БСЭ1/Механика

← Механизм

Механика Большая советская энциклопедия (1-е издание)

Механика волновая →

Словник: Мерави — Момоты. Источник: т. XXXIX (1938): Мерави — Момоты, стлб. 238—266

МЕХАНИКА. Содержание:

I.

Определение механики; ее отношение к другим наукам; подразделения  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

238

II.

Основные понятия и законы классик, механики  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

240

III.

Исторический очерк развития классич. механики  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

245

Механика до эпохи Возрождения.—Период создания основ механики.—Механика 18 века.—Механика в 19 веке.—О развитии механики в России и в СССР.—О махистской трактовке истории механики.

IV.

Принципы и методы современной механики  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

253

Статика.—Кинематика.—Динамика.—Специальные проблемы механики.

I. Определение механики; ее отношение к другим наукам; подразделения.

М. — наука, изучающая простейшую из физич. форм движения материи — перемещение материальных тел в пространстве, в общем случае сопровождаемое взаимным смещением частей тел — деформацией. Такое движение в отличие от других физических форм движения материи называют механическим или внешним. Физическое, действие одного материального тела на другое (тепловое, электрическое и др.) включает в себя как часть механическое (или силовое) действие, вызывающее изменение механического движения тела. Механика ограничивается установлением количественных законов действия сил и исследованием перемещений тел под действием сил; сущность процессов, вызывающих появление сил, изучает физика в целом. Для механики вообще характерен макроскопический подход к изучению явлений, не учитывающий всей сложности микроскопических процессов, происходящих в материальных телах и определяющих физич. сущность явлений. Отвлекаясь от изучения этих микроскопических явлений, механика принимает, в качестве заданных наперед, основные свойства материальных тел и законы силового взаимодействия их как некоторые экспериментальные законы и в дальнейшем лишь делает из них выводы, относящиеся к вопросам движения тел при наличии данных взаимодействий, или, наоборот, устанавливает количественные законы силовых взаимодействий тел по наблюденным движениям. В том и другом случае вопрос о физической природе взаимодействия тел остается вне поля изучения механики; М. остается по преимуществу наукой количественной. «Механика..., — говорит Энгельс, — знает только количества... Там, где на пути у нее стоит качество,... — она не может притти к удовлетворительным результатам, не вдаваясь в рассмотрение молекулярных состояний и молекулярного движения» (Маркс и Энгельс, Сочинения, т. XIV, стр. 349). Эта слабая сторона механики вместе с тем дает ей силу широкого охвата и большой законченности решения тех простейших проблем механич. движений, к-рыми она только и занимается. — Как показывает история развития М., она все более тесно связывается с другими физическими науками. Прежде всего, проблемы, к-рые ставит перед М. практика, становятся все более сложными, требующими не только механич., но и физич. исследования. Для решения вопросов, к-рыми М. занималась на первых этапах своего развития (напр., о движении тел по шероховатой поверхности), достаточно было установить из наблюдений простейшие количественные законы явлений (напр., законы трения Кулона). При этом природа трения сознательно выключалась из рассмотрения. Иначе дело обстоит в современной М. Такая важнейшая проблема гидромеханики, как вопрос о движении тела в вязкой среде, связана с необходимостью всестороннего физич. рассмотрения природы сил вязкости. Вообще современная физика стремится вывести на основе анализа структуры тела его механич. свойства, к-рые раньше принимались как данные. Поэтому М. теперь уже не может ограничиваться чисто эмпирич. установлением законов действия сил, напр., силы трения, а должна учитывать результаты физич. исследования механизма тех явлений, которые определяют возникновение этих сил. Далее, современная М. все более широко пользуется физич. методами экспериментального исследования (напр., оптич. методы исследования распределения напряжений в деформированных телах, распределения скоростей в текущей жидкости и др.). Такое усиление связи М. с другими частями физики не противоречит сказанному выше о количественном характере механики, но подчеркивает лишь невозможность отрыва механич. исследований от физических.

В литературе иногда встречается определение М. как прикладной математич. науки. Несостоятельность такого определения ясна из сказанного. Предметом М. является определенная форма движения материи; математика же исследует общие количественные и пространственные формы и отношения реального мира. Это неверное определение механики обычно обосновывается тем, что М. чрезвычайно широко пользуется математич. методами для решения своих задач. Но можно указать ряд других областей физики, не менее широко пользующихся математикой (термодинамика, геометрии, оптика и др.). Определение М. как отрасли прикладной математики является идеалистическим и вредным. Оно стремится обосновать тот отрыв М. от физики и физич. методов эксперимента, к-рый существует у части механиков и к-рый значительно тормазит ее развитие. — Встречается также утверждение, что М. является основой физики. Это — точка зрения, к-рой придерживаются механисты (см. Механицизм). Она опровергнута всей историей развития физики, доказавшей невозможность сведения основных физич. процессов к механич. движениям. «Всякое движение заключает в себе механическое движение и перемещение больших или мельчайших частей материи; познать эти механические движения является первой задачей науки, однако лишь первой. Само же это механическое движение вовсе не исчерпывает движения вообще. Движение вовсе не есть простое перемещение, простое изменение места, в надмеханических областях оно является также и изменением качества» (Энгельс, там же).

При изучении движений материальных тел М. пользуется различными степенями абстракции. В некоторых случаях, отвлекаясь от вопросов взаимодействия физич. тел и учитывая лишь их протяженность и внешнюю форму, рассматривают движение с чисто геометрии, стороны; эту часть М. называют кинематикой. В других случаях, приняв во внимание наиболее общие для всех материальных тел физич. свойства (масса, упругость и др.), исследуют движения тел в связи с взаимодействиями, имеющими место при этом движении; эту часть М. называют кинетикой. Кинетику подразделяют на статику, изучающую законы взаимодействия тел при взаимном равновесии, и динамику, изучающую взаимодействия тел при взаимном движении их. Кроме этого подразделения М. на кинематику и кинетику, существует еще разделение ее соответственно видам движения, к-рые она изучает. Простейшим видом механич. движения является поступательное перемещение тел; при этом абстрагируются как от вращения тел, так и от их деформации. Этот вид движения изучает М. материальной точки и свободной системы точек (под материальной точкой понимают тело, обладающее столь малыми размерами, что вопрос о его собственном вращении не играет роли; тело, имеющее конечные размеры, но совершающее поступательное движение, можно заменить точкой — его центром инерции, — которой приписывают всю массу тела). Чтобы перейти от М. материальных точек к М. конкретных тел. необходимо сделать добавочные предположения о характере связей между точками системы. Например, система жестко связанных точек определяется как идеально твердое тело. В тех случаях, когда деформацией тела можно пренебречь, эта абстракция вполне допустима. М. сплошных сред исследует деформацию упругих твердых тел (теория упругости) и движения жидкостей и газов (гидромеханика). И в механике сплошных сред существуют различные степени абстракции (напр., гидромеханика идеальной жидкости, в к-рой абстрагируются от внутреннего трения). — Помимо указанных подразделений М., различают еще М. теоретическую и прикладную. Последняя занимается решением специальных проблем технич. характера. Существенно указать на взаимную связь М. теоретической и прикладной. История развития М. показывает, что т. н. прикладная М. не только заимствует от теоретической методы решения своих проблем, но, опираясь на результаты теоретич. М., вырабатывает свои собственные специфич. методы. Вместе с тем она влияет оплодотворяющим образом на развитие М. теоретической. В этой статье излагаются гл. обр. история и основы теоретической М. системы точек и твердого тела. См. также Механика прикладная, Гидромеханика, Упругости теория, Относительности теория, Квантовая механика.

II. Основные понятия и законы классик, механики.

В классической механике понятие пространства (см.) тесно связано с понятием о некоторой неподвижной основной системе отсчета, по отношению к к-рой рассматриваются все движения тел. Всякая другая система отсчета может заданным образом двигаться по отношению к основной системе, принимаемой за неподвижную. Механики древности считали землю абсолютно неподвижной и соединяли с нею понятие основной системы отсчета (геоцентрич. система); после Коперника система отсчета для движения тел солнечной системы была перенесена па Солнце (гелиоцентрическая система). Вся ньютоновская механика основана на представлении об абсолютно неподвижной системе отсчета (начало координат в центре солнечной системы, оси координат направлены к «неподвижным» звездам, т. е. к звездам с ничтожными параллаксами), по отношению к которой рассматриваются перемещения или движения материальных тел и устанавливаются законы этих движений. Законы движения, существующие в этой системе отсчета, справедливы и по отношению ко всякой другой системе координат, жестко связанной с этой неподвижной системой или движущейся по отношению к ней прямолинейно и равномерно; такие системы, включая и первоначальную неподвижную систему, называются галилеевыми, или инерциальными системами (см.). В этом заключается принцип относительности Галилея-Ньютона. — По современным представлениям, не имеет объективного смысла говорить об абсолютно-неподвижных системах отсчета (абсолютное пространство). Все системы отсчета движутся, и ни одной из них не может быть предоставлено никакого преимущества по сравнению с другими. Но вместе с тем законы, устанавливаемые в классич. М., связаны с выбором той или другой системы отсчета и справедливы лишь в инерциальных системах. Таким образом, вопрос сводится к нахождению такого пространства (системы отсчета), в котором были бы справедливы положенные в основу классической (ньютоновской) М. законы. Если в нек-рой системе отсчета принятые законы или их следствия не верны, то это указывает на то, что эта система не является инерциальной. Так, например, аномалия в падении тел на земле или качания маятника (см. Фуко маятник) служат для нас доказательством вращения земли по отношению к солнечной системе отсчета. Система отсчета, связанная с центром солнечной системы и неподвижными звездами, может практически быть принята за основную. Лишь М. теории относительности (релятивистская М.) устанавливает общие законы движения, не зависящие от выбора системы отсчета. Законы классической М. оказываются при этом первым приближением к законам релятивистской М., справедливыми при скоростях малых по сравнению со скоростью света. В дальнейшем речь будет итти исключительно о классической М. Заметим, что классическая М. приписывает пространству геометрические свойства Эвклидова пространства.

Время в классич. М. рассматривается оторванно от пространства; оно одинаково во всех пунктах пространства (во всех системах отсчета) и не зависит от взаимного движения этих систем (абсолютное время); тесная связь пространства и времени установлена была только релятивистской М. — Чрезвычайно существенным для всей классической М. является понятие силы (см.). Среди всех возможных физич. действий одного тела на другое (нагревание, электризация и др.) сила, или механическое действие, представляется наиболее простым и наиболее наглядно проявляющимся действием. При взаимном равновесии тел силы проявляются в виде или непосредственного давления (или тяги) одного тела на другое или нек-рого «действия на расстоянии» (тяготение, вес, электрич. притяжение и отталкивание), причем никаких «внешних», механич. изменений в движении на первый взгляд не происходит; наоборот, при отсутствии равновесия между телами мы легко замечаем, что силовые взаимодействия тесно связаны с изменениями движения. Особенно же наглядно встает связь между силовым взаимодействием тел и движением, если, отказавшись-от узко количественного подхода, обратиться к рассмотрению физич. сущности взаимодействия тел. Механические силы до своей природе тесно связаны с переносом движения — напр., молекул одного тела на молекулы другого в случае давления жидкости или газа на стенку; такова же природа сил вязкости, сил трения. В этом смысле определение силы дано Энгельсом. При переносе движения с одного тела на другое, говорит Энгельс, мы переносящееся движение называем силой, а перенесенное — результатом ее действия (см. Энгельс, Диалектика природы, в кн.; Маркс и Энгельс, Соч., т. XIV, стр. 401).

У Ньютона и в классич. М. можно встретить определение силы как «причины движения». При таком определении, уходящем своими корнями в представления о «косной», неподвижной материи, приходящей в движение только под влиянием внешних воздействий (Ньютон), теряется самое основное и важное физич. представление о вечном движении, заполняющем наш материальный мир и являющемся «бытием материи». Движение сохраняется всегда и повсюду, переходя из одних своих форм в другие; эти переходы движения с одного материального тела на другое мы, при механическом исследовании, рассматриваем как силовые (механические) взаимодействия. Представление о силе, как о причине движения, возникло первоначально в связи с деятельностью человека. «Представление о силе возникает само собою в нас благодаря тому, что в своем собственном теле мы обладаем средствами переносить движение. Средства эти могут, в известных границах, быть приведены в деятельность нашей волей; в особенности это относится к мускулам рук, с помощью которых мы производим механические перемещения, движения других тел, носим, подымаем, кидаем, ударяем и т.д., получая благодаря этому определенный полезный эффект. Кажется, что движение здесь порождается, а не переносится, и это вызывает представление, будто сила вообще порождает движение» (Энгельс, Диалектика природы, там же, стр. 404).—Изучая взаимодействия материальных тел, мы в И. обычно отвлекаемся от физич. природы взаимодействия и обращаем внимание лишь на количественную сторону силового действия. «Измеримость движения и придает категории силы ее ценность. Без этого она не имела бы никакой ценности» (Энгельс, Диалектика природы, там же, стр. 401). Эта количественная сторона силового действия определяется сравнением данного действия с каким-нибудь другим, выбранным за образец (эталон) (например, с весом произвольно выбранного материального тела в определенном месте на земле — килограмм — или с силой напряжения при деформации образцовой пружины на наперед заданную величину и т. д.). Кроме того, мы отмечаем еще направление механич. действия, иногда точку приложения силы, т. е. ту материальную точку, к которой непосредственно приложено действие. — Совокупность трех представлений: величины (интенсивности) силы, выраженной в нек-рых единицах силы (килограмм, тонна и др.), направления силы (линии действия) и точки приложения (часто условной), определяет вполне однозначно силу в М. как вектор (см.). Введение в М. такого отвлеченного (от физич. сущности явления) представления о силе весьма полезно, т. к. позволяет одними и теми же методами М. изучать и сравнивать между собой совершенно различные по природе механические действия, встречающиеся на практике (напр., движение тела при одновременном на него действии сил веса, упругих сил и электрических). Подробнее см. в ст. Сила.

Измерять силы можно или непосредственным сравнением с эталоном путем уравновешивания (весовой способ или применение динамометра) или наблюдением за движением тела под действием исследуемой силы. В первом случае мы имеем дело со статич. определением силы, во втором — с динамич. определением. Динамическое определение силы тесно связано с основным в М. понятием инертности материального тела или его массы. Если одну и ту же силу приложить к двум различным неподвижным телам, то для приведения их к одной и той же скорости движения понадобится различное время. То тело, на которое придется затратить большее время, обладает большей массой, или большей инертностью. Инертность, или масса, выражает свойство материального тела под действием силы приобретать то или иное ускорение, то есть изменять свою скорость во времени (а не мгновенным скачком!). Это свойство материальных тел постепенно (с той или другой быстротой во времени) изменять свою скорость под действием силы (т. е. действия другого тела) принято характеризовать как «сопротивление» тела приведению его в движение (подробнее о развитии понятия массы см. Масса). Численно массу тела определяют как отношение приложенной к телу силы к наблюдаемому его ускорению, т. е. полагают $m=P:w$. Это отношение представляет физическую константу тела и не зависит ни от приложенной силы от ускорения (см. ниже «Второй закон Ньютона»). Массу тела можно измерять простым сравнением с другой эталонной единицей массы на весах, так как в данном месте земного шара и в пустоте все тела падают с одинаковым ускорением, т. е. приобретают одну и ту же скорость за один и тот же промежуток времени, и, следовательно, отношение сил (весов) может быть принято за отношение масс. Однако массу не следует приравнивать к весу тела. Эти две величины различны по своей сущности. Первая характеризует инерционные свойства данного тела, вторая зависит от положения тела на земной поверхности.

