алгебраического аппарата, продолжают быть, по преимуществу, лишь предметом бесплодных споров. С наибольшей определенностью их признавал Жирар (ум. 1632), впервые заявивший, что каждое уравнение $n$-ой степени имеет $n$ корней (действительных или комплексных). — Помимо аналитической и дифференциальной геометрии, развивающихся в тесной связи с алгеброй и анализом, о чем уже говорилось выше (отметим еще введение понятия радиуса кривизны у Кеплера, изучение эволют и эвольвент у Гюйгенса и т. п.), в 17 в. закладываются основы дальнейшего развития чистой геометрии, гл. обр. в направлении создания основных понятий проективной геометрии. Уже Кеплер говорит о втором, бесконечно-удаленном фокусе параболы. Дезарг (1593—1662), занимаясь теорией перспективы, развивает целую систему представлений о бесконечно-удаленных элементах, вводит понятие инволюции и т. д.Теория конических сечений разрабатывается в проективном духе Дезаргом, Паскалем, Ла-Гиром (1640—1718) и др. — Из других открытий 17 века отметим: в теории чисел — формулировку принципа математич. индукции (Паскаль) и глубокие исследования Ферма, в значительной мере определившие дальнейшее развитие этой науки; разработку основных понятий комбинаторики (Ферма, Паскаль, Лейбниц); первые работы по теории вероятностей (Ферма, Паскаль), увенчавшиеся в конце века результатом большого натурфилософского значения — открытием простейшей формы закона больших чисел (Яков Бернулли); теорию непрерывных дробей [Швентер (1585—1636), Валлис, Гюйгенс]; метод неопределенных коэффициентов (Декарт); формулировку теоремы Эйлера о многогранниках (Декарт). Укажем еще на оставшееся пока без последствий сооружение Паскалем и Лейбницем первых счетных машин.

б) 18 век. В начале 18 в. еще продолжает работать поколение создателей анализа (Ньютон, Лейбниц). Однако общий стиль математич. исследований постепенно меняется. Успехи 17 в. были в основном обусловлены новизной метода; успех создавался гл. обр. смелостью и глубиной общих идей, что сближало М. с философией. К началу 18 в. развитие новых областей М., созданных в 17 в., достигло того уровня, при к-ром дальнейшее продвижение вперед стало требовать в первую очередь искусства в овладении математич. аппаратом и изобретательности в разыскании неожиданных обходных решений трудных задач. Из двух величайших математиков 18 в. Эйлер (1707—83) является наиболее чистым представителем этой виртуозной тенденции, а Лагранж (1736—1813), быть может, уступая Эйлеру в количестве и разнообразии решенных задач, соединил блестящую технику с широкими обобщающими концепциями, типичными для франц. школы второй половины 18 в., тесно связанной с большим философским движением франц. просветителей и материалистов. Эпоха увлечения необычайной силой аппарата математич. анализа приводит, естественно, к вере в возможность его чисто автоматического развития, в безошибочность математич. выкладки даже тогда, когда она оперирует с символами, лишенными какого-либо смысла. Если в момент создания анализа бесконечно-малых дело шло лишь о неумении логически справиться с идеями, имевшими полную наглядную убедительность, то теперь открыто принимается право вычислять по обычным правилам с явно бессмысленными математич. выражениями, не опираясь ни на наглядность ни на какое-либо логическое оправдание законности таких операций. Из старшего поколения в эту сторону все больше эволюционирует Лейбниц, к-рый в 1702, по поводу интегрирования рациональных дробей при помощи их разложения на мнимые простые дроби, говорит о «чудесном вмешательстве идеального мира» и т. п. Более реалистически настроенный Эйлер не говорит о чудесах, но воспринимает законность операций с мнимыми числами и с расходящимися рядами [напр., по Эйлеру, $+1-1+2-6+24-120+...+(-1)^{n}n!+...=0,5963475922...$] как эмпирический факт, подтверждаемый правильностью получаемых при помощи подобных преобразований следствий. Понятно, что при таких настроениях логический уровень изложения основных понятий анализа бесконечно-малых оказывается у Эйлера ниже не только Ньютона, но и смело обращавшегося с дифференциалами Лейбница. Обратное течение в сторону логического уяснения основных понятий начинается во франц. школе с Д’Аламбера (1717—83). В частности, по вопросу о логических основах анализа Д’Аламбер формулирует в общих чертах вполне современные взгляды о переменных бесконечно-больших и бесконечно-малых величинах, о производной как конечном пределе отношения двух бесконечно-малых и т, д. Окончательное детальное проведение этих идей было осуществлено лишь в 19 в. Коши. Поэтому Лагранж, неудовлетворенный незаконченными концепциями своих современников, сделал блестящую попытку отделаться сразу от всех трудностей, связанных как с самим понятием функции, так и с обоснованием анализа бесконечно-малых, став на чисто алгебраич. точку зрения: он заменяет непосредственное рассмотрение функций вычислениями с их рядами Тейлора и сводит, т. о., дифференцирование и интегрирование и все дальнейшие операции анализа к алгебраич. действиям с коэффициентами рядов.

В отличие от 17 в. математики 18 в. в большинстве являются профессиональными учеными. Это люди из разных кругов общества, рано выделившиеся своими математич. способностями, с быстро развивающейся академич. карьерой (Эйлер, происходя из пасторской семьи в Базеле, двадцати лет приглашается адъюнктом в Петербургскую академию наук, двадцати трех лет делается там же профессором, тридцати семи лет становится председателем физико-математич. класса Берлинской академии наук; Лагранж — сын франц. офицера — с восемнадцати лет профессор в Турине, тридцати лет становится председателем физико-математич. класса Берлинской академии наук и пятидесяти одного года становится академиком в Париже). При этом, однако, математич. естествознание (механика, математич. физика) и технич. применения М. остаются вполне в сфере деятельности математиков. Эйлер занимается вопросами кораблестроения и оптики, Лагранж создает основы аналитич. механики, Лаплас (1749—1827, сын крестьянина, восемнадцати лет — преподаватель М. в военной школе в Бомоне, двадцати лет — профессор военной школы в Париже, тридцати семи лет — член Парижской академии наук), считая себя в основном математиком, в то же время является крупнейшим астрономом эпохи и т. д.

Переходя к обзору достижений М. 18 в. по отдельным областям, начнем с теории чисел. Благодаря работам Эйлера, Лагранжа и Лежандра (1752—1833), теория чисел впервые приобретает характер систематич. науки. Лагранж дает общее решение неопределенных уравнений второй степени. Эйлер устанавливает закон взаимности для квадратичных вычетов (см. Лежандра теорема).

При помощи разложений в непрерывные дроби Эйлер доказывает иррациональность $e$ и $e^{2}$, а Ламберт (1728—77) — иррациональность $\pi$. В алгебре Крамер (1704—52) вводит для решения систем линейных уравнений детерминанты (известные ранее Лейбницу, не опубликовавшему своего открытия). Дальнейшей разработкой линейной алгебры занимаются Лаплас и Вандермонд (1735—96). Ньютон, Эйлер, Безу (1730—83) разрабатывают теорию делимости многочленов и теорию исключения. Дальнейшее развитие алгебры упирается в необходимость доказательства основной теоремы алгебры. Эйлер рассматривает как эмпирически установленный факт существование каждого алгебраич. уравнения корня вида $A+B$  ${\sqrt {-1}}$. Постепенно укореняется убеждение, что вообще мнимые выражения (не только в алгебре, но и в анализе) всегда приводимы к виду $A+B$  ${\sqrt {-1}}$. Д’Аламбер доказывает, что модуль многочлена не может иметь минимума, отличного от ноля (т. н. теперь лемма Д’Аламбера), считая это за доказательство существования корня любого алгебраического уравнения. Формулы Муавра (1667—1754) (см. Муавра формула) и Эйлера, связывающие показательную и тригонометрические функции комплексных аргументов, приводят к дальнейшему расширению применений комплексных чисел в анализе. Ньютон, Стирлинг (1692—1770) и Эйлер создают исчисление конечных разностей (см. Конечных разностей исчисление). Лагранж развивает символическое исчисление, рассматривая положительные и отрицательные степени операторов $\vartriangle$ и $d$. Лаплас дает общие методы решения разностных уравнений. Тейлор (1685—1731) открывает свою формулу разложения произвольной функции в степенной ряд. В руках исследователей 18 в., особенно Эйлера, ряды становятся одним из самых мощных и гибких орудий анализа. С Д’Аламбера начинается серьезное изучение условий сходимости рядов. Эйлер, Лагранж и особенно Лежандр изучают эллиптические интегралы — первый вид не элементарных функций, подвергшихся глубокому специальному исследованию. Иоанн Бернулли, Рикатти (1676—1754), Даниил Бернулли (1700—82), Эйлери Клеро (1713—65) интегрируют новые типы обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядка. Эйлер дает первый метод решения линейного дифференциального уравнения любого порядка с постоянными коэффициентами. Д’Аламбер рассматривает системы дифференциальных уравнений. Лагранж и Лаплас развивают общую теорию линейных дифференциальных уравнений любого порядка. Д’Аламбер по поводу вопроса о колебании струны сталкивается впервые с уравнением в частных производных. Эйлер, Монж (1746—1818) и Лагранж строят общую теорию уравнений в частных производных первого порядка, а Эйлер, Монж и Лаплас — второго порядка. Уравнение колебания струны и связанное с ним введение в анализ разложения функций в тригонометрич. ряды сохраняет, однако, специальный интерес, так как по его поводу развертывается между Эйлером, Даниилом Бернулли, Д’Аламбером, Монжем и Лагранжем полемика по вопросу о понятии функции (подробнее см. Функция), подготовившая фундаментальные результаты 19 в. о соотношении между аналитическим выражением и произвольным заданием функции. Наконец, новым отделом анализа, возникшим в 18 в., является вариационное исчисление, созданное Эйлером и Лагранжем. Муавр, Даниил Бернулли, Байес (ум. в 1763) и Лаплас на основе отдельных достижений 17—18 вв. кладут начало теории вероятностей (см. Вероятность) как самостоятельной науки.

В области геометрии Эйлер приводит к завершению систему элементарной аналитической геометрии. Начиная с Ньютона изучаются систематически кривые третьего порядка. Варинг (1734—98) устанавливает ряд свойств алгебраич. кривых любого порядка. Эйлер, Клеро, Менье и Монж создают дифференциальную геометрию пространственных кривых и поверхностей. Проблемы дифференциальной геометрии являются одним из основных источников упомянутого выше развития теории уравнений в частных производных. Ламберт развивает теорию перспективы, и Монж придает окончательную форму начертательной геометрии (см.).

Из нашего обзора видно, что М. 18 в., питаясь в основном идеями 17 в., по размаху работы в смысле количества полученных результатов далеко превзошла предыдущие эпохи. С организационной стороны этот расцвет М. объединялся по преимуществу вокруг академий. Университеты играли меньшую роль. Отдаленность крупнейших математиков от университетского преподавания возмещалась той энергией, с которой все они, начиная с Эйлера и Лагранжа, пишут учебники и обширные, объединяющие отдельные исследования, трактаты. Новую струю в организацию науки вносит в конце 18 в. французская буржуазная революция. Крупнейшие ученые (Лагранж, Лаплас, Лежандр, Монж) привлекаются к созданию метрической системы мер, связанному с ней измерению меридиана, организованному на государственные средства вычислению новых тригонометрических таблиц и т. д. Наиболее важным для дальнейшего развития М. оказалось учреждение в 1795 Политехнической школы в Париже, возглавляемой Монжем и сделавшейся для Франции в начале 19 века основным рассадником математической культуры.

Математика как наука о количественных и пространственных формах действительного мира во всей их общности.

