МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ, учение об общих свойствах конечных и особенно бесконечных множеств. Понятие множества, или совокупности, принадлежит к числу простейших математич. понятий, к-рые не могут быть определены при помощи более простых понятий, так что приходится пояснять их содержание при помощи примеров. С примерами множеств приходится иметь дело на каждом шагу. Можно говорить о множестве всех книг, составляющих данную библиотеку, множестве всех клеток данного живого существа или множестве звезд, составляющих Млечный Путь. Книги данной библиотеки или звезды Млечного Пути являются элементами соответствующего множества. Определить множество — значит дать признак, по к-рому можно сказать, какие предметы являются элементами данного множества, какие нет. Если данный предмет есть элемент множества , то это записывается так: . Два множества тождественны, если они состоят из тех же элементов.
Подмножества. Если каждый элемент множества является в то же время элементом множества , то множество называется подмножеством или частью множества . Это записывают так: или ; иногда пользуются также обозначениями или . Таким образом, в число подмножеств данного множества включают и само это множество . Пример: пусть есть множество всех книг, находящихся в данный момент в данном шкафу; обозначим через подмножество множества , состоящее из всех находящихся в данном шкафу книг в переплете. И множество и множество вполне определены. При этом может случиться, что в данном шкафу находятся книги только в переплете; в этом случае подмножество совпадает со всем множеством ; может, наоборот, случиться, что в шкафу находятся лишь книги без переплета; в этом случае подмножество есть т. н. пустое множество, т. е. множество, не содержащее ни одного элемента. Пустое множество есть единственное множество, являющееся подмножеством всякого множества. Может далее случиться, что в шкафу находится лишь одна книга в переплете, а остальные — без переплета; тогда подмножество состоит лишь из одного элемента. Всякое непустое подмножество данного множества , отличное от всего множества , называется правильной частью множества . — Множества бывают конечные и бесконечные. Конечное (непустое) множество — это такое множество, к-рое состоит из одного, двух или вообще из какого-нибудь конечного числа элементов или к-рое пусто. Если же нет никакого числа, отвечающего на вопрос: сколько имеется элементов в данном множестве, то множество называется бесконечным, т. е. множество М бесконечно, если, каково бы ни было натуральное число , во множестве существует более элементов. М. т. есть по преимуществу учение о бесконечных множествах, тогда как специфич. свойства конечных множеств изучаются в комбинаторике (см.).
Мощность множеств. Первый вопрос, возникший в применении к бесконечным множествам, есть вопрос о возможности их количественного сравнения между собой. Является ли бесконечность бесконечного множества аморфной, бесформенной, не допускающей никакой количественной оценки, или же можно различать различные ступени математич. бесконечности, бесконечные множества различной количественной силы, различной «мощности»? Эти и подобные вопросы волновали философскую мысль еще задолго до создания М. т. (см., например, Больцано, Парадоксы бесконечного, и содержащиеся в этом сочинении ссылки на более ранних авторов). Ответ на эти вопросы дал Г. Кантор (1845—1918), основавший М. т. как строгую математич. науку; он сделал бесконечность предметом точного, чуждого всякого мистического тумана научного познания (хотя сам он по своим философским воззрениям был идеалистом). Возможность сравнительной количественной оценки множеств основывается на понятии взаимно-однозначного соответствия между двумя множествами. Пусть каждому элементу множества соответствует в силу какого бы то ни было правила или закона нек-рый определенный элемент множества ; если при этом каждый элемент множества оказывается поставленным в соответствие одному и только одному элементу множества , то говорят, что между множествами и установлено взаимно-однозначное или одно-однозначное соответствие [сокращенно: (1—1)-соответствие]. Очевидно, между двумя конечными множествами можно установить (1—1)-соответствие тогда и только тогда, когда оба множества состоят из одного и того же числа элементов. В обобщении этого факта мы определяем количественную эквивалентность, или равномощность, двух бесконечных множеств как возможность установить между ними (1—1)-соответствие. Уже Больцано владел, с одной стороны, вполне точно формулированным понятием (1—1)-соответствия, а, с другой стороны, считал несомненным существование бесконечностей различных ступеней; однако он не только не сделал (1—1)-соответствие основой установления количественной равносильности множеств, но решительно возражал против этого. Его останавливало то, что бесконечное множество может находиться в (1—1)-соответствии со своей правильной частью. Один из простейших примеров этого заключается в возможности установить (1—1)-соответствие между множеством всех натуральных чисел и множеством всех четных натуральных чисел. Это соответствие получается, если натуральному числу заставить соответствовать натуральное число . Вместо того, чтобы в применении к бесконечным множествам отказаться от т. н. аксиомы: часть меньше целого, Больцано отказывается от одно-однозначности как критерия равномощности и, таким образом, остается вне основного русла развития М. т. В каждом бесконечном множестве М имеется (как легко доказывается) правильная часть, равномощная всему М, тогда как ни в одном конечном множестве такой правильной части найти нельзя. Поэтому наличие правильной части, равномощной целому, можно принять за определение бесконечного множества (Дедекинд).