В ранее приведенном определении массы мы отличаем массу как свойство материи, меру ее инертности, от самой материи. Это определение массы как физич. константы тела отнюдь не сводит, как это делает идеалист Э. Мах, понятие массы к простому коэффициенту пропорциональности между силой и ускорением; масса — такая же содержательная физич. величина, как протяженность тела, его упругость и т. п. Понятие массы как меры инертности тела впервые было дано, повидимому, Эйлером в его «Theoria motus». При вращательных движениях роль массы уже играет момент инерции (см.).

Пространство, время, сила и масса являются основными понятиями в М. Все остальные понятия М. связаны с ними. Отметим следующие из них, являющиеся наиболее важными мерами движения. Произведение массы на скорость дает количество движения (см.) $mv$, произведение массы на половину квадрата скорости ${\frac {mv^{2}}{2}}$ есть кинетическая энергия (см.), или живая сила, произведение силы на элемент времени ее действия $\mathbf {F} dt$ называется элементарным импульсом (см.) силы $\mathbf {F}$ за время $dt$ , произведение (скалярное) силы на элементарное перемещение точки приложения силы $(\mathbf {F} ,d\mathbf {r} )=F\cdot ds\cdot \cos \,({\widehat {\mathbf {F} ,d\mathbf {r} }})$ дает элементарную работу (см.) силы на перемещение $ds$. Эти основные меры тесно связаны между собой; так, количество движения связано с импульсом силы (теорема импульсов), кинетич. энергия связана с работой сил (теорема об изменении кинетич. энергии). Более подробную характеристику этих мер движения см. в соответствующих статьях.

М. строится на нек-рых основных закономерностях, представляющих собой результат обобщения непосредственно установленных экспериментальным путем простейших фактов. Основные законы М. полностью были сформулированы только Ньютоном в его знаменитых «Philosophiae Naturalis Principia Mathematiса» («Математические начала натуральной философии», первое издание в 1686—87).

Первый закон Ньютона (закон инерции). Всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока оно не будет принуждено приложенными силами изменить это состояние.

Закон инерции есть по существу простейшая форма закона сохранения движения. При формулировке своего первого закона Ньютон подразумевает изолированную материальную точку, т. к. материальное тело может, в зависимости от своей формы, совершать весьма сложные движения по инерции.

Второй закон Ньютона. Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению линии действия силы. Под «изменением количества движения» можно понимать изменение скорости движения, т. е. ускорение или же изменение «количества движения» (произведения массы тела на его скорость); и в том и в другом случае будем иметь основное уравнение динамики:

$\mathbf {F} ={\frac {dm\mathbf {v} }{dt}},$    (А)

т. е. действующая на материальную точку сила равна производной по времени от количества движения. Если считать массу тела постоянной, то формула (А) переходит в $\mathbf {F} =m\cdot \mathbf {w}$, где $\mathbf {w}$ — ускорение. — Нельзя смотреть на это уравнение как на тождество, служащее динамическим определением силы. Мы здесь имеем связь между самостоятельно определимыми величинами: силы — статическим путем, массы — сравнением с эталоном на весах, ускорения — непосредственным замером пути и времени; следовательно, равенство (А) утверждает вполне определенный и простой закон движения. Ньютон установил его в результате обработки опытов Галилея по падению тел и ряда своих собственных наблюдений над падающими телами, качающимися маятниками и др.

Третий закон Ньютона. Действию всегда соответствует равное ему и противоположно направленное противодействие, т. е. действия двух тел друг на друга всегда равны и направлены по одной прямой в противоположных направлениях. Этот закон, совершенно очевидный при равновесии взаимодействующих тел, был установлен Ньютоном на основании большого ряда экспериментов и для случая движущихся тел (наблюдение над изменением количеств движения взаимодействующих тел при ударе и др.). В то время как первые два закона Ньютона относятся к одной материальной точке, третий закон является основным для М. системы точек. Здесь следует подчеркнуть, что третий закон, утверждая равенство взаимодействий по величине и противоположность их по направлению, вместе с тем ничего не говорит об их уравновешивании; действие и противодействие приложены к различным телам и поэтому друг друга не уравновешивают. Третий закон, подобно остальным законам механики, устанавливает общее свойство всех взаимодействий безотносительно к физической природе процесса действия тел друг на друга.

Наряду с этими тремя основными законами динамики следует упомянуть чрезвычайно важный для построения всей М. материальной точки закон независимости действия сил, который в настоящее время формулируется так: если на материальную точку действует несколько сил, то ускорение точки складывается из тех ускорений, к-рые бы точка имела под действием каждой силы в отдельности. Этот закон является важным дополнением к первым трем законам; он позволяет судить о движении материальной точки под действием нескольких сил. Действия таких сил определяются простым наложением (суперпозицией) действия отдельных сил; приложение новых сил не влияет на характер действия остальных, уже приложенных сил — факт, далеко не очевидный и представляющий весьма ограниченную механическую схему. Закон независимости действия сил был хорошо известен Галилею; во второй из своих знаменитых «Бесед» Галилей указывает, что траектория снаряда должна быть параболической, т. к. она складывается из двух независимых движений: прямолинейного и равномерного вдоль дула пушки и вертикального ускоренного (замедленного) падения; полностью закон сформулирован Лагранжем. Закон независимости действия сил приводит Ньютона к динамическому доказательству правила параллелограма сил.

III. Исторический очерк развития классической механики.

Историю развития классической М. можно разделить на несколько периодов, отличающихся как характером проблем, стоявших перед М., так и методами их решения.

Механика до эпохи Возрождения. Механика древних веков сводится почти исключительно к статике. Истоки ее развития уходят в далекую древность (появление искусственных сооружений, весов в торговом обмене и др.). В самых старинных трактатах по статике (первый исследователь блоков — Архит из Тарента, 400 до хр. э.) уже встречается представление о силе и основных ее элементах (величина, направление, точка приложения). На первых порах понятие силы тесно связывается с мускульным усилием, вызванным давлением тела на руку. Тяга веревкой, перекинутой через блок и нагруженной гирей, долгое время считалась основным источником получения сил, направленных наклонно к вертикали; почти до 18 в. силу на чертежах всегда представляют веревкой с грузом, перекинутой через блок. Проблема рычага занимает Аристотеля (384—322 до хр. э.), к-рый уже знал законы сложения и уравновешивания сил, приложенных к одной точке и имеющих общую линию действия, но не мог объяснить «парадокса» рычага («меньший груз поднимает больший»). Архимед (287—212 до хр. э.) в своем знаменитом трактате «De aequiponderantibus» дает основной закон рычага: «Соизмеримые величины грузов находятся в равновесии, если расстояния их точек приложения от точки опоры обратно пропорциональны грузам». Доказательство Архимеда было уже в новое время развито на основе динамич. соображений Стевином, Галилеем, Гюйгенсом и, наконец, Лагранжем. Понятие момента силы, играющее основную роль во всей современной М., в скрытом виде имеется в законе Архимеда; однако сам Архимед им не пользуется. Очень близок к оценке роли понятия момента силы Леонардо да Винчи (1452—1519), вводящий представление «плеча» силы (кратчайшего расстояния линии действия силы до точки опоры рычага) под видом «потенциального рычага», и Гвидо Убальди (1545—1607), применяющий по существу понятие момента в своей теории блоков («Mecanicorum libri», VI, 1577). Обычно к статике принято относить еще учение о центре тяжести материального тела. Развитие этого чисто геометрии, учения (иногда этот отдел М. вместе с учением о моментах инерции называют геометрией масс) тесно связано с именем Архимеда, указавшего при помощи своего знаменитого метода исчерпывания положение центра тяжести многих правильных геометрич. форм, плоских и пространственных. Общие теоремы о центрах тяжести тел вращения дал Папп (3 в. хр. э.); теоремы эти были опубликованы значительно позже Гульдином (1577—1643) — Учение о движении тел сводилось к некоторым положениям аристотелевой натурфилософии. По Аристотелю, следует различать естественные движения, или движения тел к их «естественным» местам (движения небесных тел по кругам и падения земных тел по вертикали), от искусственных. Последние немедленно прекращаются после устранения внешних причин, вызвавших эти движения. Ускорение при падении тел обусловлено, по Аристотелю, тем, что воздух подталкивает падающее тело; ускорение падения зависит также от веса тел. Из этого видно, какое наследство досталось основоположнику М. — Галилею — и какое огромное количество предрассудков ему пришлось преодолеть.

Период создания основ механики. Практика (гл. обр. торговое мореплавание и военное дело) ставит перед М. 16—17 вв. ряд важнейших проблем, занимающих лучшие умы ученых того времени. «Вместе с возникновением городов, крупных построек и развитием ремесла, развилась и механика. Вскоре она становится необходимой также для судоходства и военного дела» (Энгельс, там же, стр. 438). Нужно было точно исследовать полет снарядов, прочность больших кораблей, колебание маятника (необходимого для постройки часов), удар тел. Наконец, победа учения Коперника выдвигает проблему движения небесных тел. Решение этих проблем приводит к созданию основ динамики, главным образом динамики материальной точки и твердого тела. Зарождение современной механики как науки о законах движения тел, т. е. прежде всего динамики и кинематики, законно связывают с именем Галилея (1571—1641). Галилею приходилось постоянно бороться против многочисленных и весьма глубоко укоренившихся заблуждений [это прекрасно отражено в его знаменитых «Беседах» (Лейден, 1638), написанных автором в виде спора между учеными различных существовавших в то время школ]. Как уже было отмечено, до 17 в. в механике господствовали общие принципы Аристотеля. В небесной механике эти принципы находили свое выражение в геоцентрич. учении Птолемея. Установление гелиоцентрического учения Коперника (1473—1543) и борьба Галилея за внедрение идей Коперника пошатнули принципы Аристотеля о естественных местах и о причинах движения. Гелиоцентрическое мировоззрение к началу 16 в. ввело значительное упрощение в кинематику планет и создало все предпосылки к установлению знаменитых законов Кеплера (1571—1630, «Astronomia nova», Прага, 1609). Наряду с этим о «земных» движениях существовали совершенно наивные представления. Так, напр., Зантбах во второй половине 16 в., т. е. незадолго до появления исследований Галилея, считал траекторию снаряда состоящей из двух прямых — восходящей и нисходящей; другие ученые того же времени (Тарталья, 1537; Бенедетти, 1585) складывали траекторию снаряда из отрезков прямых и дуг окружности. В представлении о таком простейшем явлении, как падение тела, как уже отмечено выше, царила точка зрения Аристотеля. Занявшись исследованием важнейшей проблемы этого периода-закона падения тяжелых тел (как свободного падения, так и движения брошенных тел), Галилей устанавливает точные количественные законы падения, к-рые он доказывает экспериментально.

Понятие скорости как отношения конечного пройденного пути к истекшему времени было хорошо известно еще древним ученым. Но только Галилей, в связи с его исследованием ускоренного движения, ввел понятие истинной, мгновенной скорости как величины, характеризующей состояние движения в данный момент времени. Он впервые ввел также важнейшее для М. понятие ускорения (не применяя этого термина) как меры изменения-скорости со временем. Галилей первый установил закон прямолинейного падения тела в пустоте: «... насколько я знаю, — говорит он во вступлении к «Третьему дню» своих «Бесед», — никто еще не доказал, что пространства, проходимые падающим телом в одинаковые промежутки времени, относятся между собой как последовательные нечетные числа». Галилею же принадлежит доказательство параболичности траектории снаряда в пустоте. Рассматривая задачу о падении тяжелого тела, Галилей формулирует исходный закон динамики — принцип инерции. Он отчетливо подчеркивает, что вес снаряда заставляет последний отклоняться по направлению к земле от той траектории, по к-рой он двигался бы, выйдя из дула, по инерции. Идея инерции (сохранения скорости по величине и направлению) была высказана Галилеем с достаточной степенью отчетливости (в «Третьей беседе»). Там же Галилей формулирует и закон сложения движения. В диалогах о двух системах мира он высказывает принцип относительности классической М. (т. н. принцип относительности Галилея-Ньютона). В частном случае силы веса Галилей тесно связывал постоянство его с постоянством ускорения падения, но только Ньютон, введя понятие массы, дал точную формулировку связи между силой и ускорением (второй закон). Галилею мы обязаны также первым указанием на роль того понятия, к-рое только в начале 19 в. получило наименование работы и к-рое Галилей оценивал как произведение веса на глубину падения (в работах по исследованию маятника и наклонной плоскости). Исследуя условия равновесия простых машин и плавания тел, Галилей применяет по существу принцип возможных перемещений (правда, в зачаточной форме). — Младший современник Галилея — Декарт (1596—1650) — также изучал законы падения тел. Декарт поставил общий вопрос о передаче движения от тела к телу. Ему принадлежат первые формулировки закона сохранения движения (каждое движение первоначально откуда-либо передано; первоначальное количество движения не разрушимо; без передачи движения другим телам нет потери движения). Зато в отличие от Галилея, бывшего по тому времени тонким экспериментатором, устанавливающим со сравнительно большой точностью количественные эмпирич. соотношения, Декарт ошибался в количественных законах (напр., зависимость пути от времени в ускоренном движении, законы удара).

Последователем Галилея в области М. был Гюйгенс (1629—95). Гюйгенс решил много задач М. и ввел ряд новых понятий. Ему принадлежит дальнейшее развитие понятия ускорения при криволинейном движении точки. Он ввел понятие центростремительного ускорения. Правда, обобщение понятия ускорения для любого переменного движения стало возможным лишь после появления учения о бесконечно-малых, к-рым мы обязаны в конечном счете Ньютону и Лейбницу (1646—1716). Гюйгенс также решил ряд важнейших задач динамики того периода — движение тела по кругу, колебание физич. маятника, законы упругого удара. Он первый сформулировал понятия центростремительной и центробежной силы, момент инерции, центра колебаний физич. маятника и мн. др. Но основная его заслуга в том, что он первый в элементарном случае применил принцип, по существу эквивалентный принципу живых сил (центр тяжести физического маятника может подняться только на высоту, равную глубине его падения). Пользуясь этим принципом, Гюйгенс и решает задачу о центре колебания маятника, причем, что особенно замечательно, здесь впервые решается динамич. задача, относящаяся уже не к отдельной материальной точке, а к системе их (вращающееся твердое тело). Гюйгенс весьма близок к воззрениям Декарта о непосредственном переносе движения с одного тела на другое. Исходя из идеи сохранения количества движения, из принципа невозможности «perpetuum mobile» и пользуясь принципом относительности движения, Гюйгенс дал полную теорию удара упругих шаров. Для этого он применил ранее упомянутый принцип равенства глубины падения центра тяжести системы шаров до удара и его поднятия после удара, причем шары представлялись в виде маятников. Одновременно с Гюйгенсом теорию удара шаров дали Валлис (1668) и Врен (1668). До них ударом шаров занимался современник Галилея Марчи (р. 1595). Валлис и Врен также исходили из представления о сохранении количества движения; последнее принимается равным произведению веса тела (а не массы) на его скорость. Это произведение они называли моментом. Валлис рассматривал не только прямой удар, но и эксцентрический удар; им введено впервые понятие центра удара.