Определение М., поставленное в заголовке предыдущего раздела, было еще в целом правильным в применении к состоянию М. в первой половине 19 в. Однако уже с начала этого века начинают накопляться отдельные факты, выходящие за пределы старых концепций. — Во второй половине 19 и в 20 вв. удельный вес новых теорий, не вмещающихся в рамки прежнего определения, становится столь значительным, что понимание задач М. в целом становится возможным лишь на почве нового, более широкого определения ее предмета. Это обусловлено двумя обстоятельствами: 1) расширение круга количественных отношений, изучаемых М.; величины и числа и зависимости между ними становятся лишь частным случаем рассматриваемых здесь количественных форм действительного мира; 2) расширение области применимости геометрии, методов и все более тесное переплетение геометрии с остальной М., благодаря чему исчезает существовавшее в предыдущую эпоху неравноправие — геометрия становится теперь неотъемлемой частью «чистой математики». Нашей ближайшей задачей является показать эти две новые тенденции в развитии М. на ряде примеров. — Количественные формы и отношения, в отличие от качественных, характеризуются своим безразличием к особому характеру тех предметов, к-рые обладают этими формами или связаны этими соотношениями. Поэтому эти формы и отношения и могут быть совершенно оторваны от их содержания, как от чего-то безразличного для дела (см. указание Энгельса, приведенное в начале статьи). Так, число остается одним и тем же независимо от того, численность какого рода предметов оно выражает, функциональная зависимость $y=ax^{2}+bx+c$ остается одной и той же независимо от того, что обозначают $x$ и $y$. Можно также сказать, что количественные формы и отношения суть чистые формы и отношения, сохраняющие от конкретной действительности, от которой они отвлечены, только то, что содержится в их определении. Наиболее удобный для анализа пример новых количественных форм, введенных в рассмотрение М. 19 века, доставляет нам понятие группы (см.), т. е. произвольной системы объектов, для к-рых определено одно действие, обладающее основными свойствами сложения или умножения обычных чисел.

Система объектов, заданная вместе с нек-рым действием, к-рое ставит в соответствие любым двум объектам $A$ и $B$ системы вполне определенный третий объект системы $C=AB$, называется группой, если она удовлетворяет следующим условиям: 1) для любых объектов системы $A,B,C$ справедливо равенство $A(BC)=(AB)C$; 2) существует такой объект системы $E$, что для любого объекта системы $A$ справедливо равенство $AE=A$, и 3) существует такой элемент $X$, что $AX=E$. Все рациональные числа образуют группу, если под групповым действием понимать действие сложения (при этом за элемент $E$ следует взять ноль). Все рациональные числа за исключением ноля образуют группу, если под групповым действием понимать действие умножения (при этом за элемент $E$ следует взять единицу). Уже из этих примеров видно безразличие понятия группы к конкретному смыслу входящего в определение группы действия.

Оказалось, что общее изучение произвольных групп может составить предмет весьма содержательного отдела алгебры — теории групп, — имеющего огромную область применений: группы подстановок весьма существенны в самой алгебре, где к их изучению сводится вопрос о разрешимости уравнений в радикалах; движения плоскости или пространства образуют группу; в частности дискретные группы движений пространства составляют основу классификации форм кристаллов (см. Кристаллография); более общим образом вся теория геометрии, преобразований оказалась подчиненной понятию «группы преобразований» и т. д. Здесь мы имеем дело с понятием, проникшим во все отделы М. и не мало содействовавшим осознанию на новой почве единства разросшейся системы отдельных математич. дисциплин.

В группах, вообще говоря, сохраняется лишь небольшая часть свойств обычных чисел. Все основные алгебраич. свойства чисел сохраняются в более специальных алгебраических образованиях, именно, в алгебраических полях (см. Поле). Понятие алгебраич. поля также охватывает не только системы, составленные из чисел. Существенны, например, поля вычетов (см.) по какому-либо простому модулю. Таким образом, хотя число сохраняет исключительное положение в М., числа теперь уже не составляют ни единственного ни логически первоначального и основного объекта изучения современной алгебры; алгебра является теперь общей наукой об операциях (действиях) над элементами любой природы или вернее наукой о системах элементов любой природы, допускающих совершение над ними операций, подчиненных известным общим условиям. Чистая алгебра в современном понимании не имеет дела с непрерывностью. Понятие непрерывной величины послужило исходным пунктом другого ряда обобщений. Если до 19 в. реальный смысл приписывался лишь величинам, измеряемым действительными числами, то более глубокое изучение явлений природы и технических проблем в 19 в. неизбежно привело к более. общим видам величин, к-рые лишь искусственно заменяются действительными числами. Скорость, по существу, есть вектор (см.), т. е. новая величина, лишь искусственно разлагаемая на компоненты, соответствующие координатным осям. Состояние упругого напряжения в какой-либо точке деформированного твердого тела при введении координатной системы может быть охарактеризовано шестью числами (три растяжения по направлениям осей и три кручения), но по существу есть новая неразложимая величина (симметричный тензор). Новейшая же квантовая механика характеризует состояние системы всегда бесконечно-мерными величинами, к-рые лишь искусственно приводятся к выражению через действительные или комплексные числа (при помощи бесконечных матриц) или функции с числовыми значениями и аргументами (при помощи волновых функций). Создаются различные теории $n$-мерных величин. В форме векторного исчисления и тензорного исчисления (см.) они делаются неизбежным аппаратом современных физических исследований. Что касается бесконечно-мерных величин, то они составляют предмет еще более молодой ветви М. — теории линейных пространств. Самый термин «величина» оказывается для этих обобщений искусственным и в применении к бесконечно-мерным образованиям мало распространен. По существу, мы имеем здесь дело с таким же образованием новых количественных форм, как и в современной алгебре.

Изучение общих алгебраических полей, с одной стороны, и многомерных величин — с другой, дает возможность понять исключительную и в известном смысле завершающую роль поля комплексных чисел, получивших еще на границе 18 и 19 вв. реальное истолкование при помощи векторов на плоскости. Расширение системы чисел (присоединение к древнейшим натуральным числам чисел отрицательных, дробных, иррациональных, комплексных) происходило под давлением двух потребностей — измерения новых типов величин, с одной стороны, и неограниченной возможности совершать алгебраич. операции (четыре основных действия и решение алгебраич. уравнений), сохраняя при этом основные законы действий, с другой. Теперь обнаружилось, что комплексные числа являются тем последним этапом в расширении понятия числа, до к-рого эти тенденции действуют совместно. В частности, n-мерные непрерывные величины при $n>2$ не могут привести к новой системе «чисел», сохраняющих все обычные алгебраич. свойства (т. е. образующих т. н. коммутативное алгебраич. поле).

Аналогично геометрия превращается в 19 и 20 вв. все более в науку о «пространствах» любого числа измерений и состоящих из элементов любой природы. Во избежание недоразумений следует сразу ясно определить отношение этих многочисленных математич. пространств к единственному реальному пространству. Прежде всего мы получаем различные математич. пространства, абстрагируя отдельные черты, присущие реальному пространству, и отвлекаясь от неисчерпаемого запаса других его конкретных свойств. Такое отвлечение, по существу, было необходимо уже на первых шагах изучения геометрич. преобразований. Рассматривая то или иное преобразование, как отображение пространства на самого себя, приходится рассматривать само пространство как систему (множество) некоторых элементов, принимаемых за основные. Если за основные элементы принимаются точки, то говорят о «точечном пространстве». Однако, изучая геометрич. преобразования, переводящие прямые в прямые (и, вообще говоря, не оставляющие точки точками), столь же естественно принять за основные элементы прямые, приходя, так. обр., к понятию «линейчатого пространства». Но если точечное пространство трехмерно, то «пространство» прямых — четырехмерно. В теории касательных преобразований за основные элементы принимаются «линейные элементы», многообразие к-рых пятимерно. Так, понятие многомерного пространства (см.) получает реальный смысл, не имеющий ничего общего с вульгарными поисками «четвертого измерения» спиритов.

Не только выбор основных элементов определяет собой разнообразие математич. «пространств». Понятие того или иного специального «пространства» ограничивается и тем кругом отношений, которые рассматриваются между его элементами. Например, в «проективном пространстве» рассматриваются только отношения инвариантные при проективных преобразованиях и т. д. Признавая лишь единственное реальное (трехмерное) пространство, мы должны считать различные математич. «пространства» (трехмерное точечное эвклидова пространство, четырехмерное линейчатое пространство, проективное пространство и т. д.) с точки зрения философии лишь различными пространственными формами, отвлеченными от всей конкретности действительных пространственных отношений. Поэтому было бы философски неправильно в определении М. (см. начало статьи) заменить «пространственные формы» самим «пространством». Изучение реального пространства в полном объеме осуществляется лишь совместными усилиями М. и физики (см. Пространство). С другой стороны, понятие математич. пространства неизбежным образом выросло за пределы только пространственных форм в собственном смысле слова. Нет никакого разумного основания отделять изучение пространств различного числа измерений, перечисленных выше, от изучения вполне аналогичных им по внутреннему устройству непрерывных многообразий другого происхождения. Например, вполне естественно изучать процесс изменения любой физической системы с $n$-степенями свободы, как движение изображающей ее «точки» в надлежаще определенном $n$-мерном «фазовом пространстве» этой системы. При объединении на основе эйнштейнова принципа относительности пространственных и временных отношений в одно целое вполне естественно за объединенным пространственно-временным четырехмерным многообразием «мировых точек» сохранить название пространства. В качестве первого по времени примера теории, на первый взгляд не имеющей ничего общего с геометрией и все же разработанной геометрич. методами, можно указать на грасмановскую теорию цветных ощущений, где каждое цветовое ощущение рассматривается как точка «пространства цветов», в этом пространстве проводятся «прямые», «плоскости» и т. д. — метод, ставший общепринятым в цветоведении.

Если уже введение $n$-мерных пространств позволяет изучать геометрически функции любого числа переменных (подобно тому, как ранее функции одного переменного изображались при помощи кривых на плоскости, а функции двух переменных — поверхностями в пространстве), то более высокие вопросы функционального анализа (теории интегральных уравнений, вариационного исчисления и т. д.) приводят к изучению бесконечно-мерных пространств, в которых элементами («точками») являются функции, определяются «расстояния» между функциями, рассматриваются бесконечно-мерные «гиперповерхности», лежащие в этих пространствах, и т. д. (см. Метрическое пространство). — Таким образом, геометрич. методы проникают во все отделы М., имеющие в той или иной форме дело с непрерывностью. Основными самостоятельными геометрич. науками, питающимися всем этим необъятным материалом, являются дифференциальная геометрия $n$-мерных многообразий в ее различных разновидностях [метрической римановой геометрии (см.) и др.] и топология (см.), изучающая наиболее общие свойства пространств и геометрических фигур в них, именно, свойства, не меняющиеся при непрерывных преобразованиях.

Без полного понимания двух новых тенденций в развитии М. 19 и 20 вв., указанных в начале этого раздела, невозможно охватить современную М. в целом. Не следует, однако, забывать, что эти обобщающие тенденции явились лишь надстройкой над продолжающимся в течение 19 и 20 вв. мощным развитием «классических» частей М. Так, напр., в области дифференциальных уравнений происходит все более тесное переплетение классических вычислительных методов с так наз. качественным исследованием, опирающимся на представления геометрии многомерных пространств (по преимуществу топологических).

История М. в 19 веке. В начале 19 века происходит новое, чрезвычайно сильное расширение области приложений математич. анализа. К механике и оптике, все еще остававшимся до сих пор единственными отделами физики, требовавшими большого математич. аппарата, присоединяются электродинамика, теория магнитизма и термодинамика. В самой механике теперь развиваются основные разделы механики непрерывных сред, из к-рых только гидродинамика несжимаемой идеальной жидкости была создана Эйлером и Лагранжем в 18 в. В качестве основного аппарата этих новых областей механики и математич. физики усиленно разрабатывается теория уравнений в частных производных и, особенно, теория потенциала. В этом направлении работают почти все основные математики начала 19 в., включая Гаусса (1777—1855) и Коши (1789—1857) — двух математиков, в значительной мере определивших дальнейшее развитие М. во всех областях, особенно же Фурье (1768—1830), Ампер (1775—1836), Пуассон (1781—1840), Грин (1793—1841) и Дирихле (1805—59). Позднее на этой же почве, по преимуществу в английской школе, в работах Стокса (1819—1903) и др. создается векторный анализ (см. Векторное исчисление). Быстро растут и самые математич. запросы техники. В начале 19 в. — это вопросы термодинамики паровых машин (Сади Карно, 1796—1832), технической механики [разрабатываются в тесной связи с дифференциальной геометрией Понселе (1789—1867), Дюпеном <1784—1873) и др.], полета артиллерийских снарядов и т. п. Во второй половине 19 в. математич; методы проникают почти во все области науки и техники (см. далее главы: М. и другие науки, М. и техника).