Заслуга полной формулировки основных законов динамики принадлежит несомненно Ньютону. Его знаменитые «Начала» (рядом с к-рыми можно поставить только «Аналитическую механику» Лагранжа) можно рассматривать как фундамент классич. динамики. Прежде всего, завершая воззрение Галилея и Гюйгенса, Ньютон обобщает понятие (динамическое) силы как условия изменения движения (ускорения). Ньютон сам указывает новые типы сил (напр., силы тяготения, силы сопротивления среды, силы вязкости и мн. др.), изучает законы зависимости этих сил от положения и движения тел; в отличие от Декарта и его последователей Ньютон отказывается от рассмотрения физич. природы взаимодействия тел и предпочитает констатировать количественные соотношения в этой области («Hypoteses non fingo»). В отличие от Галилея, Декарта и Гюйгенса в механике Ньютона идея сохранения движения не выдвигается на первый план, поскольку Ньютон считал, что механич. движение вообще не сохраняется в природе. (Необходимо отметить притом, что из сказанного вовсе не следует, что механика Ньютона противоречит закону сохранения движения; напротив, она неявно содержит этот закон). Борьба Ньютона и его учеников с картезианцами, рассматривавшими законы сохранения как основу всей механики, привела в то время к победе Ньютона. Это объясняется прежде всего характером тех задач, которые стояли перед механикой; превосходство механики Ньютона заключалось именно в том, что он дал общие методы решения механич. задач, не требующие рассмотрения сущности тех физич. процессов, к-рые определяют действие механич. сил. — Принцип равенства действия и противодействия Ньютона позволил перейти от динамики одной массы к динамике многих масс. Пользуясь равенством действия и противодействия, Ньютон вывел закон количеств движения и закон движения центра масс (центра инерции). Ньютон показывает, что полное количество движения (алгебраич. сумма) изменяется только под влиянием внешних сил, причем это изменение определяется импульсом внешних сил. Этот закон формулируется Ньютоном также и в другой форме — закона движения центра тяжести. Закона моментов Ньютон не знал, хотя и формулировал частный случай этого закона — закон площадей.

К эпохе Ньютона относятся также работы Лейбница. С именем Лейбница связан известный спор о выборе меры действия силы. Декарт признавал мерой эффекта силы величину $mv$, а Лейбниц $mv^{2}$. Как указывает Энгельс, и та и другая мера имеет принципиальное значение: первая мера характеризует передачу движения, не связанную с превращением энергии, и связана с импульсом силы, т. е. с действием силы во времени; вторая же представляет меру преобразования движения и характеризует действие силы на пути, т. е. работу. Практически различие этих мер становится важным для механики в системе точек, так как изменение количества движения системы измеряется импульсом только внешних сил, а изменение живой силы — работой всех сил как внутренних, так и внешних.

Статика в этот период постепенно подчиняется динамике, т. е. обосновывается с точки зрения динамики. Важнейшее понятие момента силы завершается Вариньоном (1654—1722) в его замечательной книге «Проект новой механики», вышедшей в свет в 1687. Здесь Вариньон (в общей геометрич. форме) дает теорему о моменте равнодействующей. Книга Вариньона может рассматриваться как законченный для того времени курс статики, т. к. в ней уже решаются основные задачи как теоретической, так и практич. статики. Вместе с развитием учения о рычаге (равновесие и сложение параллельных сил) развивается теория сложения сил пересекающихся — правило параллелограма сил. Этим правилом в простейших случаях давно пользовались в строительной практике, однако первую формулировку правила приписывают Леонардо да Винчи и Стевину (1548—1620). Последний в трактате «Hypomnemata mathematica» (Лейден, 1608) дает (хотя и не строгое) доказательство этого правила. После него статич. доказательство правила дал Даниил Бернулли (1700—82); строгость этого доказательства в последнее время оспаривали Дарбу и Мах. Вообще существует более десяти статич. доказательств правила параллелограма, и все они имеют те или другие логич. недостатки. Ньютон, на основании своего второго закона и закона независимости действия сил, дал динамич. доказательство правила параллелограма (основанное на идее сложения движений); Вариньон также дал динамич. доказательство правила. К концу 17 века механика является единственной наукой, основы которой обстоятельно разработаны; физика, а тем более науки о живой природе, находится еще в зачаточном состоянии. Механич. движение рассматривается как основное движение материи. Таким образом, если М. древних считать предисторией М., то 17 в. можно рассматривать как первый этап ее развития, нак период создания ее основ. В конце 17 и в 18 вв. происходит разработка общих принципов или законов М. (законы сохранения импульса и живой силы — в общей их форме, принцип Д’Аламбера, принцип возможных перемещений или возможных работ). Разработка общих законов М. происходит в значительной мере благодаря усложнению задач, стоящих перед М. этого периода. Потребности производства — необходимость изучения важнейших механизмов, с одной стороны, и проблема вращения Земли и Луны, выдвинутая развитием небесной М., — с другой, привели к созданию Д’Аламбером и Эйлером М. твердого тела. «Очень важную роль сыграло спорадическое применение машин в 17 столетии, так как оно дало великим математикам того времени практические опорные пункты и стимулы для создания современной механики» (Маркс, Капитал, т. I, 8 изд., 1936, стр. 281).

Механика 18 века. Важнейшими для 18 в. являются исследования по М. твердого тела, гидромеханике и завершение небесной М. Общие уравнения динамики твердого тела были впервые даны Д’Аламбером (1717—83) в работе, относящейся к 1749. До Д’Аламбера не были установлены в общем виде даже уравнения равновесия твердого тела, в динамике твердого тела было известно лишь решение задачи о центре колебания физич. маятника (т. е. о вращении твердого тела вокруг оси). Установив общие уравнения равновесия твердых тел и применив затем свой принцип, опубликованный им ранее в 1743, Д’Аламбер получил шесть уравнений движения твердого тела. В более изящном, простом виде эти уравнения были несколько позднее найдены Эйлером (1765). В этот же период создаются основы гидромеханики (см.) (Д. Бернулли, Эйлер, Лагранж). К началу 18 века кинематика отдельной точки получила уже вполне законченное развитие. Середина 18 в. ознаменовалась появлением кинематики твердого тела, к-рой мы обязаны Эйлеру (1707—83; «Theoria motus corporum solidorum», 1765). До Эйлера частным случаем твердого тела — движением плоской фигуры в своей плоскости — с геометрии, стороны занимались Декарт и Роберваль (1602—75), изучавшие кинематич. методы получения геометрии, кривых. В работах последнего с полной отчетливостью встает идея сложения движений и понятия мгновенного центра. — Эйлер дал новый метод определения положения твердого тела, вращающегося вокруг неподвижного центра, при помощи трех углов (углы Эйлера; «Novi Comment.», Petrop., 1776). В той же работе доказана известная теорема о замене произвольно малого перемещения тела вокруг неподвижного центра одним малым поворотом вокруг оси, проходящей через этот центр. Для произвольно малого перемещения тела эта фундаментальная теорема была обобщена Моцци (Mozzi, Discorso matematico sopra il rotamento momentaneo dei corpi, Neapol, 1763), а затем Коши (1827) и Шалем (1843). — В области динамики разрабатываются общие принципы. Развитием закона живых сил мы обязаны Иоанну Бернулли (1667—1748) и Даниилу Бернулли, к-рые придали закону почти современный вид. Термин «работа сил» появился лишь в 19 в. у Понселе и др. Эйлер и затем Даниил Бернулли показали, что существуют такие случаи, когда изменение живой силы не зависит от пути движения; этим была подготовлена почва для Лагранжа, к-рый в своей «Аналитической механике» уже дает понятие силовой функции (термин Гамильтона); понятие потенциала было введено только в 19 в. Грином (1828). Закон площадей был найден одновременно (1746) Эйлером и Даниилом Бернулли. Д’Арси сформулировал — его несколько позже (1747) на основании исследования Ньютона, обобщив закон постоянства секториальной скорости (второй закон Кеплера). — Механика несвободной системы развивалась параллельно с М. свободной системы. Хотя понятие связи строго введено и проанализировано было лишь Фурье в 1798 («Journal de l’École Polytechnique», 5 cahier), но уже Стевин («Hypomnemata mathematica», t. IV) рассматривал возможные (допустимые связями) перемещения в частном случае блоков. Им же впервые для того же случая блоков было показано, что для равновесия грузов необходимо равенство произведений весов двух грузов на их перемещения. Эта первая формулировка принципа возможных перемещений затем постепенно развивалась и распространялась на случаи различных несвободных систем. Так, Галилей в своем исследовании о наклонных плоскостях приводит тот же принцип в форме популярного «золотого правила механики»: «что выигрывается в силе, то теряется в скорости». Торричелли в 1644 дает этому принципу форму утверждения, что центр тяжести системы при равновесии ее занимает наиболее низкое возможное положение. Обобщение принципа возможных перемещений для любых сил (а не только сил веса) было дано Иоанном Бернулли (1717). Дальнейшим развитием принципа и обобщением его на различные типы несвободных систем мы обязаны Лагранжу, Пуассону и Амперу. Во всех вышеуказанных сочинениях принцип возможных перемещений не доказывается, а лишь формулируется и поясняется, т. к. доказательства основываются на представлении об идеальных связях, т. е. таких, для к-рых сумма работ сил реакций на любом возможном перемещении системы равна нолю. Вся трудность состоит как-раз в распознавании, какие связи можно принимать за идеальные и какие нет. Существенным здесь является введение в рассмотрение принципа освобождаемости, допускающего замену связей их реакциями. Этот принцип ведет свое начало с самого зарождения статики. Во всяком случае Стевин и Галилей им уже широко пользуются, заменяя одни связи другими с одинаковой реакцией.

Принцип возможных перемещений рассматривается обычно как принцип статический, но и по своему содержанию и по доказательствам он тесно связан с динамическими (энергетическими) представлениями. Свое применение в динамике принцип возможных перемещений получил лишь после появления принципа Д’Аламбера («Traité de Dynamique», Р., 1743). Принцип Д’Аламбера был первым принципом динамики несвободной системы, позволившим сразу решить целый ряд динамических задач на движение систем со связями. По существу смысл принципа Д’Аламбера заключается в том, что он сводит решение динамич. задачи к решению статич. задачи об уравновешивании при помощи связей особых сил («потерянных», по терминологии Д’Аламбера), равных разности приложенных сил и тех сил, под действием к-рых точки системы, будучи свободными, производили бы свои действительные движения. Такое формальное сведение задачи динамики к статич. задаче привлекало и до сих пор привлекает всеобщее внимание к принципу. Введение в формулировку принципа Д’Аламбера понятия «сил инерции» было сделано гораздо позднее, повидимому, уже только в начале 19 в., и ничего не изменило по существу. Блестящим завершением 18 в. явилась «Аналитическая механика» Лагранжа (1788). В ней, на основе принципа возможных перемещений и принципа Д’Аламбера, выводятся общие уравнения М. (уравнения Лагранжа).

Механика в 19 веке. Достижения Лагранжа в значительной мере относятся уже к следующему периоду развития М. (с конца 18 в. и до последней четверти 19 в.). Этот период теснейшим образом связан с тем глубоким сдвигом в естествознании, к-рый произошел после франц. буржуазной революции. В естествознании этот период является периодом внедрения и господства эволюционных идей (космогонич. гипотеза Канта — Лапласа и др.). Для физики этого периода характерно подготовление, а затем победа закона сохранения и превращения энергии. Внедрение паровой машины поставило проблему превращения теплоты в механич. работу и обратно. Физика, в особенности волновая оптика и акустика, поставила перед М. проблему исследования движений в сплошной среде. Широкое внедрение машин в производство выдвинуло задачи — создать теорию механизмов, развить теорию упругости, сопротивления материалов и гидравлику. Если М. конца 17 и в значительной мере 18 вв. занималась по преимуществу проблемами движения небесных тел, то М. 19 в. центр внимания перенесла на разработку вопросов физических и технических. В этот период получает свое завершение кинематика твердого тела. Пуансо вводит понятие о центроидах (геометрических местах мгновенных центров) и аксоидах (конич. поверхностях, образованных мгновенными осями) и доказывает теорему о катании без скольжения подвижных центроид (аксоид) по неподвижным. Кинематика твердого тела послужила основой общей кинематики относительного движения (или, что то же, теории сложения движений); так, «переносное» движение есть не что иное, как движение определенного пункта подвижной системы отсчета. Эйлер заложил основу теории относительного движения (вместе с тем он наряду с Ньютоном признавал существование абсолютного движения), однако заслуга установления закона сложения ускорений в составных движениях принадлежит уже ученому 19 в. Кориолису (1792—1843).

Дальнейшее развитие кинематики идет гл. обр. по пути ее приложений к практике. Начало 19 в. ознаменовалось расцветом теории машин и механизмов. В связи с этим кинематика становится крупным разделом прикладной М., при этом развиваются уже чисто прикладные методы кинематики (кинематика механизмов). Упомянем трактат Понселе (1788—1876), вышедший в Меце в 1826—1829, и Кориолиса — в 1829. Первой специальной работой по кинематике механизмов можно считать книгу Виллиса «Principles of mechanism», появившуюся в свет в 1841. Дальнейшее развитие эта наука получила в классич. сочинении Рело (Reuleaux F., Theoretische Kinematik), вышедшем в 1875. Нельзя не упомянуть здесь же единственную в своем роде монографию по кинематике Кенигса (Koenigs G., Leçons de cinématique, P., 1899). Графические методы кинематики ведут свое начало от соответствующих теорем о параллелограме скоростей и параллелепипеде ускорений. Практические методы графич. кинематики (планы скоростей и ускорений) были даны О. Мором в 1887 и в настоящее время получили широкое распространений. Из числа исторически важных задач прикладной кинематики следует упомянуть о задаче получения прямолинейного движения при помощи одних лишь вращательных движений. П. Л. Чебышев (1821—94) создал ряд механизмов, решающих эту задачу. Геометрические методы решения задачи о приближенных прямолинейно направленных механизмах, основанных на тех представлениях, к-рые были введены в кинематику плоского движения в классич. труде Бурместера (Burmester L., Lehrbuch der Kinematik), в своем естественном развитии привели к созданию новой отрасли прикладной кинематики — кинематич. синтезу.

Последние годы 18 в. и начало 19 в. знаменуются развитием методов т. наз. аналитической М. С одной стороны, накапливаются применения основных уравнений Ньютона к конкретным случаям, особенно в задачах небесной М. и близких проблемах (Лаплас, Лагранж, Пуассон), с другой стороны, сами уравнения для более сложных случаев движения преобразовывают к различным формам (уравнения Лагранжа в обобщенных координатах, способ множителей и, наконец, канонич. уравнения). Идея введения канонич. переменных в динамике (обобщенные лагранжевы координаты и импульсы) принадлежит Пуассону (1809); Лагранж (1810) применял канонич. переменные к частной задаче. Пфафф в 1814—15 и Коши в 1819 связали эти уравнения с теорией характеристик уравнений в частных производных. Окончательную свою форму они получили в 1834 в работах Гамильтона, имя н-рого и связывают обычно с этими уравнениями. Метод сведения решений канонич. уравнений к нахождению полного интеграла нек-рого уравнения в частных производных был дан Якоби (1837). Параллельно с этим появляются попытки дать наиболее общие формы этих уравнений в виде некоторых новых обобщающих принципов, в частности вариационных принципов (Гамильтон, Гаусс). Ранее других вариационных принципов М. появился принцип Мопертюи, указанный им в связи с оптич. задачей о прохождении луча через неоднородную среду (1740) и напечатанный в мемуарах Парижской академии наук. В 1744 Эйлер доказал принцип для отдельной точки, совершающей центральное движение. Лагранж обобщил принцип Мопертюи на широкий круг механич. задач, но заметил, что этот принцип является весьма узким и частным по сравнению с принципом Д’Аламбера. Более общий принцип, чем принцип Мопертюи, дал Гамильтон в 1834. Как принцип Мопертюи, так и принцип Гамильтона — принципы интегральные, оба они утверждают экстремальность некоторых интегральных выражений (так называемых действий, по Мопертюи и Гамильтону). В стороне от них стоит дифференциальный принцип Гаусса-Герца — принцип наименьшего принуждения, указанный Гауссом еще в 1829 и переработанный Шеффлером в 1858 и Герцем в 1894. Последний обобщил принцип Гаусса и на неголономные системы (см. ниже). Все эти принципы представляют дальнейшее развитие механики Ньютона и принципа Д’Аламбера, хотя и могут быть формально непосредственно из них выведены. Значение их глубоко принципиальное. — Особо важное значение имеет (невариационный) принцип сохранения энергии, сформулированный в 1842 Майером, а в 1847 — Гельмгольцем. Этот принцип, развитый в дальнейшем Ренкином (1853) и Томсоном (1855), теснейшим образом связал М. с физикой и позволил дать количественное учение о потерях механич. энергии и преобразованиях ее в другие формы. Принцип сохранения энергии получил значение нового и весьма широкого принципа, содержащего в себе как небольшой частный случай закон сохранения механич. энергии при консервативных движениях.