Новые математические теории, впервые возникающие в 19 в., появляются частью под давлением новых потребностей практики, в значительной же мере в результате внутренней работы по логическому уяснению и приведению в порядок накопленного материала. Выше были указаны основные идеи этого переустройства основных понятий М., происшедшего в 19 в. (см. также далее гл. Математический метод). Мы ограничиваем нижеследующий исторический очерк указаниями на моменты возникновения в 19 веке новых направлений математического исследования. О дальнейшем развитии этих направлений см. в специальных статьях, посвященных различным разделам М.

Коши публикует в 1821 и 1823 свои лекции, читанные в Политехнической школе, содержащие строгое изложение теории пределов, теории рядов, определение понятия непрерывности функции и основанное на теории пределов изложение дифференциального и интегрального исчисления. Некоторые дополнения к этому изложению и теорема о существовании и единственности решений дифференциальных уравнений публикуются позднее. Дирихле отчетливо формулирует определение функции, как совершенно произвольного соответствия, и доказывает изобразимость любой функции с конечным числом максимумов и минимумов рядом Фурье. Работы Коши и Дирихле дали исчерпывающее разрешение всех затруднений и неясностей, связанных с основами анализа и с понятием функции, в тех пределах, в к-рых они волновали математиков 18 в. Чрезвычайно важной задачей, не разрешенной в 18 в., явилось также создание отчетливой теории комплексных чисел. В 1797 была опубликована работа норвежского землемера Весселя, содержавшая геометрич. интерпретацию комплексных чисел. Она осталась, однако, незамеченной. В 1799 Гаусс публикует первое доказательство основной теоремы алгебры, осторожно формулируя, однако, эту теорему в чисто действительных терминах (разложимость действительного полинома на действительные множители первой и второй степени). Только в публикациях 1816 Гаусс отказывается от этой маскировки несомненно уже давно известной ему теории комплексных чисел. Тем временем Арган публикует в 1806 теорию комплексных чисел с их геометрич. интерпретацией и доказательством леммы Д’Аламбера, а в 1815 — доказательство основной теоремы, близкое по идее к доказательству Коши (последний опубликовал это доказательство лишь в 1821).

На основе ясного понимания природы комплексных чисел возникает теория функций комплексного переменного. Гаусс очень много знал в этой области, но почти ничего не опубликовал. Общие основы теории были заложены Коши, специально теория эллиптических функций была развита Абелем (1802—29) и Якоби (1804—51).Уже на этом этапе характерно, в отличие от чисто алгоритмического подхода 18 в., сосредоточение внимания на выяснении своеобразия поведения функций в комплексной области и основных господствующих здесь геометрич. закономерностей (начиная с зависимости радиуса сходимости ряда Тейлора от расположения особых точек, открытой Коши). Этот в известном смысле слова «качественный» и геометрич. характер теории функций комплексного переменного еще усиливается в середине 19 в. у Римана (1826—66). Здесь оказывается, что естественным геометрич. носителем аналитической функции в случае ее многозначности является не плоскость комплексного переменного, а соответствующая «риманова поверхность» — образование, природа к-рого может быть вполне понятна лишь в рамках нового понимания геометрии, о к-ром говорилось выше. Хотя Вейерштрасс (1815—97) достигает той же общности, что и Риман, оставаясь на почве чистого анализа, дальнейшие исследования Клейна (1849—1925), Пуанкаре (1854—1912), Пикара (р. 1856) и др. все шире пользуются геометрич. методами. На основе теории функций комплексного переменного получает новое направление теория дифференциальных уравнений. В теории обыкновенных дифференциальных уравнений внимание сосредоточивается на изучении поведения решений в комплексной области (аналитическая теория). Для уравнений в частных производных Вейерштрассу и С. В. Ковалевской (1850—91) удается на этой почве установить общие теоремы существования и единственности решений.

В алгебре бесплодные попытки предыдущих столетий, направленные на решение в радикалах уравнений пятой и высших степеней, также находят свое окончательное разрешение в создании теорий, переносящих центр тяжести на изучение вместо самих уравнений совсем, новых объектов. Сначала Руффини (1766—1822) в 1799 и более строго Абель в 1826 доказывают неразрешимость в радикалах общего уравнения пятой степени. Далее, Галуа (1811—32) показывает, что вопрос о разрешимости уравнений в радикалах зависит от свойств связанной с уравнением «группы Галуа». Задача общего абстрактного изучения групп ставится Кели (1821—95). О значении теории групп вообще в М. уже говорилось выше. Следует отметить, что даже в алгебре всеобщее признание теории групп произошло только после работ Жордана (1832—1922) в 70-х гг. От Галуа и Абеля берет свое начало также понятие поля алгебраич. чисел. Исследование полей алгебраич. чисел и особенно целых алгебраич. чисел становится основным предметом алгебраических и теоретико-числовых работ Куммера (1810—93), Кронекера (1823—1891), Дедекинда (1831—1916) и Гильберта (р. 1862). Рядом с возникающей отсюда «алгебраической теорией чисел» в работах Дирихле (теорема о простых числах в арифметической прогрессии) и Римана (связь теоретико-числовых проблем со свойствами функции) начинается «аналитическая теория чисел», т. е. применение к теории чисел методов теории функций комплексного переменного и анализа. Эти последние методы приводят в дальнейшем к наибольшим успехам в решении классических проблем элементарной теории чисел. В самой элементарной теории чисел, начиная с Гаусса, основным предметом изучения делаются арифметические свойства алгебраич. форм. Эрмит (1822—1901) доказывает в 1873 трансцендентность числа $e$, а Линдеман в 1882 — числа \pi. Минковский (1864—1909) вводит в теоретико-числовое исследование геометрические методы.

Дальнейшее развитие теории алгебраических форм и их инвариантов [Якоби, Гессе (1811—74), Эрмит, Гильберт и др.] тесно переплетается с развитием алгебраич. геометрии [Плюккер (1801—68), Кели, Сильвестр (1814—1897) и др.]. Если, при этом, вначале геометрия рассматривается лишь как область применения общих алгебраич. методов, то с созданием $n$-мерной геометрии открываются возможности геометрия, интерпретации всех фактов теории алгебраических форм. Мы уже сталкивались несколько раз с тем обстоятельством, что в 19 в. геометрия, методы проникают во все отделы М. Для выработки соответствующих этому обстоятельству общих взглядов на предмет геометрии (см. о них выше) исторически имело большое значение развитие неэвклидовой геометрии. Гаусс владел основными положениями этой геометрии, не будучи, однако, в состоянии решить вопрос о ее реальном смысле (т. е., с более поздней точки зрения, указать объекты, в системе к-рых действительно осуществляются закономерности этой геометрии, и тем самым доказать совместность ее аксиом). Гаусс ничего не опубликовал по поводу неэвклидовой геометрии, поэтому честь ее открытия принадлежит Лобачевскому (см.) (1793—1856) и И. Больяй (1802—60). Совместность аксиом неэвклидовой геометрии установили Клейн (в 1871) и Пуанкаре. Параллельно развивалась, долгое время независимо от неэвклидовой геометрии, проективная геометрия (Понселе, Штейнер, 1796—1863, Штаудт, 1798—1867, и др.), также связанная с существенным изменением старых взглядов на пространство. Кели была построена проективная метрика, но только Клейном была обнаружена ее связь с неэвклидовой геометрией.

Плюккер строит геометрию, рассматривая в качестве основных элементов прямые. Грасман (1809—77) создает аффинную и метрическую геометрию $n$-мерного векторного пространства. Наконец, Клейн, на основе общей теории непрерывных групп, созданной Ли (1842—1899), подчиняет все разнообразие построенных к этому времени различных «геометрий» пространств различного числа измерений общей идее изучения инвариантов той или иной группы преобразований. Уже в гауссовской внутренней геометрии поверхностей дифференциальная геометрия по существу также освобождается от неразрывной связи с эвклидовскими геометрия, формами: то, что поверхность лежит в трехмерном эвклидовом пространстве, является для этой теории случайным обстоятельством. Исходя из гауссовских идей, Риман создает концепцию n-мерного многообразия с метрической геометрией, определяемой дифференциальной квадратичной формой $ds^{2}=\sum a_{ik}dx_{i}dx_{k}$. Этим было положено начало общей дифференциальной геометрии $n$-мерных многообразий, получившей особое развитие в работах Риччи (1853—1925), Леви-Чивита (р. 1873), Картана (р. 1869) и др. Продолжается и развитие трехмерной дифференциальной геометрии (Бельтрами, 1835—1900, Бианки, 1856—1928, Дарбу, 1842—1917, и др.). Риманом начато изучение топология, свойств $n$-мерных многообразий, к-рое привело Пуанкаре к созданию $n$-мерной топологии как самостоятельной науки.

Идеи теории непрерывных групп преобразований и многомерной геометрии оказывают глубокое влияние на теорию дифференциальных уравнений, в значительной мере превращая ее в геометрия, изучение поведения интегральных кривых в соответствующем пространстве. Начиная с Пуанкаре, качественное исследование поведения интегральных кривых опирается на топологические методы.

Что касается дифференциальных уравнении в частных производных, то в конце 19 в. их теория получает вновь более физическое направление, сосредоточиваясь [Карл Нейман (1832—1925), Пуанкаре и др.] на решении «краевых задач уравнений математической физики». Это направление приводит далее к созданию теории интегральных уравнений [Вольтерра (р. 1860), Фредгольм (1866—1927), Гильберт и др.]. Вольтерра формулирует общие идеи функционального анализа (см.), частными задачами к-рого является решение функциональных (в том числе интегральных) уравнений и нахождение минимумов и максимумов функционалов (основная задана вариационного исчисления). Введение в функциональный анализ геометрич. методов осуществляется при помощи понятия функционального пространства (Фреше). Очерченное выше развитие геометрии и анализа вновь усилило в конце 19 в. внимание к логическим основам М. Математическая «строгость», удовлетворявшая математиков начала 19 в., оказалась недостаточной с точки зрения новых требований. В частности, в логическом построении начал анализа, после Коши и Дирихле, оставался существенный пробел: понятие иррационального числа продолжало быть основанным на наглядном геометрическом представлении об измерении непрерывных величин. Этот пробел был заполнен Кронекером, Дедекиндом и Вейерштрассом, построившими чисто арифметическую теорию иррациональных чисел. Уже эта теория (особенно у Дедекинда) носит явно выраженный теоретико-множественный характер. С развитием современных взглядов на структуру математической теории (см. далее гл. Аксиоматический метод) теория множеств становится неизбежной предпосылкой последовательно логического, отправляющегося от сформулированных в общей абстрактной форме аксиом, изложения всякой математической теории. Основы теории множеств как самостоятельной науки были заложены Дедекиндом и особенно Кантором (1845—1918), главные работы к-рого были опубликованы в 1879—84. Последовательное теоретико-множественное аксиоматическое обоснование арифметики, анализа и геометрии было начато итал. школой (Пеано, 1858—1932, и др.). В геометрии полное признание эта система изложения получила после опубликования в 1899 «Оснований геометрии» Гильберта. Кантором же начаты исследования по теории точечных множеств и исследования по теории функций действительного переменного теоретико-множественного характера. Это последнее направление особенно энергично продолжалось французской школой [Борель (р. 1871), Лебег (р. 1875) и др.]. В 20 в. на почве теории множеств развиваются абстрактная топология и абстрактная алгебра. Вместе с тем теоретико-множественные построения вообще проникают и во все отделы анализа (особенно в функциональный анализ).

II. Математический метод.

Математика и другие науки. Математический метод в применении к изучению того или иного специального круга явлений (будь то физических, биологических или социальных) состоит, в соответствии с вышесказанным, в выделении формы изучаемых явлений и исследовании этой формы в чистом виде. Принципиально область применения математического метода не ограничена: все формы движения материи могут изучаться математически. Однако роль и значение математического метода в различных случаях различны. Никакая определенная форма не исчерпывает всей конкретности действительных явлений; поэтому процесс познания конкретного протекает всегда в борьбе двух тенденций: с одной стороны, выделения общей формы изучаемых явлений и логического анализа этой формы и, с другой стороны, вскрытия моментов, не укладывающихся в установленные формы, и диалектического перехода к рассмотрению новых форм, более гибких и полнее охватывающих явления. Если все трудности изучения какого-либо круга явлений лежат в осуществлении — второй тенденции, если каждый новый шаг исследования связан с привлечением к рассмотрению качественно новых сторон явлений, то математический метод отступает на задний план; в этом случае диалектический анализ всей конкретности явления может быть лишь затемнен математической схематизацией. «„Чем богаче определенностью, а тем самым и отношениями, становятся мысли, тем, с одной стороны, более запутанным, а с другой более произвольным и лишенным смысла становится их изображение в таких формах, как числа“» (Ленин, Конспект книги Гегеля «Наука логики», в его кн.: Философские тетради, 1936, стр. 116). Если, наоборот, сравнительно простые и устойчивые основные формы изучаемых явлений охватывают эти явления с большой точностью и полнотой, но зато уже в пределах этих зафиксированных форм явлений возникают достаточно трудные и сложные проблемы, действительно требующие специального математического исследования, в частности, создания специальной символической записи и специального алгоритма для своего решения, то мы попадаем в сферу господства математического метода.