Вместе с тем рассматриваемый период завершается развитием статики. Руководящим ее принципом стал принцип возможных перемещений, имеющий огромное значение при исследовании равновесия машин и механизмов. Одновременно разрабатываются и геометрич. методы статики. Наибольшей простоты и полного завершения они достигли в классич. труде Пуансо (1777—1859) «Элементы статики», Париж, 1804. Метод Пуансо, сейчас общепринятый, основан на теории сложения и равновесия пар сил и представляет особенные удобства при рассмотрении пространственных задач. Затруднения вычислительного характера, имеющие место при применении аналитич. методов на практике (напр., в статике сооружений, где число одновременно действующих сил бывает крайне велико), послужили причиной развития графич. методов статики (графостатика). Основой графостатики вместе с правилом параллелограма и многоугольника сил явился метод «веревочного многоугольника», данный Вариньоном в ранее упомянутой книге, а также и в другом его труде «Новая механика или статика» («Nouvelle mécanique ou statique», 1725). Теорией веревочного многоугольника занимался также Иоанн Бернулли. Первый, кто систематизировал разрозненные методы графостатики в единую дисциплину, был цюрихский проф. К. Кульман (1821 1881); его классич. сочинение «Die graphische Statik» вышло в 1866. Известный английский физик Дж. К. Максвелл (1831—79) в 1864 и независимо от него несколько позже (1872) итал. математик Л. Кремона (1830—1903) дали правила графич. построения диаграмм усилий в стержневых системах (фермах).

О развитии механики в России и в СССР. История развития М. в нашей стране чрезвычайно мало разработана. Между тем, ученые нашей страны, особенно после победы Великой Октябрьской социалистич. революции, имеют достижения в области теоретич. М. и много сделали в области приложений М. к специальным проблемам. Разработанные нашими учеными методы и разрешенное ими проблемы пользуются мировой известностью и занимают почетное место в основных курсах М. Прежде всего надо упомянуть имя величайшего математика А. М. Ляпунова (1856—1919), создателя наиболее общей теории устойчивости движения (см. ниже), стяжавшего мировую славу своими гениальными работами по теории фигур равновесия вращающейся жидкости, в к-рых он оставил далеко позади себя таких исследователей, как А. Пуанкаре, Ф. Дарвин и др. Очень много сделали русские ученые в деле создания прикладной М. Достаточно упомянуть имена И. А. Вышнеградского, разработавшего динамику регуляторов, Н. П. Петрова, создавшего основы гидродинамич. теории трения, П. Л. Чебышева, к-рый дал крупные исследования по кинематике механизмов, и, наконец, Майевского, много сделавшего в области баллистики.

После победы Великой Октябрьской социалистич. революции в развитии М. в нашей стране происходит глубочайший сдвиг. В дореволюц. России крупные исследователи работали каждый в отдельности, механич. лаборатории университетов были крайне бедны, кадры исследователей крайне немногочисленны, а самостоятельных научно-исследовательских учреждений вовсе не было. В СССР дело коренным образом изменилось. Созданы крупнейшие научно-исследовательские ин-ты, из к-рых отметим здесь Центральный аэро-гидродинамич. ин-т (ЦАГИ). В этом институте разрешаются важнейшие задачи современной аэро-гидромеханики и строительной М. самолета. Исследования по различным областям теоретической и прикладной М. ведутся и в широко развернувшихся лабораториях при университетах и втузах. Разрабатываются важнейшие проблемы современной М.: теория колебаний, теория гироскопа, проблемы гидро- и аэромеханики, многие вопросы из теории упругости, проблемы пластичности и др. Эти проблемы приобрели громадное значение в Советском Союзе в результате социалистич. переустройства страны за время сталинских пятилеток, особенно в связи с невиданным развитием у нас машиностроения и авиации.

Создателем одной из наиболее крупных школ советской М. является проф. Н. Е. Жуковский (см.) (1847—1921). Нет такой области М., в к-рой творчество Н. Е. Жуковского не оставило бы заметного следа; особенно неоценимы его заслуги в области теоретической аэродинамики (знаменитая теорема Жуковского о подъемной силе крыла, его видоизменение метода Кирхгофа в теории струй и мн. др.). Полное собрание сочинений Н. Е. Жуковского в десяти томах издается в наст/ время в Москве. — К числу выдающихся деятелей советской М. следует отнести акад. С. А. Чаплыгина (р. 1869) и акад. А. Н. Крылова (р. 1863); С. А. Чаплыгин широко известен своими выдающимися работами о движении твердого тела в жидкости, а также исследованиями по газовой динамике. Перу С. А. Чаплыгина принадлежит большое число работ по теории крыла аэроплана, общей теории движения твердого тела и мн. др. Собрание сочинений С. А. Чаплыгина в трех томах издано Академией наук СССР. Из наиболее выдающихся достижений акад. А. Н. Крылова следует отметить созданную им общую теорию качки корабля на волне и ряд других фундаментальных работ по теории упругости, баллистике, теории гироскопа и др. Особой заслугой А. Н. Крылова является популяризация основных математических методов в приложении к инженерным проблемам, чему посвящены его книги «Лекции о приближенных вычислениях», «Дифференциальные уравнения математической физики», «Общая теория гироскопов». А. Н. Крылову принадлежит также перевод «Начал» Ньютона на русский язык. Эти три советских механика (Н. Е. Жуковский, С. А. Чаплыгин, А. Н. Крылов) создали крупные школы, в которых выросли многие наши талантливые механики. Крупнейший советский научно-исследовательский институт аэро-гидродинамики (ЦАГИ) был основан Н. Е. Жуковским и С. А. Чаплыгиным.

Выдающимся представителем советской М. был покойный проф. А. А. Фридман (1887—1925), создатель большой школы динамической метеорологии и общей механики сжимаемого газа. Советская теория упругости обязана своим развитием главным образом Г. В. Колосову, академику Б. Г. Галеркину, Н. И. Мусхелишвили и академику А. Н. Диннику. Новое направление в области динамических задач упругости создано трудами В. И. Смирнова и С. Л. Соболева.

О махистской трактовке истории механики. Литература по истории М. количественно весьма значительна. Однако систематич. изложения истории развития М. с научной, последовательно-материалистич. точки зрения до настоящего времени нет. Наибольший интерес к истории М. проявился в период кризиса основ буржуазного естествознания. В этот период появился ряд исследований, посвященных критике законов Ньютона и понятий ньютоновской М. (К. Неймана, Герца и др.). Этот интерес к истокам современной М. и к ее развитию использовали различные школы идеалистов, в первую очередь махисты (см.) и энергетики (Мах, Дюгем и др.). Сочинение Э. Маха «Механика», получившее широкое распространение, построено на основе субъективно-идеалистических и агностич. взглядов автора и содержит ряд извращений действительной истории развития М. Все аксиомы и законы М., по Маху, представляют собой описание комплексов наших ощущений, являются формулировкой «инстинктивно» чувствуемых человеком связей. Поэтому эти законы не могут быть как-либо доказаны, а представляют собой лишь простую констатацию фактов. Вся история М., по Маху, заключается в поисках все более «экономного» и «простого» описания механич. явлений. Различные законы М. (напр., закон рычага, параллелограм сил, принцип возможных перемещений) лишь по-разному, с большей или меньшей «простотой» и «экономией мысли» описывают одни и те же явления. Мах пытается доказать это положение тем, что подбирает несколько простейших задач и решает их последовательно при помощи различных принципов, что якобы свидетельствует о равнозначности этих принципов. Несостоятельность и реакционность точки зрения Маха обнаруживается при подлинно научном рассмотрении истории развития М. — Неверно, что аксиомы М. представляют лишь простую констатацию фактов, не подлежащую объяснению; по мере углубления нашего познания объективной действительности, по мере установления все более глубоких связей между явлениями природы находят свое обоснование и развитие и т. н. аксиомы М. Тем самым опровергается положение Маха о равнозначности принципов М. В процессе своего развития М. (как и любая наука) открывает все более общие и существенные закономерности. Неверно также, будто любая задача М. решается при помощи любого принципа. Мах совершенно извратил историю М. в угоду своей реакционной философии; антинаучность махистских концепций исчерпывающе показана Лениным (см. Ленин, Материализм и эмпириокритицизм, Соч. т. XIII).

IV. Принципы и методы современной механики.

Статика. Основной задачей статики является приведе ние данной системы сил, приложенных к твердому телу, к простейшему виду. Задача эта имеет различные решения. Наиболее простое решение Пуансо сводится к следующему: если к данному телу в точках $M_{i}(i=1,2,...,n)$ приложены силы $\mathbf {F_{i}}$, то действие их эквивалентно действию одной силы $\mathbf {R}$, равной по величине и по направлению геометрической (векторной) сумме приложенных сил $\mathbf {F_{i}}$:

$\mathbf {R} =\mathbf {F_{1}} +\mathbf {F_{2}} +...+\mathbf {F_{n}} =\sum _{i=1}^{n}{\mathbf {F_{i}} }$

и приложенной в произвольной точке $O$ тела (полюс системы сил), и одной паре с моментом (см.) $\mathbf {m_{0}}$, равным геометрической сумме моментов приложенных сил относительно произвольно выбранного полюса $O$:

$\mathbf {m} =\mathbf {m_{0}} (\mathbf {F_{1}} )+\mathbf {m_{0}} (\mathbf {F_{2}} )+...+\mathbf {m_{0}} (\mathbf {F_{n}} )=\sum _{i=1}^{n}{\mathbf {m_{0}} (\mathbf {F_{i}} )}$.

Векторы $\mathbf {R}$ и $\mathbf {m_{0}}$ называют соответственно главным вектором и главным моментом системы сил $\mathbf {F_{i}}$. Главный вектор не зависит от выбора центра приведения системы сил, главный момент зависит от выбора этой произвольной по существу точки. В общем случае можно так выбрать центр приведения, что главный момент будет параллелен главному вектору. Это будет соответствовать приведению заданной системы сил к силе и паре, плоскость к-рой перпендикулярна к линии действия силы. Такая совокупность усилий носит название винта или динамы; линия действия главного вектора при этом будет винтовой осью. Точки винтовой оси обладают тем свойством, что если их принимать за полюсы, то главный момент при этом будет минимальным. Общая теория винтов была разработана Боллом (R. Ball, 1840—1913) в его «Theory of screws» (Дублин, 1876). Другим решением задачи о приведении системы сил к простейшему виду является приведение ее к двум силам (Шаль-Мёбиус); это решение, однако, не получило широкого распространения.

Условия равновесия тела под действием данной системы сил заключаются в равенстве нолю главного вектора ($\mathbf {R} =0$) и главного момента сил ($\mathbf {m_{0}} =0$) (при любом центре приведения). Обычно при аналитич. решении задач эти два векторных условия пишут в проекциях на три произвольно выбранные оси координат:

$\sum _{i=1}^{n}{F_{ix}}=0,$   $\sum _{i=1}^{n}{F_{iy}}=0,$   $\sum _{i=1}^{n}{F_{iz}}=0,$	$\left.{\begin{matrix}\,\\\,\\\,\\\,\end{matrix}}\right\}$	(1)
$\sum _{i=1}^{n}{m_{0x}(\mathbf {F_{i}} )}=0,$   $\sum _{i=1}^{n}{m_{0y}(\mathbf {F_{i}} )}=0,$   $\sum _{i=1}^{n}{m_{0z}(\mathbf {F_{i}} )}=0,$

причем вычисление проекции момента силы на ось $m_{0x}(\mathbf {F_{i}} )$ заменяют более простым вычислением момента силы относительно оси $m_{x}(\mathbf {F_{i}} )$. Под последним моментом понимают момент проекции силы на плоскость, перпендикулярную к оси относительно точки пересечения оси с этой плоскостью. Наличие шести уравнений равновесия позволяет определять в статич. задачах шесть неизвестных величин (обычно проекций опорных реакций тела, нагруженного данной системой сил, или других неизвестных сил). Если число неизвестных превышает число уравнений равновесия, то задача называется статически неопределенной, а неизвестные силы — статически неопределимыми. Без дополнительных сведений об упругих свойствах опор задача остается неопределенной. — При чисто аналитич. методе система сил задается координатами точек приложения сил $M_{i}(x_{i},y_{i},z_{i})$ и проекциями сил $F_{ix},F_{iy},F_{iz},$ тогда вторая строка условий равновесия (1) принимает вид:

$\sum _{i=1}^{n}{(y_{i}F_{iz}-z_{i}F_{iy})}=0,$   $\sum _{i=1}^{n}{(z_{i}F_{ix}-x_{i}F_{iz})}=0,$	$\left.{\begin{matrix}\,\\\,\\\,\\\,\end{matrix}}\right\}$	(1′)
$\sum _{i=1}^{n}{(x_{i}F_{iy}-y_{i}F_{ix})}=0,$

В частном случае плоской системы сил, т. е. системы сил, лежащих в одной плоскости, условия равновесия сводятся к трем уравнениям равновесия [обычно к двум уравнениям проекций на оси координат системы (1) и одному уравнению моментов сил относительно точки, лежащей в плоскости сил, или же к трем уравнениям моментов относительно трех точек в плоскости сил, не лежащих на одной прямой]. — Уравнения (1) и (1′) позволяют определить координаты центра тяжести тела $C(x_{c},y_{c},z_{c})$:

$x_{c}={\frac {1}{P}}\sum _{i=1}^{n}{p_{i}x_{i}},$   $y_{c}={\frac {1}{P}}\sum _{i=1}^{n}{p_{i}y_{i}},$ $z_{c}={\frac {1}{P}}\sum _{i=1}^{n}{p_{i}z_{i}},$   $P=\sum _{i=1}^{n}{p_{i}},$

т. е. точки приложения равнодействующей $P$ всех сил веса $p_{i}$ отдельных частиц тела, имеющих координаты $(x_{i},y_{i},z_{i})$ Вычисление координат центра тяжести представляет задачу интегрального исчисления. — При решении задач на равновесие сложных систем тел (напр., ферм, мостов и других сооружений) вместо составления и решения большого числа уравнений предпочитают применять графич. методы (см. Графостатика). Эти методы чрезвычайно просты в случае плоских систем сил и более сложны для пространственных систем. Графостатика пространственных систем разрабатывается лишь в самые последние годы; в ее развитии намечаются два направления: применение методов начертательной геометрии (см.) (ортогональные проекции), с одной стороны,, и разработка особых приемов изображения пространственных систем сил на плоскости — диаграммы Майора (Mayor) и Мизеса (Mises) — с другой. В настоящее время статика твердого тела рассматривается как область механики, в к-рой все основные задачи уже решены, причем методы, этих решений вполне удовлетворяют запросам практики, (в тех пределах, в каких вообще можно ограничиться понятием твердого тела).

Кинематика. Движение материальной точки задается законом изменения ее координат (Декартовых или любых криволинейных) со временем. Если $q_{i}(i=1,2,3$ в пространстве, $i=1,2$ на плоскости или заданной поверхности, $i=1$ на заданной линии) — координаты точки, то уравнения $q_{i}=q_{i}(t)$, где $t$ — время, называются уравнениями движения точки. В частности, в прямоугольной Декартовой системе координат уравнения движения будут:

$x=f_{1}(t),~~y=f_{2}(t),~~z=f_{3}(t).$   (2)

Исключая в этих уравнениях время, определим геометрическое место положений точки в различные моменты времени в пространстве, или траекторию точки. Положение точки $M$ в пространстве задается вектором-радиусом $\mathbf {r} ={\overrightarrow {OM}}$ точки $M$ по отношению к началу системы обсчета $OXYZ$. Задавая $r$ как вектор-функцию от времени $\mathbf {r} =\mathbf {r(t)}$, получим векторное уравнение движения. Годографом (см.) вектора $\mathbf {r(t)}$ служит, очевидно, траектория движения точки. Траектория, пройденный путь, скорость и ускорение (см. Кинематика) являются кинематич. мерами движения материальной точки. — Простейшими случаями движения твердого тела являются его поступательное движение и вращение вокруг неподвижной оси. При поступательном движении тела, т. е. при таком движении, при к-ром любая прямая, проведенная в теле, перемещается параллельно самой себе, все точки имеют одинаковые скорости и ускорения и описывают одинаковые траектории; таким образом, этот случай движения твердого тела эквивалентен движению материальной точки.

Положение тела; вращающегося вокруг неподвижной оси, вполне определяется углом поворота; под последним понимают двугранный угол между двумя плоскостями, проходящими через ось вращения: одной — жестко связанной с вращающимся телом, другой — неподвижной, связанной с системой отсчета (или соответствующий линейный угол). Уравнение, связывающее этот угол поворота $\varphi$ со временем $t$:

$\varphi =f(t),$

называют уравнением вращения тела. Быстрота изменения угла поворота со временем определяется угловой скоростью вращения $\omega$ (размерность — радианы в секунду или 1/сек.). Очевидно,

$\omega ={\frac {d\varphi }{dt}}=\varphi$

Угловая скорость ${\overline {\omega }}$ как вектор направляется по оси вращения в ту сторону, откуда вращение представляется положительным. Линейная или окружная скорость точки $M$ вращающегося тела определяется векторной формулой ($\mathbf {r}$ — радиус-вектор точки $M$ относительно какой-нибудь точки $O$ на оси)

$\mathbf {v} =[{\overline {\omega }},\mathbf {r} ],~~v=\omega \cdot h$,

где $h$ — кратчайшее расстояние точки $M$ до оси вращения. Быстрота изменения угловой скорости со временем определяется вектором углового ускорения ${\overline {\epsilon }}={\frac {d{\overline {\omega }}}{dt}}={\dot {\omega }}$; при этом полное ускорение $\omega$ будет равно:

${\boldsymbol {\omega }}=[{\overline {\epsilon }},\mathbf {r} ]+[{\overline {\omega }},\mathbf {v} ]=[{\overline {\epsilon }},\mathbf {r} ]+\left[{\overline {\omega }}\cdot [{\overline {\omega }},\mathbf {r} ]\right]$

Первое слагаемое представляет вращательное ускорение и равно по величине $|\epsilon |\cdot h$, второе — центростремительное ускорение, оно равно по величине $\omega ^{2}\cdot h$ и направлено от точки $M$ к оси вращения перпендикулярно к оси. Указанные формулы с соответствующими изменениями обобщаются на случай плоского движения тела и общий случай пространственного его движения. При плоском движении тела (все точки перемещаются параллельно нек-рой неподвижной плоскости) достаточно рассматривать движение плоской фигуры, жестко связанной с телом, в своей плоскости. Выбрав на этой фигуре нек-рую точку $O'$ за полюс и обозначив радиус-вектор полюса через $\mathbf {r} _{0}$, скорость — через $\mathbf {v} _{0}$, ускорение — через ${\overline {\omega }}_{0}$, будем иметь ($\mathbf {r'}$ — радиус-вектор произвольной точки фигуры в системе координат, связанной с фигурой):

$\mathbf {r} =\mathbf {r} _{0}+\mathbf {r'} ,~~\mathbf {v} =\mathbf {v} _{0}+[{\overline {\omega }},\mathbf {r'} ],~~{\overline {\omega }}={\overline {\omega }}_{0}+[{\overline {\epsilon }},\mathbf {r'} ]+\left[{\overline {\omega }}\cdot [{\overline {\omega }},\mathbf {r'} ]\right],$   (3)

т. е. скорость и ускорение $\mathbf {v}$ и ${\overline {\omega }}$ точек плоской фигуры складываются соответственно из скорости и ускорения полюса и скорости и ускорения во вращательном движении вокруг полюса. Аналогично решается вопрос и в общем случае произвольного движения твердого тела: скорость и ускорение точек его складываются соответственно из скорости или ускорения полюса и скорости или ускорения во вращательном движении вокруг полюса. Все эти результаты являются следствием общего положения о возможности разложения любого движения тела на поступательное вместе с полюсом и вращательное вокруг полюса.

Как упоминалось уже в историч. очерке, Эйлер, Моцци, а затем Шаль и Пуансо разработали геометрич. учение о движении тела, показав эквивалентность сложных движений нек-рым более простым, а именно — катанию без скольжения цилиндрич. или конич. поверхностей (аксоидов), связанных жестко с телом по соответствующим поверхностям в неподвижном пространстве.

Если по отношению к нек-рой основной системе отсчета, принимаемой условно за неподвижную, «абсолютную», движется другая система отсчета — подвижная, «относительная», то кинематические элементы движения нек-рой точки по отношению к этим двум системам соответственно называются «абсолютными» и «относительными» (см. Относительное движение). Наряду с абсолютным движением точки, т. е. движением ее по отношению к абсолютной системе отсчета, рассматривают относительное ее движение. Абсолютное движение того пункта относительной системы, через который в данный момент времени проходит движущаяся точка, называют переносным движением. Обозначая, как принято, абсолютные элементы индексом $a$ (например, $\mathbf {v} _{a},{\boldsymbol {\omega }}_{a}$), «относительные» элементы — индексом $r$ (relatif — относительный) и переносные — индексом $e$ (entrainement — перенос), будем иметь: 1) для скоростей

$\mathbf {v} _{a}=\mathbf {v} _{r}+\mathbf {v} _{e},$

т. е. абсолютная скорость равна геометрической (векторной) сумме относительной и переносной скоростей (правило параллелограма скоростей); 2) для ускорений

${\boldsymbol {\omega }}_{a}={\boldsymbol {\omega }}_{r}+{\boldsymbol {\omega }}_{e}+{\boldsymbol {\omega }}_{c},$

т. е. (правило параллелепипеда ускорений) абсолютное ускорение равно геометрич. сумме относительного, переносного и еще дополнительного (поворотного, или кориолисового) ускорения, равного ${\overline {\omega }}_{c}=2[{\overline {\omega }},\mathbf {v} _{r}],$ где ${\overline {\omega }}$ — вектор угловой скорости вращения «относительной» системы по отношению к «абсолютной». Абсолютные и относительные элементы определяются по обычным формулам кинематики точки в своих системах координат (отсчета), переносные элементы определяются по формулам кинематики твердого тела (3), кориолисово ускорение — по только что приведенной формуле. Очевидно, что в случае поступательного движения относительной системы отсчета (${\overline {\omega }}=0$) кориолисово ускорение обращается в ноль, и правило параллелепипеда ускорений заменяется правилом параллелограма ускорений. Это же имеет место и в том частном случае, когда относительное движение происходит в направлении, параллельном оси вращения относительной системы. Наличие поворотного (кориолисова) ускорения может служить для установления существования вращательного движения системы отсчета, с которой связан наблюдатель (например, известные опыты с маятником Фуко, закон Бэра и другие доказательства вращения земли). — При рассмотрении вопросов о скоростях и ускорениях точек систем тел аналитич. методы становятся мало пригодными в виду крайней их сложности. В этих случаях пользуются графич. методами. Идея этих методов заключается в геометрич. построении формул (3). В очень сложных случаях приходится дополнительно прибегать к применению метода разложения данного движения на относительное и переносное. Для плоских движений (механизмов) графич. методы хорошо разработаны.

Динамика. Связь между движением материальной точки массы т и равнодействующей приложенных к ней сил $\mathbf {F}$ определяется уравнением $m{\boldsymbol {\omega }}=\mathbf {F}$ или в проекциях на оси прямоугольных Декартовых координат:

$m{\ddot {x}}=F_{x},~~m{\ddot {y}}=F_{y},~~m{\ddot {z}}=F_{z}.$    (4)

В динамике решаются две основные задачи: 1) по заданному [уравнениями движения (2)] движению точки найти силы $\mathbf {F}$; эта задача решается простым дифференцированием уравнений (2) и подстановкой в (4); 2) по заданному закону сил, т. е. зависимости $F_{x},F_{y},F_{z}.$ от элементов движения $t,x,y,z,{\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}},$ определить движение точки; эта задача решается интегрированием системы дифференциальных уравнений (4), причем входящие в ответ произвольные постоянные интегрирования (в общем случае их шесть) определяются из начальных условий движения: при $t=t_{0},x=x_{0},y=y_{0},z=z_{0},{\dot {x}}=x_{0},{\dot {y}}=y_{0},{\dot {z}}=z_{0},$. С математич. стороны мы здесь имеем известную задачу Коши. Таким путем был решен ряд простейших задач динамики точки (движение под действием силы, зависящей лишь от времени; прямолинейные колебания точки как свободные, так и вынужденные при наличии различных законов сопротивления; прямолинейное движение при притяжении и отталкивании силой — функцией положения точки и др.). Более сложные задачи движения точки в плоскости и пространстве решаются тем же уравнением Ньютона, но составленным в криволинейной системе координат. Если $q_{1},q_{2},q_{3}$ — какие-нибудь три криволинейные координаты точки, то дифференциальные уравнения движения удобнее всего составлять в форме уравнений Лагранжа:

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}=Q_{i}$   $(i=1,2,3),$   (5)

где $T={\frac {mv^{2}}{2}}$ кинетич. энергия точки, выраженная в («обобщенных») координатах $q_{i}$ — и производных от них по времени ${\dot {q}}_{i}$ (т. н. обобщенных скоростях), a $Q_{i}$ — «обобщенная» сила, равная коэффициенту при $\delta q_{i}$ — в выражении через обобщенные координаты и скорости элементарной работы $\delta W$ равнодействующей силы на произвольном перемещении точки. Этим путем был решен ряд задач (центральные орбиты — в полярных координатах; задача о притяжении к двум центрам — в эллиптических координатах; математич. маятник и др.). — Если силы, действующие на точку, таковы, что элементарная работа их $\delta W$ может быть представлена как полный дифференциал нек-рой функции $V$ (силовой функции) или противоположной по знаку функции $\delta {\mathit {\Pi }}$ (потенциал), т. е., иными словами, если элементарная работа $\delta W=-\delta {\mathit {\Pi }}$, совершенная силой, равна изменению некоторой величины, характерной для положения точки (потенциал, потенциальная энергия) и определяющей полный запас энергии или возможности совершения работы, то обобщенные силы будут равны:

$Q_{i}=-{\frac {\partial {\mathit {\Pi }}}{\partial q_{i}}}={\frac {\partial V}{\partial q_{i}}},$

и уравнения Лагранжа смогут быть переписаны в форме:

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0$   $(i=1,2,3),$

где $L=T-{\mathit {\Pi }}$ носит название Лагранжевой функции или кинетич. потенциала. Вводя вместо обобщенных координат $q_{i}$ и обобщенных скоростей ${\dot {q}}_{i}$ новые (канонические) переменные $q_{i}$ и $p_{i}$ (импульсы), равные

$p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}$

можно выразить полную энергию точки, равную сумме кинетической и потенциальной ее энергий, через канонич. переменные $q_{i}$ и $p_{i}$ — в виде:

$H=T+{\mathit {\Pi }}=H(q_{1},q_{2},q_{3};p_{1},p_{2},p_{3}).$

Тогда канонич. уравнения движения точки (Гамильтон) будут:

${\frac {dq_{i}}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},~~{\frac {dp_{i}}{dt}}={\frac {-\partial H}{\partial q_{i}}}$   $(i=1,2,3)$;    (6)

система трех уравнений второго порядка (5) свелась к шести уравнениям первого порядка. Якоби показал, что если $V(q_{1},q_{2},q_{3};\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}).$ — есть полный интеграл уравнения в частных производных (уравнение Якоби):

$H\left(q_{1},q_{2},q_{3};{\frac {\partial V}{\partial q_{1}}},{\frac {\partial V}{\partial q_{2}}},{\frac {\partial V}{\partial q_{3}}}\right)=\alpha _{1}=Const,$

то решения (вторые интегралы) канонич. уравнений (6) имеют вид:

${\frac {\partial V}{\partial \alpha _{1}}}=t+\beta _{1},~~{\frac {\partial V}{\partial \alpha _{2}}}=\beta _{2},~~{\frac {\partial V}{\partial \alpha _{3}}}=\beta _{3},$   (7)

где $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}$ и $\beta _{1},\beta _{2},\beta _{3}$ — шесть произвольных постоянных задачи, определяемых из начальных условий. Последние два уравнения сразу дают уравнение траектории движения точки. Уравнения

${\frac {\partial V}{\partial p_{i}}}=p_{i}$   $(i=1,2,3)$

представляют промежуточные интегралы, применяемые вместе с (7) для определения постоянных интегрирования. — Случай свободной системы точек описывается теми же уравнениями, но составленными для всех точек системы; таким путем могут быть решены лишь самые простые задачи (напр., движение системы двух материальных точек, притягивающихся силой, обратно-пропорциональной квадрату расстояния между ними, и некоторые другие). Обычно при рассмотрении задач такого типа предпочитают пользоваться некоторыми общими выводами из дифференциальных уравнений динамики. Эти выводы объединяются в т. н. общие теоремы, или законы динамики. Теоремы эти следующие.

1) Закон количеств движения: производная по времени от полного количества движения системы равна главному вектору всех внешних сил, приложенных к системе. Под полным количеством движения системы понимается векторная сумма количеств движения ($m\mathbf {V}$) отдельных точек системы. В частном случае отсутствия внешних сил и наличия лишь внутренних сил теорема превращается в закон сохранения количества движения системы (Декарт). Теорема представляет большие удобства при рассмотрении явлений движения жидкости, упругих тел и явления удара тел. При рассмотрении действия сил, проявляющих себя в течение очень кратких мгновений (мгновенных сил), как, напр., при ударе тел, обычно пользуются теоремой количеств движения в форме теоремы импульсов, получаемой из предыдущей интегрированием обеих частей за некоторый конечный промежуток времени. Теорема импульсов формулируется так: приращение полного количества движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме внешних импульсов за этот промежуток. Теорема импульсов имеет применение главным образом в теории удара как твердых, так и деформируемых тел (в частности, в теории гидравлич. удара и удара тел о воду).