Типичным примером полного господства математического метода является небесная механика, в частности, учение о движении планет. Очень просто выражающийся математически закон всемирного тяготения почти полностью определяет собой изучаемый здесь круг явлений. За исключением теории движения луны, законно, в пределах доступной нам точности наблюдений, пренебрежение формой и размерами небесных тел — замена их «материальными точками». Но возникающая здесь задача движения $n$-материальных точек под действием сил тяготения уже в случае $n$=3 представляет колоссальные трудности. Зато каждый результат, добытый математическим анализом принятой схемы явления, с огромной точностью осуществляется в действительности: логически очень простая схема очень хорошо отражает избранный круг явлений, и все трудности лежат в извлечении математических следствий из раз принятой схемы.

С переходом от механики к физике еще не происходит заметного уменьшения роли математического метода, но значительно возрастают трудности его применения. Почти не существует области физики, не требующей употребления весьма развитого математического аппарата, но очень часто основная трудность исследования лежит не в развитии математической теории, а в выборе предпосылок для математической обработки и в истолковании полученных математическим путем результатов. В этом смысле современная квантовая физика, несмотря на употребление глубокого и своеобразного математического аппарата, в меньшей степени может рассматриваться как сфера господства математического метода, чем нек-рые отделы классической физики (классическая термодинамика, теория электричества и т. п.).

На примере ряда физических теорий можно наблюдать способность математического метода охватывать и самый процесс перехода познания действительности с одной ступени на следующую, более высокую и качественно новую. Классическим образцом может служить соотношение между макроскопической теорией диффузии, предполагающей диффундирующее вещество распределенным непрерывно, и статистической теорией диффузии, исходящей из рассмотрения движения отдельных частиц диффундирующего вещества. В первой теории плотность диффундирующего вещества удовлетворяет определенному уравнению в частных производных. К нахождению решений этого дифференциального уравнения при надлежащих краевых и начальных условиях и сводится изучение различных проблем, относящихся к диффузии. Замечательно, что те же самые уравнения и те же самые типы краевых и начальных условий дают ответ и на соответствующие вопросы, касающиеся распространения теплоты и течения электричества: математическая форма теории оказывается общей для нескольких теорий с различным конкретным содержанием. Непрерывная теория диффузии с очень большой точностью передает действительный ход явлений, поскольку дело идет об обычных для нас (макроскопических) пространственных и временных масштабах. Однако для малых частей пространства (вмещающих лишь небольшое число частиц диффундирующего вещества) само понятие плотности теряет определенный смысл, тем более становится бессмысленным считать плотность непрерывной и дифференцируемой функцией от точки пространства. Следует иметь в виду,, что все применения анализа бесконечно-малых, в частности, дифференциальных уравнений, к механике и физике имеют тот же характер: если в математической теории функция $y=f(x)$ дифференцируема, т. е. отношение приращений ${\frac {\vartriangle y}{\vartriangle x}}$ с уменьшением $\vartriangle x$ стремится к производной $f'(x)$, то в действительности приближается к величине, принимаемой приближенно за $f'(x)$, когда $\vartriangle x$ становится малым по отношению к типичным масштабам, употребляемым в данной теории, но еще не выходит за пределы ее пригодности. При дальнейшем же уменьшении $\vartriangle x$ отношение — ${\frac {\vartriangle y}{\vartriangle x}}$ может вновь далеко отойти от установившегося была стационарного значения; в конце же концов: (при очень малых $\vartriangle x$) самый смысл выражения ${\frac {\vartriangle y}{\vartriangle x}}$ исчезает. Статистическая теория диффузии исходит из рассмотрения микроскопических случайных перемещений диффундирующих частиц под действием толчков молекул растворяющего вещества. Точные количественные закономерности этих микроскопических перемещений нам неизвестны. Однако математическая теория вероятностей позволяет из общих предпосылок о малости перемещений за малые промежутки времени и независимости перемещений частицы за два последовательные промежутка, времени получить определенные количественные следствия: определить (приближенно) законы распределения вероятностей для перемещений частиц за большие (макроскопические)» промежутки времени. Так как число отдельных частиц диффундирующего вещества очень велико, то законы распределения вероятностей для перемещений отдельных частиц приводят, в предположении независимости перемещений каждой частицы от других, к вполне определенным, уже не случайным закономерностям для перемещения диффундирующего вещества, в целом: к тем самым дифференциальным уравнениям, на к-рых построена непрерывная теория. Наш пример достаточно типичен в том смысле, что очень часто образование на почве одного круга закономерностей (у нас — законов: движений отдельных частиц диффундирующего вещества) другого качественно нового рода закономерностей (у нас — дифференциальных уравнений непрерывной теории диффузии) происходит через посредство статистики случайных явлений. Следует еще подчеркнуть, что непрерывная теория диффузии после дедукции из статистической ни в коей мере не лишается своей самостоятельности: диффузия непрерывно распределенного вещества не перестает быть, объективной формой движения материи оттого, что в очень малых частях пространства она сменяется другой формой движения, к-рая сама не обладает большей безусловностью и окончательностью. Ограниченная точность непрерывной теории диффузии не лишает также объективного смысла и точной математической теории соответствующих дифференциальных уравнений, так как их отношения к действительности не ограничиваются описанием процессов диффузии и принципиально не ограничены никаким определенным кругом явлений.

В биологических науках математический метод играет более подчиненную роль. Если и удается заключить течение биологических явлений в математические формулы, то область пригодности этих формул остается весьма ограниченной, а соответствие их реальному ходу явлений грубо приближенным. Объясняется это не принципиальной невозможностью математического изучения биологических явлений, я, их большим качественным разнообразием. Сравнительно неподвижные и простые формы, доступные математической обработке, здесь лишь весьма несовершенно охватывают всю конкретность явлений. Можно, напр., математически записать законы взаимодействия между несколькими видами, находящимися в процессе борьбы за существование. Можно проинтегрировать полученные уравнения и выяснить условия возможности устойчивого сосуществования видов, вытеснения одних видов другими, или возникновения периодических колебаний их численности. Полученная математическая схема находится в таком же отношении к реальному процессу борьбы за существование, как механика системы материальных точек к действительному движению тел солнечной системы; в обоих случаях построенная нами математич. схема представляет собой вполне реальную форму течения конкретных явлений, при этом форму общую, могущую принципиально повторяться неограниченное число раз: механика системы материальных точек, движущихся под действием сил ньютоновского тяготения, охватывает не только движение солнечной системы, но и движение других систем небесных тел, точно так же взаимоотношения между различными группами сосуществующих в различных местах видов являются предметом одной общей теории. Существенное различие заключается в том, что в случае изучения движения солнечной системы общая форма явления, подвергнутая математич. обработке, почти целиком исчерпывает конкретный случай движения тел солнечной системы, в случае же борьбы нескольких видов за существование каждый отдельный случай осложнен столь большим числом качественно своеобразных особенностей, что было бы совершенно необоснованным ожидать, чтобы действительный ход явлений обнаруживал особенно точное соответствие с выводами математич. теории. Не следует, однако, и недооценивать роли математич. метода в тех случаях, когда, не давая точных количественных результатов (в силу пренебрежения теми или иными сторонами явления, не поддающимися математич. обработке), он все же позволяет обнаружить общие тенденции хода явлений. Уже в аэро- и гидромеханике математич. теория, исходящая из упрощенных предпосылок, часто служит не для получения количественно правильных результатов, а для общей ориентировки и направления дальнейших экспериментов, к-рые часто одни способны дать требуемые количественные результаты. — В еще большей степени, чем в биологии, математич. метод уступает свое место непосредственному анализу явлений во всей их конкретной обстановке в социальных науках. Здесь особенно велика опасность, абстрагировав форму течения явлений, пренебречь накоплением качественно новых моментов, дающих всему процессу существенно иное направление. Не случайно поэтому сложный математич. аппарат т. н. «математической политической экономии» был использован буржуазной наукой с целью доказательства устойчивости и неизменности капиталистич. строя. Фундаментальным остается значение — М. для социальных дисциплин в форме подсобной науки — математической статистики (см.). В окончательном же анализе социальных явлений моменты качественного своеобразия каждого историч. этапа приобретают столь доминирующее положение, что математич. метод отступает на задний план. Следует, однако, отметить значение, к-рое придавал Маркс построению математической теории кризисов: «Я здесь рассказал Муру одну историю, с которою частным образом долго провозился. Но он думает, что вопрос неразрешим или, по крайней мере, pro tempore (для данного времени. — Ред.) неразрешим в виду многочисленных и неоткрытых еще теперь факторов. Дело в следующем: ты знаешь таблицы, в которых представлены цены, учетный процент и пр. в их движении в течение года и т. п. в их колебаниях вверх и вниз. Я неоднократно пытался — для анализа кризисов — вычислить эти up and downs (повышения и понижения. — Ред.), как неправильные кривые, и думал (думаю еще и теперь, что это возможно с достаточно проверенным материалом) математически вывести из этого главные законы кризисов. Мур, как сказано, считает задачу пока невыполнимой, и я решил for the time being (на ближайшее время. — Ред.) отказаться от нее» (Маркс, Письмо Энгельсу от 31/V 1873, в кн.: Маркс и Энгельс, Сочинения, т. XXIV, стр. 414). — Поэтому не следует огульно отрицать возможность применения к анализу социальных явлений аппарата типа дифференциальных уравнений, связывающих различные количественные показатели экономии, конъюнктуры и т. п.

Математика и техника. Начала арифметики и элементарной геометрии, как отмечалось в историч. очерке, возникли из непосредственных запросов практики. В дальнейшем развитии М. непосредственное воздействие запросов практики уступает руководящую роль в формировании новых математич. методов и идей влиянию опирающегося в своем развитии на те же запросы практики математич. естествознания (астрономии, механики, физики и т. д.). Прямые же связи М. с техникой чаще имеют характер применения уже созданных математич. теорий к технич. проблемам. Укажем, однако, примеры возникновения именно новых общих математич. теорий на основе непосредственных запросов техники. Гаусс, руководя геодезическими работами, по этому поводу создает метод наименьших квадратов; изучение многих новых типов уравнений в частных производных впервые начинается с решения технич. проблем (напр. уравнения теории упругости у Навье) и иногда непосредственно инженерами (уравнения пластичности у Сен-Венана); операторные методы решения дифференциальных уравнений развиваются на. почве электротехники (Хевисайд) и т. д.

Далее, по преимуществу под непосредственным воздействием технич. нужд, возникли начертательная геометрия и номография (см.). Решающую роль технич. задачи, рядом с нуждами астрономии, играли в развитии методов приближенного решения дифференциальных уравнений. Целиком на технич. почве возникли методы приближенного решения уравнений в частных производных (напр., метод Ритца) и интегральных уравнений. Задача быстрого фактического получения численных решений приобретает все большую остроту с усложнением технич. проблем. Если уже давно артиллеристы для расчета траекторий снарядов и мостовики для расчета ферм нуждались в обширных кадрах вычислителей, то теперь, напр., расчет плотин больших электростанций иногда требует тысяч человеко-дней. Все большие запросы к вычислительной технике предъявляют, впрочем, и теоретические научные исследования даже в таких молодых областях, как, напр., геофизика. Поэтому приобретает все большее значение механизация численного решения математич. проблем. Техника сама приходит теперь на помощь М.: следом за счетными машинами, планиметрами и интеграфами (см.) появляются гармонические анализаторы (см.), интеграторы дифференциальных уравнений, приборы для решения систем линейных уравнений и т. д. Нарождается целая новая отрасль техники — «математическое машиностроение» (см. Инструменты математические).

Математическая абстракция. Количественные и пространственные формы действительного мира познаются при помощи абстракции — выделения их из конкретного многообразия действительности. Мы должны теперь на простейших примерах разобраться ближе в характере математич. абстракции. Это даст нам возможность противопоставить материалистич. взгляд на М. различным течениям идеалистич. философии М. — Рассматривая материальные тела исключительно с точки зрения их формы, размеров и положения, отвлекаясь от всех их прочих свойств (вроде плотности или химич. состава и т. п.), приходят к понятию геометрической фигуры и взаимного расположения геометрич. фигур: геометрические фигуры есть формы материальных тел. Каждая геометрич. фигура не является, однако, отвлечением от какого-то одного определенного материального тела: тела кубической формы никогда не бывают вполне кубическими, самое понятие границы конкретного материального тела никогда не обладает абсолютной определенностью. Если мы не говорим, что реальной формой существования материальных тел является лишь «приблизительный куб», как это пытались делать представители философского эмпиризма, создавшие так наз. натуральную геометрию, то это потому, что понятие настоящего геометрического куба связано не с каким-либо одним конкретным приблизительно кубическим телом, а скрывает в себе представление о принципиально неограниченном процессе перехода к все более и более «точным» кубическим телам; процессе тоже вполне реальном. — Свойства геометрич. фигур и их взаимоотношения составляют предмет элементарной геометрии. Подчинение элементарной геометрии более общим точкам зрения современной абстрактной геометрии ничего не меняет в развитом здесь взгляде на элементарную геометрию как на науку о пространственных формах и отношениях материальных тел. Следует лишь еще раз подчеркнуть, что геометрия занимается чистыми пространственными формами. Если форма конкретных тел не вполне отчетливо определена (границы их «размыты») или не вполне устойчива и постоянна, то это нисколько не задевает самой геометрии.

С еще более общими формами реального бытия имеет дело арифметика. Везде, где применимы категории единства и множества, везде, где мы имеем дело с совокупностью (множеством) четко разграниченных вещей (напр. твердых материальных тел), множество содержит определенное число элементов (мы оставляем в стороне бесконечные множества, о которых см. далее, т. к. бесконечные множества отчетливо разграниченных и определенных объектов возникают лишь на второй ступени абстракции в пределах самой М.). Таким образом, количественное натуральное число есть также реальная количественная форма материального бытия. Но мы для удобства изучения делим, например, рабочих какой-либо фабрики на отдельных индивидуумов (как должны были бы утверждать, будучи последовательными, субъективные идеалисты), а реально существующий коллектив действительно состоит из определенного числа индивидуумов. Понятие числа, как всякое понятие, существует лишь в сознании, но самый объект этого понятия — число — является реальной количественной формой.

Рядом с понятием количественного натурального числа стоит понятие порядкового натурального числа. В природе мы часто встречаем системы вещей, расположенные в определенном «линейном» порядке, так что среди них естественно выделяется первая, расположенная за ней вторая, расположенная за второй вещью третья и т. д. Например, линейное расположение вдоль по течению порогов какой-либо реки есть объективная форма их расположения, существующая независимо от нашего сознания. Если часто такой порядок устанавливается нашей деятельностью (напр., мы рассаживаем деревья вдоль дороги), то это не меняет общего положения, что линейный порядок расположения системы вещей есть одна из форм реального мира: мы не только мыслим деревья посаженными в определенном порядке, а действительно сажаем их в этом порядке. Абстрагируя понятие места в упорядоченном множестве, мы и получаем понятие порядкового числа. Из сказанного можно было бы сделать вывод, что должны существовать две арифметики натуральных чисел: арифметика количественных чисел и арифметика порядковых чисел. В действительности, однако, этого нет. Ни элементарная арифметика натуральных чисел, изучающая 4 арифметич. действия над натуральными числами, ни теория чисел, изучающая более тонкие свойства натуральных чисел, не строятся отдельно для количественных чисел и отдельно для порядковых чисел. Возникает мысль, что, может быть, различие между количественным и порядковым числом не так глубоко и одно может быть сведено к другому. Однако новейшее развитие М. показало, что принципы образования количественных и порядковых чисел радикально различны: в применении к бесконечным множествам объектов они действительно приводят к двум совершенно различным арифметикам количественных и порядковых чисел (см. Множеств теория, Трансфинитные числа). — В чем же дело? Почему внутри самой М. различие между количественными и порядковыми натуральными (соответствующими конечным множествам) числами как бы исчезает? Правильный ответ на этот вопрос существенно необходим, если мы не хотим попасть в плен к идеалистич. учениям природе М. Субъективные идеалисты нам скажут, что количественные и порядковые числа обозначаются одними и теми же знаками:

$1,2,3,4,5,6,7,8,...$,

‎а арифметика и имеет дело только с этой последовательностью знаков. Объективный идеалист заявит, что числа, как некие, независимые от материального мира, сущности, сами в себе не являются ни количественными ни порядковыми. Материалистич. разрешение вопроса таково: арифметика изучает не изолированно отдельные числа, а взаимоотношения между числами, иначе говоря, внутренние свойства системы чисел; устройство же системы количественных натуральных чисел и системы порядковых натуральных чисел совершенно одинаково: каждому количественному натуральному числу соответствует вполне определенное порядковое натуральное число и наоборот; основные арифметические действия — сложение и умножение — имеют разный смысл для количественных и порядковых чисел, но, складывая порядковые числа, соответствующие двум количественным числам, получают порядковое число, соответствующее сумме взятых количественных чисел. На языке современной М. две такие системы элементов с одинаковым внутренним устройством называются изоморфными (см. определение этого понятия далее в разделе «Аксиоматический метод»). Мы сталкиваемся здесь с частным случаем одной из руководящих идей новейшего развития М.: изоморфные системы объектов могут и должны служить предметом изучения одной общей теории, сколь бы собственная природа объектов, образующих эти системы, ни была различна. В частности, чистой арифметике безразлично, изучает ли она систему количественных натуральных чисел или систему порядковых натуральных чисел, так как их внутреннее устройство тождественно, или, точнее говоря, чистая арифметика изучает общую форму обеих этих систем. Мы поднимаемся здесь на вторую ступень абстракции: некоторая система форм и отношений действительного мира сама рассматривается с точки зрения своей формы.

Охарактеризованная только-что вторая ступень абстракции существенно необходима для достижения понятия действительного числа, понятия, с которым так и не справилась М. древнего мира. Если в конечном счете эта ограниченность античной М. должна быть сведена к примитивности производственных отношений и технич. уровня древнего мира, то известную роль здесь сыграли и принципиально ограничительные тенденции платоновской философии. Обращая действительное положение вещей, Платон считал числа и геометрич. формы первоначальными сущностями — идеями, через причастность к к-рым материя только и получает определенные формы. Так как сами идеи абсолютны и независимы, то идеям об идеях Платон уже не приписывал независимого существования (см., например, Парменид, 132, $A-B$), а именно только в этой форме (идей об идеях) могли бы найти свое место в рамках платоновской философии действительные числа во всей их общности (т. е. включая иррациональные числа). — По существу те же самые ограничительные тенденции лежат в основе современных течений идеалистич. философии М. — интуиционизма и формализма. Принципиальная новизна второй ступени абстракции и главная причина сомнений в ее закономерности заключается в том, что она неразрывно связана с явным введением в М. бесконечного. Конечно, уже первая ступень абстракции доставляет нам бесконечное множество количественных форм. Однако здесь эта бесконечность выступает еще чисто отрицательным образом. Так, элементарная арифметика, констатировав, что запас натуральных чисел не ограничен, в дальнейшем употребляет в каждой отдельной задаче лишь конечное множество чисел. На второй же ступени абстракции бесконечные системы (множества) объектов, полученных на первой ступени, сами делаются предметом изучения и рассматриваются как исходный пункт дальнейшей абстракции. Так, пропорциональность двух пар отрезков ($a:b=a':b'$) определяется, по Эвклиду, при помощи бесконечного множества числовых неравенств ($a:b=a':b'$, если для любых натуральных чисел $n$ и $m$ из $na>mb$ вытекает $na'>mb'$ и из $na<mb$ вытекает $na'<mb'$). Понятие действительного числа как чистого отношения возникает в результате абстрагирования того общего, что имеется у всех пар отрезков, связанных пропорциями $a:b=a':b'=a'':b''=a''':b'''=...$ — Отделить понятие действительного числа как чистого отношения от понятия пары отрезков (или других величин) и сделать его предметом самостоятельного рассмотрения, начать действительные числа сами по себе складывать, умножать, возводить в степень и т. д., — это и значит подняться на вторую ступень абстракции. Но этого так и не сделал Эвклид и вообще математика древнего мира. Более распространенные теперь другие способы логического построения теории действительных чисел содержат неизбежно аналогичное обращение к бесконечному. Поэтому континуум действительных чисел и стал основной мишенью критики современных идеалистич. философов М. (Брауэр, Вейль и др.).

Дальнейшие ступени абстракции после второй (напр., рассмотрение произвольных множеств действительных чисел, классов этих множеств и т. д.) уже не представляют ничего принципиально нового. С точки зрения материалистич. диалектики не представляет, однако, ничего удивительного, что этот неограниченный ряд нагромождений одной абстракции на другую нельзя мыслить себе в качестве законченного. Это и обнаружилось в современной теории множеств (см. Парадоксы математические). Неуменье диалектически справиться с этим обстоятельством сыграло большую роль в распространении в новейшей буржуазной философии М. уже упоминавшихся ликвидаторских течений, готовых из страха «дурной бесконечности» выкинуть из М. все, явно опирающееся на понятие бесконечного множества, вплоть до действительных чисел. Говоря об идеалистических направлениях в современной философии М., мы отметили лишь те стороны в развитии математич. абстракций, к-рые служат внутренним поводом для появления идеализма в М. Но, разумеется, корни современного идеализма в философии М. те же, что и у «физического» идеализма. Они с исчерпывающей полнотой вскрыты Лениным в его «Материализме и эмпириокритицизме», в данном им анализе кризиса физики 20 в. Эти корни идеализма заключаются в том, что ломка старых отживших понятий в ходе современного развития науки происходит в эпоху империализма, в эпоху господства глубокой реакции и мистики в буржуазной культуре.

Математический алгоритм. После того, как выделен (отвлечен от действительности) определенный круг математических форм и отношений, возникает математич. теория, посвященная их изучению, развитие к-рой подчинено уже своим собственным внутренним закономерностям. К внутреннему устройству такой математич. теории, занимающейся строго ограниченным кругом форм и отношений действительного мира, мы и обращаемся. В пределах каждой математич. теории нашей окончательной целью является полное овладение избранным кругом форм и отношений вплоть до создания регулярного метода — алгоритма, позволяющего по определенным правилам, совершенно автоматически, получать ответы на все вопросы, могущие возникнуть по поводу этих форм и отношений. Так, теория решения алгебраических уравнений заканчивается правилами, которые позволяют: 1) установить, выражаются ли корни уравнения конечной алгебраич. формулой; 2) если такое выражение возможно — найти его; 3) во всех случаях найти приближенное значение корней с любой наперед заданной точностью. Если в решении алгебраич. уравнений этот идеал, отвлекаясь от возможных дальнейших упрощений алгоритма, достигнут, то во многих случаях он представляется еще очень отдаленным, однако в качестве конечной цели он сохраняет свою силу для любой области математики.