2) Закон движения центра инерции: центр инерции системы движется так, как будто в нем сосредоточена вся масса системы и к нему приложены все внешние силы. Смысл теоремы в том, что при ее помощи мы можем предсказать движение центра инерции системы, а это может оказаться весьма полезным, особенно в тех случаях, когда нас не интересует движение каждой точки системы в отдельности, а бывает достаточно знать что-то о движении системы в целом (напр., движение центра тяжести корабля, самолета, снаряда и др. при отвлечении от движения тел вокруг их центра инерции). Точно так же, если система состоит из двух или нескольких тел, из к-рых неизвестно только движение одного (напр., колебания кузова вагона при заданном движении тележки по рельсам, определение реакций фундамента двигателя и др.), то применение закона весьма полезно.

3) Закон моментов: производная по времени от главного момента количеств движения системы равна главному моменту внешних сил, приложенных к системе. Если внешние силы имеют главный момент, равный нолю, то главный момент количеств движения будет постоянен во времени. Закон моментов применяется с большим успехом при рассмотрении вращательных движений системы и вместе с предыдущими законами иногда может дать полное решение задачи. Наиболее простым и интересным приложением закона является его приложение к твердому телу. Так, в случае твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, мы, пользуясь уравнением моментов, сразу получаем основное дифференциальное уравнение вращения тела $I{\dot {\omega }}=L$ или $I{\ddot {\varphi }}=L$. Здесь величина $I=\int _{(M)}h^{2}dm$, т. е. сумма произведений масс частиц тела на квадраты их расстояния до оси вращения называется моментом инерции тела относительно вращения; $L$ — главный момент внешних сил относительно той же оси. Сравнивая уравнение вращения тела с уравнением движения точки, видим, что момент инерции во вращательном движении играет ту же роль, что масса в поступательном движении тела, т. е. что момент инерции тела около оси характеризует инертность тела в его вращательном движении вокруг этой оси. Пользуясь последним уравнением, можно решить ряд задач на вращательное движение тела, в частности, общую задачу о физическом маятнике (Гюйгенс). Применение двух законов (моментов и движения центра инерции) позволяет составить уравнения плоского движения тела. Закон моментов, примененный к явлению удара, позволяет решить вопрос о влиянии косых ударов на вращение тела, вопрос о центре удара и др. Известны также приложения закона моментов к элементарной теории гироскопических явлений. Полная теория гироскопов может быть изложена, если воспользоваться уравнениями Эйлера движения твердого тела вокруг неподвижного центра; последние уравнения в свою очередь представляют не что иное, как спроектированное на оси, связанное с подвижным телом уравнение моментов.

4) Закон изменения кинетической энергии системы: разность кинетических энергий системы в двух какихнибудь ее положениях равна полной работе всех сил, как внешних, так и внутренних, при перемещении системы из первого положения во второе. Кинетическая энергия системы Т определяется как сумма кинетич. энергий и отдельных ее точек ($T=^{1}\!/_{2}\sum _{i=1}^{n}{m_{i}v_{i}^{2}}$), работа — как сумма элементарных работ сил на всем пути перемещения системы. В частном случае потенциальных сил, т. е. таких сил, работа к-рых не зависит от формы пути системы, а определяется изменением (падением) некоторой величины (потенциальной энергии или потенциала) от начального ее значения до конечного, т. е. $W_{1,2}={\mathit {\Pi _{1}}}-{\mathit {\Pi _{2}}}$, разность кинетич. энергий оказывается равной изменению потенциала, т. е. $T_{2}-T_{1}={\mathit {\Pi _{1}}}-{\mathit {\Pi _{2}}}$, и, следовательно, сумма кинетической и потенциальной энергии (т. н. полная механич. энергия системы) сохраняет постоянную величину во все время движения системы: $E=T+{\mathit {\Pi }}=Const=E_{0}$ (начальная энергия); в этом заключается известный закон сохранения энергии (в узком механич. смысле). Этот закон является весьма частным случаем общего физич. закона сохранения энергии. Часть механич. энергии, превращенная в другие виды энергии (тепло, электричество, свет и др.), с точки зрения М., считается рассеянной (диссипированной), ушедшей с поля рассмотрения механики. Системы, в к-рых полная механич. энергия остается постоянной, называются консервативными. — Закон изменения кинетич. энергии (и, в частности, закон сохранения энергии) является мощным методом для решения задач динамики, особенно совместно с применением ранее упомянутых законов количества движения и моментов. Сюда относятся задачи, требующие определения скоростей (кинетич. энергии) точек системы при прохождении ее через определенное положение по заданным скоростям и положению в некоторый начальный момент (задачи о маятниках, ряд электростатич. задач, задача о притяжении к одному центру, задачи на свободные упругие колебания тела и мн. др.). Все задачи о движении системы в консервативном поле (так наз. область действия сил, которые имеют потенциал и подчиняются закону сохранения энергии) обычно или решаются до конца или решение их значительно облегчается при пользовании законом сохранения энергии. В технической М. пользование законом сохранения энергии облегчает расчеты мощностей, затрачиваемых в машинах, а также и т. н. потерь, т. е. диссипированной энергии. Закон сохранения энергии и изменения кинетич. энергии, благодаря уже самому наличию понятий энергии и работы, является одним из тех законов М., к-рые больше всего связывают ее с общей физикой.

Несвободной системой точек называют в М. систему, движение к-рой подчинено наперед нек-рым ограничениям — геометрическим либо кинематическим. Эти условия, заранее налагаемые на движение системы, называются связями. Связи, ограничивающие координаты системы, т. е. ограничивающие возможные положения системы, называются голономными; связи, ограничивающие свободу перемещений (скоростей), но не положений системы, называются неголономными. Примером голономной связи может служить кривая, по к-рой вынуждена двигаться точка; примером неголономной связи является связь, осуществляемая колесиком с острым краем, катящимся по поверхности. Связи могут быть нестационарными, т. е. зависящими от времени, и стационарными, т. е. не зависящими от времени. Кроме того, обычно различают еще связи удерживающие (двусторонние), т. е. такие, которые не «ослабевают» во все время движения, и неудерживающие (односторонние). Примером последних может служить связь, осуществленная нитью. Нить при нек-рых положениях прикрепленного к ней тела может «ослабнуть», перестать быть натянутой, и тело «освобождается». — Кинематически связи проявляют себя тем, что накладывают заранее условия на возможные (т. е. не противоречащие связям) перемещения, скорости и ускорения точек системы. В случае голономных связей числом степеней свободы системы называют число независимых друг от друга параметров, определяющих положение системы. Так, напр., свободная точка в пространстве имеет три степени свободы по числу координат, определяющих ее положение; та же точка, вынужденная двигаться по нек-рой поверхности (например, сферический маятник), имеет две степени свободы; твердое тело, закрепленное в одной точке, имеет три степени свободы по числу эйлеровых углов, определяющих его положение, и т. д. В случае неголономных связей число степеней свободы определяется числом независимых вариаций параметров, определяющих положение системы. Так, напр., если система, состоящая из $n$ точек в пространстве, подчинена $\epsilon$ голономным и $\epsilon _{1}$ неголономным связям, то число степеней свободы будет равно $k=3n-\epsilon -\epsilon _{1}$. Если твердое тело — шар — вынуждено двигаться по идеально отполированной плоскости, то число степеней свободы его будет равно пяти [имеется одно ограничение (центр шара находится от плоскости на расстоянии радиуса), накладываемое на шесть параметров шара: три координаты центра шара и три эйлеровых угла]; если же плоскость шероховата и шар может катиться только без скольжения, то добавляют два неголономных условия: две проекции скорости точки шара, находящейся в соприкасании с неподвижной плоскостью, на эту плоскость должны равняться нолю. — С динамической стороны связи действуют на точки системы нек-рыми силами, называемыми реакциями связей. В теории движения несвободных систем большое значение имеет принцип освобождаемости, утверждающий, что всякая несвободная система может рассматриваться как свободная, если только к заданным приложенным силам присоединить силы реакции. Основная особенность реакций заключается в том, что эти силы наперед не заданы и, наоборот, становятся известными только после того, как определится движение системы (обычный метод решения задач всегда содержит предварительное исключение связей из уравнения движения в дифференциальной форме и последующее их определение по найденным уравнениям движения в конечной форме). — Если сумма элементарных работ реакций связей на любом элементарном перемещении системы равна нолю, то такие связи называются идеальными. Фундаментальным принципом М. несвободных систем является принцип возможных перемещений, определяющий условия равновесия системы под действием совокупности задаваемых сил. Принцип формулируется так: необходимое и достаточное условие равновесия несвободной системы с идеальными связями заключается в равенстве нолю суммы работ задаваемых сил на любом возможном элементарном (бесконечно-малом) перемещении системы. Принцип возможных перемещений имеет большое значение при рассмотрении условий равновесия сложных систем, состоящих из большого числа тел, но имеющих малое число степеней свободы (машина — одна степень свободы, механизм — одна, две или несколько степеней свободы). Условие равновесия системы с $k$ степенями свободы, соответствующими обобщенным независимым координатам-параметрам $q_{1},q_{2},~...,~q_{k}$ сводится на основании принципа возможных перемещений к равенству нолю суммы элементарных работ задаваемых сил:

$\sum _{i=1}^{n}({{\boldsymbol {F}}_{i}\delta {\boldsymbol {r}}_{i}})=\sum _{j=1}^{k}{Q_{j}\delta q_{j}}=0$

которое (в силу произвольности величины $\delta q_{j}$) эквивалентно следующим:

$Q_{1}=Q_{2}=...=Q_{k}=0,$

т. е. все обобщенные силы должны равняться нолю.

При решении динамич. задач движения несвободной системы лучше всего пользоваться принципом Д’Аламбера. Пусть к несвободной точке $M_{i}$ приложена задаваемая сила ${\boldsymbol {F}}_{i}$ и реакция связей (равнодействующая) ${\boldsymbol {N}}_{i}$ и пусть в своем действительном движении под действием совокупности сил ${\boldsymbol {F}}_{i}+{\boldsymbol {N}}_{i}$ точка (масса ее $m_{i}$) имеет ускорение ${\boldsymbol {w}}_{i}$; тогда, очевидно, $m{\boldsymbol {w}}_{i}={\boldsymbol {F}}_{i}+{\boldsymbol {N}}_{i}$. Д’Аламбер называет потерянной силой ${\boldsymbol {P}}_{i}$ разность между задаваемой силой ${\boldsymbol {F}}_{i}$ и той силой, под действием к-рой точка имела бы свое ускорение ${\boldsymbol {w}}_{i}$, если бы была свободной, т. е. разность ${\boldsymbol {P}}_{i}={\boldsymbol {F}}_{i}-m{\boldsymbol {w}}_{i}=-{\boldsymbol {N}}_{i}$. Это не что иное, как давление точки на связь. Принцип Д’Аламбера утверждает, что потерянные силы уравновешиваются при помощи связей, т. е.

$\sum _{i=1}^{n}{({\boldsymbol {F}}_{i}-m{\boldsymbol {w}}_{i},~\delta r_{i})}$   (8)

($\delta r_{i}$ — возможное перемещение точки системы). Это уравнение иногда называют общим уравнением динамики, или уравнением Д’Аламбера, хотя впервые оно было дано Лагранжем. Если ввести в рассмотрение векторы ${\boldsymbol {I}}_{i}=-m{\boldsymbol {w}}_{i}$ и назвать их силами инерции точек системы (эти силы на самом деле к точкам системы не приложены), то равенство (8) сможет быть переписано так:

$\sum _{i=1}^{n}{({\boldsymbol {F}}_{i}+{\boldsymbol {I}}_{i},~\delta r_{i})}$

и сформулировано следующим образом: уравнениям движения несвободной системы можно придать вид уравнений равновесия, если к действительно приложенным силам присоединить условно силы инерции. Отсюда следует метод формального сведения уравнения движения к уравнению равновесия путем введения сил инерций — метод, широко применяемый на практике, особенно в вопросах машинной техники. — Из общего уравнения динамики выводятся самые различные уравнения. В частности, из уравнения (8), путем введения обобщенных координат, получаются уравнения Лагранжа для системы с $k$ степенями свободы:

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=Q_{j},~~(j=1,2,~...,~k)~~$(9)

где обозначения те же, что и в уравнениях (5), но обобщенные на случай системы точек. К несвободной системе точек может быть применен метод Гамильтона Якоби, аналогичный тому, который был уже указан ранее для отдельной свободной точки. — Аппель в 1899 указал весьма общую форму уравнения динамики несвободной системы, имеющую место как для голономных, так и для неголономных систем. Эти уравнения имеют вид:

${\frac {\partial S}{\partial {\dot {q}}_{j}}}=Q_{j},~~(j=1,2,~...,~k)~~$

где $S=\sum _{i=1}^{n}{\frac {m_{i}w_{i}^{2}}{2}}$ — т. н. энергия ускорений, a $Q_{j}$, как и раньше, — «обобщенная сила», т. е. коэффициент при соответствующем дифференциале $\delta q_{j}$ в выражении элементарной работы заданных сил при условии, что эта работа выражена как сумма произведений обобщенных сил на независимые $\delta q_{j}$. Вообще же для исследования движения неголономных систем можно применять более сложный метод лагранжевых множителей.

Можно сопоставить все перечисленные типы уравнений динамики с некоторыми вариационными задачами, для к-рых уравнения динамики являются соответствующими дифференциальными уравнениями. Прежде всего надо упомянуть об интегральном вариационном принципе Гамильтона. Рассмотрим интеграл

$A=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}L\,dt$

($L$ — кинетический потенциал системы). Этот интеграл носит название «действия» или гамильтонова действия. Если сравнить действие, вычисленное по «прямому» пути системы, т. е. согласно движению, соответствующему связям системы, приложенным силам и заданным начальным условиям, иными словами, по пути действительного движения, с действием по «окольному» пути, под к-рым будем понимать любое возможное (совместимое со связями) движение, бесконечно близкое к действительному движению системы, то изменение (или вариация) действия при переходе от прямого пути к окольному, имеющему с прямым общие начальные и конечные точки, равно нолю ($\delta A=0$). В этом состоит вариационный принцип Гамильтона в случае консервативной системы. Принцип легко выводится из лагранжевых уравнений (9) и, наоборот, лагранжевы уравнения могут быть выведены из условия равенства нолю вариации действия. Если подчинить окольный путь условию иметь одинаковую полную механич. энергию с прямым путем, то принцип Гамильтона превратится в более частный принцип Мопертюи, указанный Мопертюи за сто лет до Гамильтона. Если обозначить через $A_{M}$ действие по Мопертюи

$A_{M}=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}T\,dt$

то принцип Мопертюи утверждает, что вариация действия по Мопертюи, при переходе от участка прямого пути к соответствующему участку окольного пути, имеющему с прямым одинаковые начальные и конечные точки и одинаковую полную механическую энергию, равна нолю ($\delta A_{M}=0$). Еще более суживая понятие окольного пути, придем к дифференциальному принципу наименьшего принуждения (Гаусс) или наименьшей «кривизны» (Герц). Рассмотрим величину

$Z=\sum _{i=1}^{n}{m_{i}\left({\boldsymbol {w}}_{i}-{\frac {1}{m_{i}}}{\boldsymbol {F}}_{i}\right)^{2}}$

и назовем ее «принуждением» или «кривизной» движения системы (происхождение понятия становится ясным для отдельной точки после введения понятия «девиации» и кривизны траектории). Тогда принцип Гаусса-Герца формулируется так: принуждение или кривизна принимает максимальное значение на прямом пути системы по сравнению с окольным путем, имеющим в каждый данный момент общие координаты и скорости с прямым путем. Принцип легко выводится и непосредственно, но может быть выведен и из уравнений Аппеля. Принцип Гаусса-Герца с большим успехом применяется для неголономных систем (Герц).