Математический алгоритм находит свое внешнее выражение в соответствующей системе символической записи. Только с создайием разработанной математической символики (по поводу ее развития см. Знак математический) самое понятие математич. алгоритма получило полную определенность. По современным представлениям математич. алгоритм состоит из: 1) конечного числа основных понятий, изображаемых специальными знаками. 2) Конечного числа, способов комбинирования основных понятий, также изображаемых специальными знаками, к-рые позволяют образовывать сложные понятия и предложения (суждения). Например, в алгебре буквы обозначают числа; соединяя буквы знаками $+$, $-$, $\times$, $:$, получают алгебраич. выражения, также выражающие числа; соединяя же алгебраические выражения знаками $=,>,<,$ получают уже равенства и неравенства, т. е. известные предложения о числах. Сложные понятия и предложения записываются, таким образом, комбинациями основных знаков. Комбинации знаков, выражающие предложения, называются формулами. 3) Конечного числа правил вывода, выражающихся в виде правил составления и преобразования формул (по типу правил раскрытия скобок, приведения подобных членов и т. п. в алгебре). Таким образом, математич. символика позволяет заменить вывод математич. предложений автоматич. преобразованием формул по определенным правилам, т. е. вычислением. В понятие математич. алгоритма в настоящее время включаются и общие правила вывода формальной логики (вроде принципа силлогизма), употребляемые в математич. доказательствах (о соответствующей этой общелогической части математич. алгоритма символике см. Логика математическая). В этом широком смысле, охватывающем все нужныедля решения математич. проблемы правила формального вывода, мы и будем понимать далее термин «алгоритм». При этом в дальнейших общих рассмотрениях для нас не существенно — является ли алгоритм до конца символизированным или его применение частично, или даже полностью, осуществляется в словесной форме. — В математической теории, подчиненной одному универсальному в ее пределах алгоритму, любые две последовательности разрешенных этим алгоритмом операций должны приводить к согласованным результатам: если бы правила алгебры позволяли для одних и тех же выражений $A$ и $B$ доказать одним способом $A=B$, а другим $A\neq B$, то самый смысл существования алгебры исчез бы. Математическая теория, допускающая единый алгоритм для решения ее проблем, подчинена, таким образом, безусловному требованию внутренней формальной непротиворечивости. Следует лишь помнить, что, будучи безусловным, это требование чисто отрицательно: существует бесконечное множество возможных непротиворечивых теорий, которые могут оказаться совершенно бессодержательными. Положительным образом содержание математич. теории определяется требованием соответствия ее действительности. — В истории М. известно много случаев, когда новые математич. теории, находящиеся во вполне реальном противоречии с основными положениями старых теорий, далеко не сразу оказывались в состоянии избежать и внутренних формальных противоречий. Так, понятие суммы бесконечного ряда качественно отлично от понятия конечной суммы; очевидный для конечных сумм принцип независимости суммы от порядка слагаемых теряет свою силу для бесконечных рядов и т. д. Поэтому отсутствие формально законченной теории суммирования бесконечных рядов в течение долгого времени не только создавало угрозу возможных ошибок, но и приводило фактически к ошибкам даже в работах крупных математиков (например, Абель). Точно так же дифференциальное исчисление возникло сначала, по упоминавшемуся выше выражению Маркса, в форме «мистического дифференциального исчисления», а окончательно сложилось в формально безукоризненную систему, допускающую безошибочное оперирование по строго определенным правилам, спустя лишь более столетия.

Из всего предшествующего изложения ясно, что было бы совершенно необоснованным надеяться заключить всю М. в один всеобъемлющий алгоритм. Чтобы охватить новые количественные и пространственные формы (а запас их неисчерпаем), приходится создавать новые алгоритмы. Можно ли, однако, даже уже в пределах того или иного строго отграниченного круга форм, т. е. в пределах одной математич. теории, всегда рассчитывать на создание универсального алгоритма, отвечающего на все вопросы данной теории, т. е. можно ли создать систему формально-логических правил, позволяющую, путем их последовательного применения, получить ответ на любой вопрос данной теории? Фактически создание такого универсального алгоритма не достигнуто даже в простейших случаях. Например, структура натурального ряда чисел вполне определена давно сформулированной системой аксиом. Поэтому в чистой теории чисел мы имеем дело со строго отграниченной и замкнутой математич. теорией, содержание к-рой потенциально вполне определено аксиомами натурального ряда. Тем не менее, нам до сих пор, напр., еще не известно, достаточно ли имеющихся в нашем распоряжении в настоящий момент формально-логических и вычислительных приемов для того, чтобы хотя бы при помощи очень длинной дедукции ответить на вопрос о справедливости гипотезы Ферма (о неразрешимости уравнения $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ в целых числах при $n>2$). Вполне возможно, что ответ на этот вопрос до сих пор не найден не потому, что соответствующая дедукция слишком сложна, а потому, что она вообще не может быть получена в виде сколь угодно длинной цепи умозаключений, укладывающихся в рамки употреблявшихся до сих пор логич. правил вывода. Если в применении к классическим проблемам теории чисел такое положение вещей является лишь весьма сомнительной гипотезой, то принципиальное значение имеет более отвлеченный результат Гёделя. Именно Гёдель (в 1930) показал, что в пределах теории чисел заведомо могут быть сформулированы проблемы, неразрешимые всей совокупностью созданных ранее математич. и формально-логических алгоритмов. Теорема Гёделя основана на специальной форме употребляющихся в настоящее время алгоритмов. Гораздо более окончательны аналогичные выводы, относящиеся уже не к теории чисел, а к математич. теориям, имеющим дело с несчетными множествами объектов (о счетных и несчетных множествах см. Множеств теория), напр., к теории действительных чисел. Теория такого рода уже заведомо не может быть уложена в пределы одного законченного алгоритма. В частности, изучение действительных чисел заведомо потребует неограниченного творчества все новых и новых алгоритмов (уже в силу одного того, что каждый законченный алгоритм дает возможность индивидуально определить лишь числа, принадлежащие к нек-рому счетному множеству). Поэтому, вообще говоря, единство математич. теории создается не единством алгоритма: структура системы объектов может быть вполне определена (при помощи «полной» системы аксиом, см. следующий пункт); изучение же этой системы может еще — потребовать принципиально не могущего быть законченным неограниченного образования новых алгоритмов.

Диалектический характер развития математич. теории, не охваченной одним единым алгоритмом, заставил упоминавшийся выше формализм вообще отказаться от рассмотрения такого рода теорий. По мнению формалистов, сами алгоритмы, воспринимаемые при этом как чистое «символическое исчисление», и составляют единственное содержание М. Конечно, эта точка зрения, лишающая М. предмета изучения и разрывающая действительное единство математич. теорий, не может не оказаться бесплодной при ее практическом осуществлении.

Аксиоматический метод. Мы уже видели, что, изучая ту или иную системы объектов, М. интересуется не их собственной природой, а лишь формой связей между ними. Поэтому одна и та же математич. теория может применяться к изучению самых различных систем объектов, если форма рассматриваемых между ними связей во всех этих системах одинакова. Как говорят, одна и та же абстрактная математич. теория допускает много различных «интерпретаций». Классический пример этому представляет принцип двойственности (см.) проективной геометрии, в силу к-рого все предложения проективной геометрии остаются в силе, если в их формулировках всюду точки заменить плоскостями и, наоборот, — плоскости точками, всюду, где говорится о прямой, получающейся в пересечении двух плоскостей, говорить вместо этого о прямой, проходящей через две точки (и наоборот) и т. д. Понятие тождества формы связей в двух системах объектов получает полную отчетливость при помощи понятия изоморфизма, возникшего первоначально на почве теории групп. Две системы (множества) объектов $S$ и $S'$, рассматриваемые каждая с некоторыми определенными отношениями между входящими в нее объектами, называются изоморфными, если между ними может быть установлено такое соответствие, при котором: 1) каждому объекту $a$ системы $S$ соответствует один определенный объект $a'$ системы $S'$ и наоборот; 2) каждому из различных типов отношений, рассматриваемых в системе $S$, соответствует определенный тип отношений системы $S'$ и наоборот; 3) если нек-рые объекты $a,b,c,...$ системы $S$ связаны отношением $\varphi (a,b,c,...)$, то соответствующие элементы $a',b',c'$ системы $S'$ связаны соответствующим отношением $\varphi '(a',b',c',...)$ и наоборот. Принцип двойственности проективной геометрии основан на том, что проективное пространство может быть изоморфно отображено на самого себя с превращением точек в плоскости, а плоскостей в точки. Абстрактная теория групп не различает друг от друга изоморфные группы, так как их внутренние формальные свойства одинаковы [при всем различии их конкретного происхождения: напр., группа вращений, совмещающих куб с самим собой, состоящая из 24 элементов, изоморфна группе $4!=24$ подстановок (см.) четырех букв]. Таково же, принципиально, положение и всякой чистой математич. теории.

Изоморфные системы имеют одну и ту же форму. Чтобы определить эту форму в чистом виде, можно указать какую-либо одну из подчиненных ей изоморфных систем. Этот метод, очевидно, страдает произвольностью выбора исходного пункта и поэтому не дает возможности полностью понять взаимоотношение между различными формами. Эти недостатки не свойственны аксиоматическому методу. Этот метод состоит в том, что, не определяя природы объектов подлежащей рассмотрению системы объектов и природы имеющихся в ней связей, указывают на ряд формальных свойств этих связей, выражая их в виде аксиом. Пример такого рода системы аксиом приведен выше (раздел I, пункт 3) при определении понятия группы.

Система аксиом называется полной, если все удовлетворяющие ей системы объектов изоморфны. Система аксиом теории групп не полна (существуют неизоморфные группы!). Существуют полные системы аксиом, определяющие «с точностью до изоморфизма» системы натуральных чисел, действительных чисел, Эвклидово трехмерное пространство и т. д. Система аксиом называется совместной, если существует хотя бы одна система объектов, в которой выполнены все аксиомы системы. Несовместные системы аксиом бессодержательны, — основанные на них теории не отражали бы никакого реального содержания. Таким образом, аксиоматич. метод является лишь средством изучения количественных и пространственных форм действительного мира, а не способом их создания. В этом качестве он достиг большой гибкости и широко применяется также в механике, физике и т. д. — Сами понятия элемента и множества, отображения одного множества на другое и классификация различных типов отношений между элементами произвольного множества являются предметом теории множеств, приобретающей, т. о., для всей М. исключительное значение (см. Множеств теория). — Полное овладение аксиоматич. методом произошло лишь к началу 20 в. В настоящее время уменье аксиоматически оформить тот или иной круг идей (из области М., механики или физики), исследовать систему аксиом на полноту, совместность, независимость и т. п. должно рассматриваться как необходимый элемент общего математич. образования научного работника, работающего в самой М. или математической физике.

В заключение мы должны еще выяснить отношение современного аксиоматического метода к старому пониманию аксиом как «очевидных» истин. Пока аксиоматически изложенная математич. теория рассматривается абстрактно, т. е. независимо от того, к каким именно объектам и отношениям ее собираются применять, возникает вопрос не об истинности ее аксиом, но лишь об их совместности. Однако, как уже говорилось, совместность абстрактно взятой системы аксиом обозначает не что иное, как истинность этих аксиом в какой-либо специальной интерпретации абстрактной теории. Таким образом, современный аксиоматич. метод ничего не меняет в том положении, что всякая математич. теория исходит из соответствия ее аксиом действительности (по меньшей мере для одной интерпретации абстрактной теории). Уверенность в соответствии аксиом действительности, в конечном счете, всегда опытного происхождения. Если опыт, на котором эта уверенность основана, является общим всему человечеству донаучным опытом, превратившимся уже в непосредственную уверенность, не ссылающуюся ни на какие определенные отдельные наблюдения, мы имеем дело с очевидностью. Так дело обстоит с аксиомами элементарной геометрии. В других случаях истинность аксиом математич. теории (для заданной системы объектов и отношений) основывается на специальном научном эксперименте (напр. в случае аксиоматич. изложения основ принципа относительности) или на специальном математич. доказательстве (напр. при доказательстве соблюдения аксиом проективной геометрии в обычном эвклидовом пространстве, пополненном «бесконечно-удаленными элементами»).

Заключение об общем характере развития М. Аксиоматический метод доставляет нам самый широкий принцип построения формально объединенной теории. Предметом каждой формально объединенной теории (будь то теории чисел, теории групп, топологии и т. д.) является изучение всех систем объектов, удовлетворяющих лежащей в основе теории системы аксиом. В случае, напр., теории чисел такая система «с точностью до изоморфизма» единственна, в случае теории групп, или топологии — нет. В пределах каждой такой формально объединенной теории развиваются стремящиеся охватить ее возможно полнее алгоритмы, автоматизирующие (сводящие к вычислению) решение проблем теории. Диалектическое развитие М. происходит по трем направлениям: 1) создание для охвата новых количественных и пространственных форм и отношений действительного мира новых теорий, построенных на новых системах аксиом; 2) развитие новых алгоритмов, охватывающих (в пределах формально уже определенной своими аксиомами теории) решение проблем, недоступных старым алгоритмам; 3) создание новых алгоритмов для решения более коротким путем проблем, лишь принципиально доступных старым алгоритмам.

В этом своем развитии М. не боится противоречий: новая система аксиом может противоречить старой (введение в геометрию бесконечно удаленных элементов противоречит аксиомам элементарной геометрии), правила нового алгоритма могут противоречить правилам старого. Иногда делают вид, что не замечают этого противоречивого характера развития М., разрывая для этого развитие М. на отдельные несвязанные куски. Если, напр., введение $i={\sqrt {-1}}$ противоречит правилам алгебры действительных чисел, то говорят, что алгебра комплексных чисел не есть органич. продолжение алгебры действительных чисел, а новая и совершенно независимая теория. В угоду этому взгляду объявляют даже, что, напр., число $+{\sqrt {2}}$ в системе действительных чисел и то же самое число в системе комплексных чисел не является одним и тем же числом, так как, якобы, «строго говоря», в системе комплексных чисел мы имеем дело с «парой» ($+{\sqrt {2,0}}$), а не просто с числом $+{\sqrt {2}}$. В угоду этой же тенденции во всем мире 12—13-летних детей заставляют учить, что положительные числа в алгебре являются чем-то совсем отличным от чисел «без знака», рассматриваемых в арифметике (а иногда даже доходят до требования выучить ответ на вопрос: в чем разница между «арифметическим» и «алгебраическим» нолем?). Между тем, вполне естественно, например, систему всех комплексных чисел считать расширением системы действительных чисел. Если до введения комплексных чисел мы говорим, что квадратный корень из отрицательного числа извлечь нельзя, то после их введения это правило отменяется, и взамен его остается лишь положение, что квадратный корень из отрицательного числа не может быть действительным. — Образец исследования диалектич. характера развития М. был дан К. Марксом в изданных в 1933 математич. рукописях (относящихся к 1870—82). В СССР впервые широко поставлена задача разработки истории и философии математики на основе марксистской материалистич. диалектики. До настоящего времени, однако, можно говорить лишь о первых шагах, сделанных в этом направлении.

III. Современная организация математического исследования.

Мы проследили в историч. части статьи, как к началу 20 в. сложились основные разделы современной М. К 20 в. объем математической науки количественно возрос по сравнению с 18 в. во много раз. Чрезвычайно увеличилось и число продуктивно работающих математиков. В соответствии с более широким распространением математич. исследований основными центрами, объединяющими математиков, рядом с академиями становятся университеты. В университетах научное исследование тесно переплетается с научным преподаванием. Новые открытия часто излагаются в лекциях еще до их опубликования. В занятиях математич. семинаров большое количество молодежи, начиная со средних курсов университета, вводится в творческую лабораторию руководителей. Во много раз более, чем в 18 в., расширяются кадры будущих ученых исследователей, способных быстро овладеть современным утонченным математич. аппаратом и взяться за дальнейшее продвижение науки вперед. По этому поводу стоит отметить, что, вопреки распространенному мнению о трудности и сложности современной М., в М. попрежнему часты и даже типичны случаи очень раннего начала самостоятельных исследований. Пожалуй, они вызывают теперь меньше удивления, чем раньше: в 16 веке казалось почти невероятным, что Феррари 23 лет нашел решение уравнения четвертой степени, а в начале 19 века Галуа 19 лет развивает несравнимо более глубокие теории, в конце же этого века никого особенно не поражает, когда Клейн или Минковский 19 лет публикуют важные и открывающие новые пути мемуары. — Зато реальной опасностью для дальнейшего научного прогресса становится возрастающая специализация математиков, каждый из которых теперь обычно вполне владеет лишь небольшой областью М., связанной с направлением его собственных исследований. Возникает разрыв между прикладной и чистой М. Разрыв этот усиливается реакционными идеологическими течениями, культивирующими, с одной стороны, представление о чистой М. как об изолированной абстрактной науке, к-рую чуть ли не оскверняет прикосновение к практике, с другой же стороны, чистое прикладничество, чуждающееся широких обобщений и даже строгой математич. культуры. Обостряется также противоположность между классич. направлением, интересующимся лишь решением конкретных, давно поставленных (классических) проблем, и абстрактным, обобщающим направлением, связанным особенно с теорией множеств. В действительности, однако, все более тесное переплетение различных областей М. делает больше чем когда-либо необходимым сохранение единства математической науки. Наглядным примером возможности этого идеала единой М. является деятельность двух величайших математиков конца 19 и начала 20 вв. — Пуанкаре и Гильберта. Гильберт говорит по этому поводу (речь на Всемирном математич. конгрессе в 1900): «Чем далее развивается математическая теория, тем более гармоничным и объединенным становится ее строение, тем больше открывается неожиданных связей между ранее не связанными областями науки. Таким образом единый характер математики не теряется с ее ростом, но становится все более ясным и очевидным... Каждое действительное продвижение вперед идет рука в руку с открытием более сильных и простых методов, которые облегчают понимание старых теорий и устраняют необходимость старых сложных доказательств».

В приведенном высказывании Гильберта подчеркнута одна сторона дела: правильно поставленное обобщение в М. приводит не к обременению ее новыми сложными и чрезмерно абстрактными теориями, а к объединению и упрощению старых разрозненных теорий. Другой стороной вопроса является необходимость более высоких организационных форм научного исследования, к-рые должны помочь каждому исследователю найти наилучшее приложение своим силам и выбрать для этого из всего арсенала математич. методов наиболее подходящие. Эта задача, так же как и упоминавшаяся ранее задача подбора научных кадров, не может быть рационально решена в пределах капиталистич. общества. Первым шагом в этом направлении является упорядочение достигнутых результатов. Новые математические результаты публикуются по преимуществу в журналах двух типов. Журналы первого типа, издаваемые по преимуществу академиями, предназначены для быстрой (в течение нескольких недель) публикации коротких предварительных сообщений, обычно без полных доказательств сообщаемых теорем (наиболее известны еженедельные «Comptes Rendus» Парижской академии, у нас «Доклады Академии наук СССР», издающиеся подекадно). В журналах второго типа, предназначенных для более пространных полных публикаций, обычна продолжительность печатания от полугода до года и более (до фашистского переворота в Германии имели международное значение и отличались хорошей постановкой дела немецкие «Mathematische Annalen» и «Mathematische Zeitschrift», теперь в США «Annals of Mathematics» и «Transactions of the American Mathematical Society», издающийся в Голландии международный журнал «Compositio Mathematica», в СССР «Математический сборник» и т. д.). Основные журналы этого типа далее в случае национальной редакции имеют международный характер, допуская печатание статей на различных языках. Специально математич. журналов в мире имеется более ста. Имеется несколько журналов, посвященных специальным областям М. («Acta Arithmetica» — теории чисел, «Fundamenta Маthematicae» — теории множеств); эта идея не нашла, однако, общего признания. Такой объем математич. литературы делает необходимым пользование реферативными журналами, кратко сообщающими о содержании статей и книг, появившихся в различных изданиях (типа «Zentralblatt für Mathematik»).

Следующим этапом упорядочения и обработки результатов является издание систематич. обзоров достигнутого по отдельным областям (наиболее обширна франц. серия таких обзоров, публикуемая под названием «Mémorial des sciences mathématiques»). Еще Клейном в 1895 начато издание международной математич. энциклопедии, выходящей в двух редакциях — немецкой и французской. Издание это еще не закончено, и отдельные части его начинают все более безнадежно устаревать. Обзоры, как входящие в энциклопедию, так и публикуемые отдельно, не содержат обычно полных доказательств. Систематическое полное изложение новых математич. теорий дается в специальных монографиях [наиболее известными обширными сериями таких монографий являются «Collection de monographies sur la Théorie des fonctions», издаваемая Борелем с 1898 (вышло 43 тома), и «Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften», издаваемая Курантом с 1923 (вышло 46 томов)].

Нормальный состав университета с 2—4 математическими кафедрами (только в Сорбонне в Париже — 10 математич. кафедр) становится в 20 в. слишком тесным для организации широкой коллективной работы. Поэтому возникает тенденция к созданию специальных математич. научных институтов, остающихся, однако, тесно связанными с университетами. В Европе наибольшую известность приобретают математич. институт Геттингенского ун-та в Германии (до прихода фашистов к власти) и институт им. Пуанкаре в Париже. В обоих случаях дело шло лишь об очень небольшом расширении профессорских и ассистентских кадров университета и создании более широко оборудованных специальных математич. библиотек и кабинетов. Кроме того, была введена система регулярного приглашения математиков других городов и стран для чтения циклов лекций, целых семестровых и годичных курсов и ведения специальных семинаров. Каждый математич. институт группировал вокруг себя, кроме того, некоторое число молодых ученых различных стран, приезжающих со стипендиями для научной работы (обычно годичными) различных организаций. Деятельность Геттингенского института была разрушена после фашистского переворота 1933. На значительно более широких началах был основан в 1931 математич. институт при Принстонском ун-те в США. Здесь имеется специальный штат профессоров и ассистентов, свободных от элементарного университетского преподавания, большое число стипендий для начинающих ученых типа нашей аспирантуры и докторантуры, и еще шире, чем в Париже и Геттингене, поставлено дело приглашений иногородних и иностранных ученых для временной работы в институте.

Еще большее развитие получили специальные лаборатории и институты прикладной М. Иногда они непосредственно связаны с обслуживаемыми ими естественно-научными и техническими институтами. В частности, в области математич. приборов и машин (интеграторов дифференциальных уравнений и т. п.) особенные успехи имеют лаборатории Манчестерского ун-та в Англии и Массачусетского политехнического ин-та в США. — Международное общение математиков, помимо обмена изданиями (и изготовляемыми обычно в большом числе отдельными оттисками непосредственно между авторами) и приглашений для прочтения циклов лекций и т. п., поддерживается на всемирных математич. конгрессах, происходящих каждые четыре года. До первой империалистич. войны конгрессы происходили в Цюрихе (1897), Париже (1900), Гейдельберге (1904) и Кембридже (1912). После первой империалистич. войны два конгресса объединяли лишь математиков победивших стран (Страсбург, 1920, и Торонто, 1924). Настоящие международные конгрессы восстановились в Болонье (1928), Цюрихе (1932) и Осло (1936). Конгресс 1940 намечен в США. В последние годы возник большой интерес к устройству узко специализированных небольших конференций, посвященных отдельным областям и проблемам М. Эти специализированные конференции обсуждают вполне определенный круг проблем, но объединяют вокруг этих проблем специалистов всех смежных областей и благодаря этому вполне способны содействовать объединению математиков, а не распадению их на изолированные группы. Две из подобных международных конференций происходили в СССР (по тензорной и многомерной геометрии в 1934 и по топологии в 1935, обе организованы Московским гос. ун-том). — Мы видим, что в организационном отношении в буржуазном мире наиболее развита М. США. Там же нашли приют наиболее крупные нем. математики-эмигранты (Вейль, Нейман, Курант и др.). Во Франции сохраняются высокие традиции классической школы; однако, несмотря на наличие нескольких исключительно сильных молодых математиков, в целом в последние годы математич. жизнь находится скорее на склоне вниз, чем на подъеме. Англия уже в течение многих десятилетий занимает меньшее место в М., чем Франция. Совершенно разрушена фашизмом немецкая М. В явном упадке находится также М., как и наука вообще, в Италии. На этом фоне особое значение приобретает быстрый рост математической науки в СССР.

IV. Математика в России и в СССР.

М. в дореволюционной России. Среди иностранных ученых, приглашавшихся в большом числе в Петербургскую академию наук, находились такие крупнейшие математики эпохи, как Даниил Бернулли (в России, 1725—33) и Эйлер (в России, 1727—41 и 1766—83). Однако время для создания самостоятельной русской математической школы еще не пришло. Ломоносов относился к Эйлеру с большим уважением (в отличие от других немецких академиков, с засилием к-рых в академии Ломоносов вел энергичную борьбу), но сам остался далек от М. — Собственно русская М. удивительным образом начинается гениальными открытиями Н. И. Лобачевского (см.) (1793—1856), о к-рых уже говорилось выше по поводу общей истории М. 19 в. Лобачевский учился в Казани и оставался всю жизнь профессором Казанского ун-та, не оставив после себя достойных продолжателей. Систематическая русская научная традиция начинается в Петербурге М. В. Остроградским (см.) (1801—61) и В. Я. Буняковским (1804—89). В Петербург переходит вскоре по окончании Московского университета П. Л. Чебышев (см.) (1821—94), являющийся рядом с Лобачевским одним из двух величайших рус. математиков. В теории чисел Чебышев перерабатывает теорию сравнений и находит первую оценку плотности расположения простых чисел. После Чебышева в алгебре и теории чисел фундаментальные результаты получают Е. И. Золотарев (1847—78), Г. Ф. Вороной (см.) (1868—1908) и А. А. Марков (см.) (1856—1922). Другой круг исследований Чебышева относится к теории непрерывных дробей и проблеме моментов (эти исследования также продолжаются Марковым) и вопросам приближенного изображения функций многочленами. Наконец, Чебышев открывает период блестящего развития в России теории вероятностей, продолжающийся в работах Маркова и А. М. Ляпунова (см.) (1857—1918). Благодаря исследованиям этих ученых русская наука в области теории вероятностей выходит на первое место в мире. Мировое признание находят также исследования Ляпунова по фигурам равновесия вращающихся небесных тел и по проблеме устойчивости движения. Из других представителей Петербургской школы в области анализа укажем А. Н. Коркина (см.) (1837—1908) и В. А. Стеклова (см.) (1863—1926).