Вариационный принцип Мопертюи имеет сравнительно простое физич. значение. Если заменить в выражении действия дифференцирование по времени дифференцированием по координатам, причем полная энергия одинакова для прямого и окольного пути, то принципу можно придать чисто геометрич. вид. В случае отсутствия силового поля принцип Мопертюи, напр., прямо утверждает, что несвободная точка, вынужденная двигаться по поверхности, будет двигаться так, чтобы проходимая ею дуга была экстремальной (т. е. по геодезич. линии). Для системы точек то же утверждение справедливо относительно «изображающей» точки, т. е. такой точки, координаты к-рой в пространстве Зп измерений являются $3n$ координатами всех точек системы. В этом принципе движение по кратчайшей траектории представляется глубоко физичным и тесно связанным с другими физическими вариационными принципами (напр., принципом Ферма в оптике). Другие принципы не так легко интерпретируются с физич. точки зрения. Так, принцип Гамильтона иногда интерпретируют как утверждение экстремальности среднего (интегрального) значения избытка кинетич. энергии над потенциальной, но такая формулировка очень мало наглядна. В принципе Гаусса-Герца, если заменить отношение ${\frac {1}{m_{i}}}{\boldsymbol {F}}_{i}$ условным ускорением ${\boldsymbol {w}}_{i}*$, к-рое имела бы точка, если бы она была свободна, то можно говорить о минимальности «энергии» потерянных (из-за наличия связей) ускорений. Такая формулировка, содержащая не силы, а лишь ускорения и массы, позволяла Герцу развить целую систему М., основанную лишь на понятиях пространства, времени и массы и совершенно не опирающуюся на понятие силы (механика Герца); однако это учение не дает никаких преимуществ по сравнению с обычными методами механики Ньютона и дальнейшего развития не получило; значение же его для физики оказалось ничтожным. Общие принципы М. могут одинаково применяться как к системам твердых тел, так и к деформируемым (упругим, жидким и газообразным) телам. Лагранж в «Аналитической механике» первый показал, что уравнения принципа возможных перемещений и принципа Д'Аламбера могут быть применены к сплошной среде, и тем связал воедино динамику твердых и жидких (или газообразных) тел. Применение принципа Гамильтона и других вариационных принципов в теории упругости и в гидродинамике сейчас весьма распространено. Изложенные принципы динамики представляют собой дальнейшее развитие и обобщение законов Ньютона.

Специальные проблемы механики. Наиболее важными из специальных проблем динамики являются: задача о колебаниях, задача об устойчивости движения и задача о движении твердого тела, имеющего неподвижную точку (см. Колебания). Эта проблема выдвинута развитием современной техники (увеличение быстроходности машин, колоссальный рост авиации, развитие транспорта).

Задача о колебаниях. Теория малых колебаний системы около положения устойчивого равновесия была разработана Лагранжем в «Аналитической механике». Дальнейшие исследования как свободных, так и вынужденных колебаний производились Лапласом, Фурье, Якоби, Леверье, Пуассоном и др. В 1855 вышло классическое сочинение Редтенбахера (1809—67) «Die Gesetze des Lokomotivbaues»; в этом сочинении, невидимому, впервые было обращено внимание на важность явления резонанса в технике, и теория колебаний была применена к технич. задаче о колебаниях паровоза. Вопрос о влиянии сил сопротивления на свободные и вынужденные колебания системы в общем виде был рассмотрен Релеем (Rayleigh). В его сочинении «Theory of sound» (первое издание вышло в 1877) классич. теория малых колебаний представлена уже в виде завершенной дисциплины. Поскольку силы сопротивления обусловлены сопротивлениями среды, а также и, гл. обр., силами внутреннего сопротивления в материале колеблющихся тел, то удовлетворительного разрешения этих вопросов можно ожидать лишь при дальнейшем развитии наших экспериментальных и теоретич. знаний о механизме сил сопротивления и физике материалов. Экспериментальное изучение колебаний в машинах и сооружениях представляет в наст, время весьма обширную и быстро развивающуюся область науки о колебаниях. Приборы, служащие для измерения и записи колебаний, весьма разнообразны и многочисленны; применяются не только механические (виброграф, торсиограф и пр.), но и оптические и электрические, фотоэлектрические, радиотехнические и другие методы регистрации, обнаружения и усиления колебаний. Говоря о теории малых колебаний, нельзя не упомянуть о тех методах упрощения расчета колебательных процессов, к-рые (в связи с вопросами распространения электромагнитных колебаний и другими задачами математич. физики) были введены (1893—94) в науку Хевисайдом (О. Heaviside) и разработаны рядом математиков под именем операционного или символич. исчисления. Эти методы сводят задачу расчета колебаний к некоторым простым алгебраич. операциям; особенно удобно их применять при расчете колебаний под действием импульсивных сил. — Теория конечных (не весьма малых) колебаний системы представляет значительно бо́льщие трудности и не только не может считаться в какой-либо мере завершенной главой М., а, наоборот, представляет одну из наиболее актуальных ее проблем. Основные свойства малых колебаний, т. е. изохронность колебаний, возможность представить колебательный процесс в случае действия периодической возмущающей силы как наложение свободных и вынужденных колебаний, принцип суперпозиции вынужденных колебаний, создаваемых отдельными возмущающими силами, возможность представления свободных колебаний системы с несколькими степенями свободы в виде суммы главных колебаний, — все эти свойства являются следствием (линейности тех дифференциальных уравнений, к-рыми описывается движение. Для колебаний конечной амплитуды эти уравнения уже нелинейны, и ни одно из указанных свойств не имеет места. Вместе с тем нелинейность уравнений в величайшей степени затрудняет возможность решения задачи. Основные вехи строгого подхода к проблеме нелинейных колебаний намечены в классич. сочинении Ляпунова А. М. «Общая задача об устойчивости движения» (1892, переиздано в 1936) и в трудах А. Пуанкаре (1854—1912) (Poincaré Н., Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste и Sur les courbes, définies par les équations différentielles, 1892).

В последней работе Пуанкаре дал методы «качественного исследования» характера решений дифференциальных уравнений, позволяющие предвидеть нек-рые общие свойства этих решений без фактического их нахождения.В самое последнее время и для наиболее простых случаев эти методы были успешно использованы для решения некоторых технич. задан (Андронов, Мандельштам и др.). В других же случаях для решения задач о нелинейных колебаниях, возникающих в технике, пользуются математическими, далеко не безупречными, решениями, проверяя полученные выводы экспериментально. Из технически наиболее важных задач о нелинейных колебаниях следует упомянуть задачу о вынужденных колебаниях при наличии нелинейных восстанавливающих сил, задачу о вынужденных и свободных колебаниях при наличии сил трения и сил сопротивления, пропорциональных нек-рой степени скорости, и др. Решение первой из этих задач (весьма несовершенное математически) было дано в 1918 Дюффингом и дало объяснение явлению «срыва амплитуд» при нек-рых частотах возмущения. Количественный метод, применяемый для исследования колебательных процессов при нелинейно зависящих от скорости силах сопротивления, принадлежит Ван-дер-Полю. — Методы решения задач о колебаниях линейных систем с периодически изменяющимися с течением времени параметрами (квазигармонич. колебаний) также были разработаны в астрономии (Эйлер, Гилл, Пуанкаре, Ляпунов), прежде чем технич. практика поставила эти задачи в механике. Наиболее характерной чертей колебательных процессов этого рода явдяется возможность т. н. параметрич. резонанса; резонанс (точнее говоря, возможность потери устойчивости движения) здесь может иметь место не как следствие внешнего возбуждения, а при значениях параметров самой системы, лежащих в определенных областях (см. Параметрический резонанс). Технические приложения теории колебаний столь разнообразны и многочисленны, что здесь можно лишь вскользь перечислить несколько задач.

Крутильные колебания валов. Если бы вращающийся вал был абсолютно твердым телом, то насаженные на вал массы (маховик, ротор генератора, гребной винт, кривошипные механизмы и пр.) имели бы одинаковую угловую скорость; вследствие упругости вала различные сечения его будут скручиваться неодинаково, и на вращение системы накладываются вращательные колебания вокруг оси вала — «крутильные колебания». На это явление было обращено внимание в конце 19 в. после ряда поломок гребных винтов. Фрам (Frahm), исследовавший в 1902 ряд этих аварий, указал, что причиной их послужили сильные крутильные колебания, возникшие при резонансе собственных колебаний системы и возмущающих сил двигателя. Теория крутильных колебаний, основанная на ряде схематизаций (невесомый вал с насаженными на него массами постоянного момента инерции и др.), оправдываемых технич. практикой, в наст, время весьма полно разработана для свободных колебаний и менее совершенно — для расчетов резонансных амплитуд вынужденных колебаний. Если учесть переменность во времени «приведенных моментов инерции» кривошипных механизмов двигателя, то вопрос значительно усложняется — дело сводится уже к задаче о квазигармонич. Колебаниях, рассмотренной в применении к этому случаю Е. Trefftz и Н. Е. Кочиным. Интересно еще отметить, что современная техника поставила в порядок дня также задачу о нелинейных крутильных колебаниях: избежать резонанса в условиях все растущей быстроходности становится все труднее и труднее; поэтому стали применять для соединения валов особого рода «нелинейные» муфты с целью создать систему с собственной переменной частотой, зависящей от угла закручивания, и тем самым вывести систему из резонанса.

Задача о поперечных колебаниях стержней в машиностроении возникает, гл. обр., в связи с расчетом лопаток паровых турбин, турбинных валов, конденсаторных труб, изделий на станках и пр.; в строительной технике — это вопрос о колебаниях рамных фундаментов, мостов и пр. Исторически наиболее интересным достижением теоретич. мысли в этом вопросе было создание в 1894 Л. Фепплем теории гибкого вала турбины Лаваля — удивительное свойство гибкого вала самоцентрироваться при весьма больших угловых скоростях получило весьма простое и наглядное объяснение. Задача о колебаниях мостов была поставлена в 40-х гг. 19 в. Стоксом в связи с работой комиссии, исследовавшей причины аварий нек-рых мостов. Стокс дал решение задачи, в к-рой он пренебрегает массой балки (моста), а учитывает лишь массу движущегося груза. В работах акад. А. Н. Крылова и Тимошенко этот вопрос исследуется при противоположном предположении — рассматриваются колебания балки под действием движущейся силы. В самое последнее время (1933) задача о влиянии подвижного груза на балку вновь поставлена в исследовании Штейдинга (Steuding), в котором учтены все упомянутые факторы.

Вопрос о качке судов на волнующемся море в наиболее общем случаев когда курс корабля составляет любой угол с направлением движения волны, решен А. Н. Крыловым в труде «А general theory of the oscillation of a ship on waves», к-рый может служить примером применения общих методов механики к технич. задаче. Интересно отметить, что наименее разработанными задачами технич; теории колебаний являются те задачи, в к-рых речь идет о влиянии движущейся среды (воздуха, воды и пр.) на колебания, помещанных в нее упругих тел. Таковы задачи о влиянии забортной воды на колебания корабля, задача о колебаниях частей движущегося самолета (явление Фляттера и др.), о колебаниях тела при ударе о поверхность воды и мн. др. В современной проблематике М. эти комплексные задачи, для решения которых, повидимому, придется привлечь методы динамики, теории упругости и гидродинамики, принадлежат к числу важнейших.

Проблема устойчивости движения. Крупным шагом вперед в теории малых колебаний и в теоретической М. вообще было появление в 1877 труда Рауса (Routh) «А treatise on the stability of a given state of motion», в к-ром рассмотрена одна частная задача об устойчивости заданного движения. Здесь ставится вопрос об изыскании тех условий, при соблюдении к-рых можно утверждать, что малое нарушение заданного состояния движения ведет лишь к наложению малых колебаний на это состояние движения, но не изменяет коренным образом характера последнего. Раус рассматривает малые колебания около состояния «стационарного» движения (steady motion), при к-ром позиционные (нециклические) координаты в процессе движения сохраняют постоянные значения, так же как и циклич. скорости (циклическими называются координаты, входящие в выражение кинетич. потенциала $L=T-{\mathit {\Pi }}$ только через посредство соответствующих им обобщенных скоростей). Практически к задачам этого рода сводится рассмотрение вопросов о движениях гироскопия. систем, когда на собственное быстрое вращение гироскопа накладываются малые движения его оси (или кольца карданова подвеса). В общем виде задача об устойчивости движения была рассмотрена в уже упомянутом выше труде А. М. Ляпунова. Определение устойчивости по Ляпунову, сводится к следующему: пусть функции $q_{i}=f_{i}(t)~(i=1,2,~...,~n)$ представляют нек-рое частное решение дифференциальных уравнений движения, удовлетворяющее системе начальных условий $f_{i}(t_{0})={\overline {q}}_{i}^{0},~{f'}_{i}(t_{0})={{\overline {q}}_{i}^{0}}'(t_{0})$; соответствующее этому решению движение назовем невозмущенным, а все другие с ним сравниваемые — возмущенными. В небесной механике, напр., возмущенные движения определяются теми же начальными условиями, что и невозмущенные, но различными дифференциальными уравнениями. У Ляпунова, наоборот, возмущенные движения «определяются теми же дифференциальными уравнениями, что и невозмущенныё, но другими начальными условиями: при

$t=t_{0},~q_{i}^{0}={\overline {q}}_{i}^{0}+\epsilon _{i},~{q_{i}^{0}}={{q}_{i}^{0}}'+{\epsilon }'_{i}$

Пусть далее $Q_{j}(q_{1},~q_{2},~...,~q_{n};~{q}'_{1},~...,~{q}'_{n})~(j=1,~2,~...,~k)$ заданные непрерывные функции указанных аргументов, обращающиеся в заданные функции времени $F_{j}(t)$ при подстановке в них вместо $q_{i}$ и ${q}'_{i}$ значений, соответствующих невозмущенному движению. Если при достаточно малых по абсолютному значению возмущениях $\epsilon _{i}$ и ${\epsilon }'_{i}$ абсолютные величины разностей $Q_{j}-F_{j}$ при всех $t>t_{0}$ останутся достаточно малыми, то невозмущенное движение называется устойчивым по отношению к величинам $Q_{j}$. Пусть $x_{j}=Q_{j}-F_{j}$ и пусть дифференциальные уравнения, к-рыми определяются $x_{j}~(j=1,~2,~...,~k=2n)$, имеют форму ${\frac {dx_{j}}{dt}}=X_{j}~(t,~x_{1},~...,~x_{k})$. Эти уравнения имеют очевидное решение $x_{j}=0$, удовлетворяющее начальным условиям $x_{j}^{0}=0$ при $t=t_{0}$. Если же $x_{j}^{0}$ отличны от ноля; но достаточно малы и $[x_{j}(t)]<H$ при любом $t>t_{0}$, то решение $x_{j}=0$ устойчиво в согласии с предыдущим определением. Интегрирование дифференциальных уравнений возмущенного движения Ляпунов проводит по методу последовательных приближений: заменим $X_{j}$ их разложениями в ряды $X_{j}=\sum _{m=1}^{k}{p_{jm}x_{m}}-{\overline {X}}_{j}$, где ${\overline {X}}_{j}$ обозначают совокупности нелинейных членов этих разложений, и пусть, $x_{j}=x_{j}^{(1)}+x_{j}^{(2)}...$, где $x_{j}^{(r)}$ рассматривается как величина порядка $r$. Для определения членов ряда приходим к системе уравнений