Прикладные устремления, сильные уже у Чебышева, занимавшегося теорией механизмов и т. п., не нашли в его эпоху особенно широкого применения, что объясняется отсталостью русской промышленности и техники того времени. С развитием русской промышленности в конце 19 и начале 20 вв. получают твердую основу прикладные направления в М., культивируемые в Петербурге А. Н. Крыловым (род. 1863) в связи с судостроением и артиллерийским делом и в Москве великим русским механиком Н. Е. Жуковским (см.) (1847—1921) в связи с задачами, выдвинутыми нарождающейся русской авиацией. В это же время в Москве (где ранее господствовали глубоко провинциальные и реакционные научные течения, возглавлявшиеся Н. В. Бугаевым) создается научная школа в области дифференциальной геометрии [Петерсон (1828—81), Д. Ф. Егоров (1869—1931), Б. К. Млодзеевский (см.) (1858—1923)] и особенно (в 1910-х гг.) в теории функций действительного переменного [Егоров, Н. Н. Лузин (род. 1883) и др.]. Оживляется и выходит на уровень международной науки и математическая жизнь некоторых крупных городов. В Харькове С. Н. Бернштейн (род. 1880) получает ставшие классическими результаты в области эллиптических уравнений с частными производными и в области наилучшего приближения функций многочленами. В Киеве Д. А. Граве (род. 1863) создает алгебраическую школу, из которой вышел ряд алгебраистов, принадлежащих по преимуществу уже послереволюционной эпохе [Б. Н. Делоне (род. 1890), О. Ю. Шмидт (род. 1891), Н. Г. Чеботарев (род. 1894)]. В Одессе С. О. Шатуновский (1859—1929) занимается исследованиями по аксиоматическим основам геометрии и по алгебре. В Томске работает основатель теории гиперкомплексных чисел Молин. — Таким образом, русская дореволюционная наука, оставаясь в целом отсталой и слабой по сравнению с наукой передовых буржуазных стран, все же выдвинула в 19 в. двух математиков самого первого ранга, а к 20 в. пришла также и к созданию в нек-рых областях М., пусть немногочисленных и иногда чрезмерно замкнутых, но все же первоклассных научных школ.

Математика в СССР. Уже в первые годы после Великой Октябрьской социалистич. революции начинается бурный подъем советской М. Расширение состава университетов и создание специальных научных институтов дает возможность концентрировать в одном месте большие группы исследователей. Происходит энергичное вовлечение молодежи в научную работу. Особенно много математиков поколения, начавшего работать в первое десятилетие после революции, дал Московский ун-т и основанный при нем в 1922 Исследовательский ин-т математики и механики, где впервые было широко организовано дело подготовки новых научных математич. кадров. Работа научных школ, основанных до революции, получает размах, о к-ром они не могли ранее и мечтать. Возникает и ряд совершенно новых научных направлений. Десятилетие 1917—27, заканчивающееся первым Всероссийским съездом математиков (Москва, 1927), уже вывело советскую М. на одно из первых мест в мировой науке. Однако отдельные научные школы оставались еще разобщенными между собою и в большинстве оторванными от практич. приложений М. Задача планового развития математич. науки и поворота ее в сторону обслуживания нужд социалистич.строительства была широко поставлена лишь в следующем десятилетии. Это второе десятилетие советской М. привело также к значительно большему объединению различных научных школ. Эти синтезирующие тенденции были ярко выражены в докладах Второго всесоюзного математического съезда (Первый всесоюзный съезд происходил в Харькове в 1930, второй — в Ленинграде в 1934). С переездом Академии наук СССР в Москву (1935) исчезла историч. двойственность московской и ленинградской (ранее петербургской) науки. Центром советской М. является теперь Москва. Рядом с университетом в ней появился мощный математический институт им. Стеклова при Академии наук СССР, находившийся ранее в Ленинграде. Это не мешает, однако, быстрому росту других математич. центров. Вполне сложившиеся, международно признанные научные школы и специальные исследовательские математич. институты имеются в Ленинграде, сохраняющем бесспорно второе место, Киеве и Казани. Исследовательские институты, целиком или частью посвященные М., учреждены также в Тбилиси (Тифлисе), Харькове, Минске, Томске, Ташкенте, Ростове-на-Дону и Саратове. Чрезвычайно широко развернулось также издание специальной математич. литературы: в самые последние годы преодолен унизительный обычай печатать лучшие математич. работы в иностранных журналах. Для того чтобы оценить роль советской М. в мировой науке, следует в первую очередь обратиться к тем областям М., в которых работы советских математиков занимают первое или одно из первых, руководящих мест.

Советская школа в теории чисел возглавляется И. М. Виноградовым (род. 1891). Решение ряда классических проблем аддитивной теории чисел, данное Виноградовым и Л. Г. Шнирельманом (род. 1905), доказательства трансцендентности обширных классов чисел; (А. О. Гельфонд, род. 1906) вместе со многими другими замечательными достижениями выдвинули в последнее десятилетие советскую теорию чисел на первое место. Если теория чисел является одной из самых важных, но и одной из самых отвлеченных частей М., то теория вероятностей приобретает все большее значение в математич. естествознании и технике. В этой области, — культивирование которой, как и теории чисел, начато в России Чебышевым, — советская наука благодаря работам Бернштейна, продолжившим классическое направление Чебышева, Маркова и Ляпунова, и исследованиям московской школы [А. Я. Хинчин (род. 1894), А. Н. Колмогоров (род. 1903) и др.], изучившей ряд совершенно новых вероятностных схем, с честью сохраняет первенство, завоеванное еще до революции. В теории функций действительного переменного и теории множеств московская школа в последние годы перед Великой Октябрьской социалистич. революцией (см. выше) и в первое после революции десятилетие решила ряд проблем первоклассной трудности, доставшихся ей в наследство от франц. школы, и, не создав нового направления, равносильного французскому (Борель, Лебег, Бэр), превзошла его по технич. тонкости своих работ [в «дескриптивной» теории множеств в Москве созданы фундаментальные понятия суслинских (Суслин, 1894—1919) и проективных (Лузин) множеств]. На этих исследованиях получили выучку многие математики молодого московского поколения, занимавшиеся впоследствии другими областями. В специальной области приближенного изображения функций действительного переменного руководящая роль в мировой М. принадлежит Бернштейну. В области топологии П. С. Урысон (см.) (1898—1924) и П. С. Александров (р. 1896) основали московскую топологическую школу, объединившую большое количество молодежи, из которой выделился особенно Л. С. Понтрягин (р. 1908). Благодаря работам Урысона, Александрова, Понтрягина (исследования последнего относятся также к теории непрерывных групп) и др. советская наука занимает в топологии, привлекающей к себе сейчас во всем мире особенное внимание, руководящее положение рядом с американской школой (Александер, Лефшец, Веблен). Замечательны также достижения советской М. в алгебре (об образовании русской алгебраической школы незадолго до революции уже говорилось выше, после революции к упомянутым руководителям школы присоединился ряд талантливых учеников).

В области математического анализа работы более классически настроенной ленинградской школы, качественные исследования москвичей [особенно Л. А. Люстерника (р. 1898) и Шнирельмана], начало работ по функциональному анализу в целом также представляют картину яркого расцвета науки. Особенно следует отметить фундаментальные исследования И. А. Лаппо-Данилевского (см.) (1896—1931) в области обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и С. Л. Соболева (р. 1908) и И. Г. Петровского (р. 1901) по уравнениям в частных производных. Становится все более тесной связь исследования по анализу с проблемами техники. Здесь следует отметить большие успехи советской М. в решении проблем теории упругости Н. И. Мусхелишвили (р. 1891), исследования нелинейных колебаний в непосредственно техническом направлении, проводимые Н. М. Крыловым (р. 1879) и Н. Н. Боголюбовым (р. 1907), и т. д. Работа по вычислительной М., сооружению математических приборов и т. д. широко развертывается сейчас в математическом институте Академии наук СССР. В области теории функций комплексного переменного фундаментальные исследования принадлежат И. И. Привалову (р. 1891) и ряду других советских математиков. Очень много достигнуто, в частности, в направлении применения методов теории функций комплексного переменного к задачам аэродинамики. В этом направлении, наряду с продолжателем Жуковского С. А. Чаплыгиным (р. 1869), много сделали и исследователи, пришедшие к аэродинамике со стороны чистой математики. В области геометрии математики СССР также выполнили ряд очень важных исследований как в классич. отделах геометрии, так и в области многомерной и тензорной геометрии. Из прикладных областей геометрии с особенным успехом в СССР культивируется номография (см.).

А. Колмогоров.

Лит.: История математики: Цейтен Г. Г., История математики в древности и в Средние века, пер. с франц., М. — Л., 1932; его же, История математики в 16 и 17 веках, пер. с нем., М. — Л., 1933; Нейгебауер О., Лекции по истории античных математических наук, т. I. — Догреческая математика, М. — Л., 1937; Клейн Ф., Лекции о развитии математики в 19 столетии, ч. 1, пер. с нем., М. — Л., 1937; Кэджори Ф., История элементарной математики, пер. с англ., 2 изд., Одесса, 1917; Вилейтнер Г., Хрестоматия по истории математики 2 изд., М. — Л., 1935; Wieleitner Н., Geschichte der Mathematik, Bd I—II, В. — Lpz., 1922—23; Cantor M., Vorlesungen über Geschichte der Mathematik» Bd I — IV, 1—3 Aufl, Lpz., 1901—24. Материалистическое освещение вопросов философии математики: На борьбу за материалистическую диалектику в математике (сб. ст.), М. — Л., 1931; Сборник статей по философии математики, под ред. С. А. Яновской, М., 1936. Математические энциклопедии: Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen, L. (изд. многотомное, с 1898 по 1935 вышло 6 тт.); Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées, P. — Lpz. (изд. многотомное, c 1906 no 1914 вышло 7 тт.); Pascal E., Repertorium der höheren Mathematik, Bd I—II, 2 Aufl., Lpz. — B., 1910—29.

Обзоры достижений современной математики: Труды Всероссийского съезда математиков в Москве 27 апреля — 4 мая 1927, М. — Л., 1928; Труды Первого всесоюзного съезда математиков (Харьков, 1930), М. — Л., 1936; Труды Второго всесоюзного математического съезда (Ленинград, 24—30 июня 1934), т. I — II, М. — Л., 1935—36; Успехи математических наук, вып. 1—3, М. — Л., [Изд. Всесоюзной математич. ассоциации 1936—37 (изд. продолжается)]; Достижения советской математики: Математика за 15 лет, М. — Л., 1933; Механика в СССР за XV лет, [Сб.], М. — Л., 1932. Советские математические журналы: «Математический сборник», М., с 1866 (в 1937 вышел т. XLIV); «Известия Академии наук СССР. Отделение математич. и естественных наук», серия математическая, М., с 1937; «Прикладная математика и механика», изд. Академии наук СССР. Отделение технических наук», М.; «Труды Математического института им. В. А. Стеклова», Л., с 1931 (в 1937 вышел т. X); «Журнал Інституту математики», издание Академии наук УССР, Київ, 1934; «Записи Науково-дослідного Інституту математики и механіки при Харківському державному університеті та Харківського математичного товариства» (преобразовано из «Сообщений Харьковского математического общества» с 1879, в 1937 вышел т. XIV 4-й серии); «Математическое просвещение, сборник статей по элементарной и началам высшей математики», Москва — Ленинград, 1934 (в 1937 вышел вып. 12).