${\frac {dx_{j}^{(r)}}{dt}}=\sum _{m=1}^{k}{\frac {p_{jm}x_{m}^{(r)}+R_{j}^{(r)}}{m=1}}$,

где $R_{j}^{(r)}$ зависят от всех $x_{\sigma }^{(\rho )}$ для к-рых $\rho <r$. В частности, полагая $R_{j}^{(1)}=0$, мы получаем линейную систему уравнений в вариациях. Возникает весьма важный вопрос, в каких случаях характер решений уравнений в вариациях позволяет судить о наличии или отсутствии устойчивости, т. е. можно ли, напр., из факта наличия устойчивости по первому приближению судить об устойчивости движения вообще. Ляпунов рассматривает эту задачу для случаев, когда $p_{jm}$ — периодич. функции времени и постоянные числа. В последнем случае задача сводится к рассмотрению определяющего уравнения

${\begin{vmatrix}p_{11}-\lambda ,~p_{12},~...,~p_{1k}~~~~~~~~\\.......................\\.......................\\p_{k1},~...~~p_{k2},~...,~p_{kk}-\lambda \end{vmatrix}}=0$

Доказываются следующие теоремы: если вещественные части всех корней определяющего уравнения отрицательны, то невозмущенное движение устойчиво, и всякое невозмущенное движение, для к-рого возмущения достаточно малы, асимптотически приближается к невозмущенному; обратно — если в числе корней этого уравнения имеются корни с положительной вещественной частью, то невозмущенное движение неустойчиво. Вопрос об устойчивости движения неразрешим по первому приближению, если определяющее уравнение имеет один или несколько корней, вещественные части которых равны нолю, а вещественные части остальных корней отрицательны. Последний сомнительный случай представляет как-раз наибольший интерес для механики, так как уравнениям возмущенного движения можно придать каноническую форму (в случае консервативных сил), и определяющее уравнение в этом случае имеет одинаковое число корней с положительной и отрицательной вещественной частью. Поэтому для устойчивости движения в этом случае необходимо (но, разумеется, не достаточно), чтобы характеристич. ур-ие имело чисто мнимые корни.

Теория гироскопа. Уравнения движения твердого тела (Эйлера), имеющего неподвижную точку $O$, имеют вид:

$A{\frac {d\omega _{x}}{dt}}+(C-B)\omega _{y}\omega _{z}=m_{x}$	$\left.{\begin{matrix}\,\\\,\\\,\\\,\\\,\\\,\end{matrix}}\right\}$.	(10)
$B{\frac {d\omega _{y}}{dt}}+(A-C)\omega _{z}\omega _{x}=m_{y}$
$C{\frac {d\omega _{z}}{dt}}+(B-A)\omega _{x}\omega _{y}=m_{z}$

Здесь

$A=\sum {m_{i}(y_{i}^{2}+z_{i}^{2})},~~B=\sum {m_{i}(z_{i}^{2}+x_{i}^{2})},~~C=\sum {m_{i}(x_{i}^{2}+y_{i}^{2})},$

моменты инерции относительно главных осей инерции $x,~y,~z$ в точке $O$ (главными осями инерции называются оси, относительно которых суммы $\sum {m_{i}x_{i}y_{i}},~~\sum {m_{i}y_{i}z_{i}},~~\sum {m_{i}z_{i}x_{i}}$ — центробежные моменты инерции — обращаются в ноль; в любой точке твердого тела можно построить систему трех взаимно-перпендикулярных главных осей); $\omega _{x},~\omega _{y},~\omega _{z}$ — проекции угловой скорости на координатные оси $m_{x},~m_{y},~m_{z}$ — моменты внешних сил относительно этих осей. В некоторых случаях уравнениям (10) приходится предпочесть другие формы уравнений вращения твердого тела вокруг неподвижной точки, напр., движение тела относят к движущимся заданным образом, осям, не связанным с телом. В случае свободного твердого тела к трем уравнениям (10), выражающим не что иное, как закон моментов количеств движения в применении к твердому телу, присоединяются три уравнения движения центра инерции тела

$M{\ddot {x}}_{c}=R_{x},~~M{\ddot {y}}_{c}=R_{y},~~M{\ddot {z}}_{c}=R_{z},$

причем уравнения (10) должны быть в этом случае составлены относительно главных осей, проходящих через центр инерции (главные центральные оси). Решения уравнений (10) известны лишь при некоторых частных предположениях о действующих силах и расположении масс в теле. Еще Эйлер указал на один такой случай, именно случай $m_{x}=m_{y}=m_{z}=0$ (равнодействующая внешних сил проходит через неподвижную точку: например, тяжелое тело, опертое в центре тяжести). Два соотношения между тремя составляющими $\omega _{x},~\omega _{y},~\omega _{z}$ угловой скорости в этом случае можно получить, выразив, что кинетическая энергия и главный момент количества движения тела сохраняют в процессе движения постоянную величину. Определение $\omega _{x},~\omega _{y},~\omega _{z}$ как функций времени сводится далее к задаче обращения эллиптич. интеграла, а в частном случае $A=B$ (тело вращения) доводится до конца элементарно. Основываясь на неизменности величины и направления главного момента количества движения тела, Пуансо в «Théorie nouvelle de la rotation des corps» (1834) дал геометрия, решение задачи. — Случай тяжелого тела вращения, центр тяжести к-рого не совпадает с закрепленной точкой, гораздо более труден. Два первых интеграла, к-рые легко написать непосредственно, суть интеграл живой силы и интеграл, выражающий постоянство момёнта количества движения тела относительно вертикальной оси. В общем случае неизвестен еще один интеграл. Лишь принимая нек-рые частные предположения о положении центра тяжести и о зависимости между $A,B$ и $C$, можно найти третий интеграл. В случае Лагранжа и Пуассона предполагается, что $A=B$ и что центр инерции тела лежит на оси $z$ (оси вращения эллипсоида инерции в точке $O$). В 1888 С. В. Ковалевская указала еще на один случай интегрируемости: $A=B-2C$, и центр инерции тела лежит в плоскости $xy$. В настоящее время доказано, что, кроме трех классич. случаев Эйлера, Лагранжа и Ковалевской, не существует при произвольных начальных условиях третьего алгебраич. интеграла уравнений Эйлера, отличного от интеграла живых сил и моментов количеств движения. Наиболее полно теория движения твердого тела рассмотрена в классич. сочинении Клейна и Зоммерфельда «Теория волчка» («Über die Theorie des Kreisels», 1897—1910, 4 тт.). Упомянем еще об известной аналогии между задачей о вращении твердого тела, имеющего неподвижную точку, и задачей об изгибе и кручении тонкого, первоначально прямолинейного стержня силами и парами, приложенными к концам стержня; уравнения равновесия такого стержня тождественны с уравнениями вращения твердого тела (кинетич. аналогии Кирхгофа. 1859).

Однородное тело вращения, вращающееся с весьма большой угловой скоростью вокруг своей геометрич. оси (на этой оси находится центр тяжести тела, и моменты инерции всех осей, к ней перпендикулярных, относительно равны друг другу), называется гироскопом. Сложность строгой теории движения гироскопа объясняется тем, что три направления — геометрическая ось тела (или, точнее, его ось материальной симметрии), ось вектора угловой скорости и ось вектора главного момента количества движения тела — не совпадают друг с другом при движении тела. Но если угловая скорость тела вокруг его геометрич. оси весьма велика по сравнению с угловыми скоростями вокруг прочих осей, то этим несовпадением можно в первом приближении пренебречь. На этом предположении основана упрощенная теория гироскопич. явлений, применяемая для решения технич. задач. — В гироскопе Фуко (1852) маховик, к-рому сообщается весьма большая угловая скорость, подвешен в кольцах карданова подвеса — оси колец и ось вращения тела пересекаются в центре тяжести тела. В силу постоянства главного момента количества движения тела по величине и направлению ось вращения гироскопа (с к-рой, как мы считаем, совпадает главный момент количества движения) будет сохранять неизменное направление в инерциальной координатной системе и поэтому может служить для обнаружения суточного вращения земли. Если закрепить одно из. колец карданова подвеса, то ось гироскопа установится по меридиану данного места; если закрепить другое кольцо, освободив первое, то гироскоп покажет широту места. Эти свойства гироскопа Фуко (к-рый в своем первоначальном выполнении имел демонстрационное значение) вызвали ряд попыток использовать принцип гироскопа для создания компаса. Современная техника разрешила эти задачи, создав применяемые теперь в мореплавании и аэронавигации системы (гироскопич. компасы Сперри, Аншютца — Кемпфе). На этом же свойстве гироскопа с тремя степенями свободы сохранять неизменным направление своей оси основан ряд технич. применений гироскопов как стабилизаторов (непрямого и прямого действия) движения; в первом случае гироскопом пользуются для обнаружения отклонения от курса и последующего включения в работу стабилизирующих движение устройств, во втором — гироскоп непосредственно выполняет функции стабилизаторов. Таковы применения гироскопов в мине Уайтхэда (гироскоп Обри), в различного рода приборах управления огнем корабельных орудий, в разного рода приборах, служащих для управления на расстоянии движущимся объектом, и мн. др. Было предложено применение гироскопа в качестве стабилизатора однорельсовых железнодорожных вагонов (система Шиловского и Бреннана), успокоителя качки корабля (ныне оставленная система Шлика и вновь примененная на нек-рых итальянских крупных судах система Сперри).

Из других технич. приложений динамики твердого тела наибольшее значение имеет задача о вращательном движении снаряда, рассматривавшаяся рядом авторов, в том числе Майевским (1872), Забудским (1895) и в последнее время акад. А. Н. Крыловым, и задача об устойчивости движения самолета. В последнем случае мы имеем дело с задачей динамики твердого тела, на которое, кроме тяжести и силы тяги пропеллера, действуют еще силы сопротивления воздуха. В общем виде задача весьма сложна; ее решают в предположении, что поступательная скорость самолета вдоль оси пропеллера весьма велика по сравнению с прочими составляющими скорости.

Л. Лойцянский и А. Лурье.

Лит.: Классич. соч. — Stevinus S., Нуроmnumata mathematica, Leyden, 1605—08; Kepler I., Astronomia nova, Heidelberg, 1609; Галилей Г., Сочинения, т. I, М. — Л., [1934]; Le Opere di Galileo Galilei, Firenze, 1890—1909, v. I — XX; Descartes R., Principia philosophiae, Amstelodami, 1644 (есть русский перевод); Huyghens Ch., The laws of motion on the collision of bodies, «Philosophical Transactions», L., 1669; его же, Horologium oscillatorium, Р., 1673; его жe, Opuscula posthuma, Lugduni Batavorum, 1705; Ньютон И., Математические начала натуральной философии, М., 1937; Varignon, Nouvelle mecanique ou statique, P., 1725; Leibnitii Got. Gul. et Bernoulli Joh., Commercium philosophicum et mathematicum, Lausannae et Genevae, 1745; D’Alembert J. le Rond, Traité de dynamique, P., 1743; Bernoulli Jac., Opera, Genevae, 1744; Bernoulli Joh., Opera omnia, Lausannae et Genevae, 1742; Bernoulli Dan., Hydrodynamica, Strasbourg, 1738; Euler L., Mechanica, sive motus scientia analytice exposita, Petropoli, 1736; его же, Theoria motus corporum solidorum, seu rigidorum, Rostoch et Gryphisw., 1765; Maupertuis P. L., Oeuvres, Dresde, 1752; La Grange S. L., Mécanique analytique, P., 1788 (или в Oeuvres, t. XI — XII, P., 1892; подготовл. рус. nep.); Poisson S. D., Traité de mécanique, 2 vls, P., 1811; Gauss K. F., Über eine allgemeine Grundgesetz des Mechanik, «Journal de Grelle», t. IV, B., 1829; Якоби К., Лекции по динамике, Л. — М., 1936; Coriolis G,, Traité de la mécanique des corps solides et du calcul de l’effet des machines, 1 éd., P., 1829, 2 éd., P., 1844; Poinsot L., Éléments de statique, P., 1804; Poncelet J. V., Cours de mécanique industrielle, Metz, 1829; Möbius A. F., Lehrbuch der Statik, Lpz., 1837; Hamilton W. R., Lectures on Quaternions, L., 1853; Kirchhoff G., Vorlesungen über mathem. Physik, Bd I, Mechanik, 4 Aufl, Lpz., 1897; Hertz H., Die Prinzipien der Mechanik, in neuem Zusammenhange dargestellt (Gesammelte Werke, Bd III, Lpz., 1894); Boltzmann L., Vorlesungen über die Prinzipe der Mechanik, t. I, Lpz., 1897; Rayleigh L., Theory of sound, L., 1877—78; Routh E. I., Treatise on the dynamics of a system of rigid bodies, v. I — II, L., 1897—1905; Ляпунов A. M., Общая задача об устойчивости движения, Харьков, 1892, 2 изд., Л — М., 1935; Poincaré Н., Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, P., 1892—99. Изложение взглядов основоположников марксизма по вопросам теоретической механики, а также критику взглядов Дюринга и Маха см. Энгельс Ф., Анти-Дюринг, в кн.: Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., т. XIV, М. — Л., 1931; его же, Диалектика природы, там же; Ленин В. И., Материализм и эмпириокритицизм, в кн.: Ленин В. И., Соч., 3 изд., т. XIII, [М. — Л.], 1905. Сочинения по истории М.: Neumann С., Über die Prinzipien der Galilei-Newtonschen Theorie, Lpz., 1870; Мах Э., Механика, Историко-критический очерк ее развития, СПБ, 1909; Дюринг Е., Критическая история общих принципов механики, М., 1893; Voss А. Е., Die Prinzipien der rationellen Mechanik, в кн.: Encyklopädie der mathematischen Wissenschaft, Bd IV, Heft 1, Lpz., 1901.

Курсы и монографии: Жуковский Н. Е., Теоретическая механика, ч. 1—2, 10 изд., М., 1929—30; Николаи Е. Л., Лекции по теоретической механике, ч. 1—2, 9 изд., М. — Л., 1931—33; Лойцянский Л. Г. и Лурье А. И., Теоретическая механика, ч. 1—3, Л. — М., 1932—34; их же, Курс теоретической механики, Л. — М., 1937; Аппель П., Руководство теоретической (рациональной) механики, т. I, III, М., 1911; Hamel G., Elementare Mechanik, 2 Aufl., Lpz., 1922; Виттeкep Э. Г., Аналитическая динамика, М. — Л., 1937; Föppl A., Vorlesungen fiber technische Mechanik, Bd I — VI Lpz., 1898—1937; Вебстер А., Механика материальных точек твердых, упругих и жидких тел, Л. — М., 1933; Ламб Г., Теоретическая механика, т. II — III, М. — Л., 1935—36; Тимошенко С. П., Теория колебаний в инженерном деле, 3 издание,. Москва — Ленинград, 1934; Klein F. und Sommerfeld A., Über die Theorie des Kreisels, H. 1—4, Leipzig, 1897—1910.

Примечания редакторов Викитеки