Для двух данных множеств и возможны лишь следующие три случая: либо в есть правильная часть, равномощная , но в нет правильной части, равномощной ; либо, наоборот, в есть правильная часть, равномощная , а в нет правильной части, равномощной ; либо, наконец, в есть правильная часть, равномощная , и в есть правильная часть, равномощная . Доказывается (теорема Кантора — Ф. Бернштейна), что в третьем случае множества и равномощны. В первом случае говорим, что мощность множества больше мощности множества , во втором случае — что мощность множества больше мощности множества . A priori возможный четвертый случай — в нет правильной части, равномощной , а в нет правильной части, равномощной , — в действительности не может осуществиться, что доказывается, однако, лишь при помощи т. н. аксиомы Цермело (см. ниже).
Для понятия мощности множеств (см.) основным является вопрос о существовании неравномощных множеств. Основной относящийся сюда результат доказан еще Кантором, а именно: множество всех подмножеств данного множества имеет мощность большую, чем множество . Множество, равномощное множеству всех натуральных чисел, называется счетным множеством. Мощность счетных множеств есть наименьшая мощность, к-рую может иметь бесконечное множество; всякое бесконечное множество содержит счетное правильное подмножество. Удаляя из несчетного множества любое счетное правильное подмножество, получим в остатке множество, равномощное первоначально данному. Далее: сумма (см. ниже) конечного или счетного множества счетных множеств есть счетное множество. Кантор доказал также, что множество всех рациональных и даже всех алгебраич. чисел счетно, тогда как множество всех действительных чисел несчетно. Мощность последнего множества называется мощностью континуума. Множеству действительных чисел равномощны: множество всех подмножеств счетного множества, множество всех комплексных чисел и, следовательно, множество всех точек плоскости, а также множество всех точек трех и вообще -мерного пространства при любом . Кантор высказал гипотезу (так называемую континуум-гипотезу): всякое множество, состоящее из действительных чисел, или конечно, или счетно, или равномощно множеству всех действительных чисел; эта гипотеза до сих пор не доказана и не опровергнута.
Отображения множеств. В М. т. аналитич. понятие функций, геометрия, понятие отображения, или преобразования, фигуры и т. п. объединяются в общее понятие отображения одного множества в другое. Пусть даны два множества и , и пусть каждому элементу поставлен в соответствие некоторый определенный элемент множества . Тогда мы говорим, что имеется отображение множества в множество или что имеется функция, аргумент к-рой пробегает множество , а значения принадлежат множеству ; в частности для каждого данного элемент множества называется образом элемента при данном отображении или значением данной функции для данного значения ее аргумента . Примеры: 1) нек-рое множество людей, к-рое обозначим через , идет на лодочную пристань, где имеется нек-рое множество лодок ; все лица, составляющие множество , рассаживаются по лодкам. Этим устанавливается отображение множества в множество : каждому человеку соответствует та лодка , в к-рую он сел; 2) рассмотрим в плоскости, с данными на ней координатными осями, квадрат с вершинами (0;0), (0;1), (1;0), (1;1) и проекцию этого квадрата хотя бы на ось абсцисс; эта проекция есть отображение множества всех точек квадрата на множество всех точек его основания: точке с координатами соответствует точка ; вместо квадрата можно было бы взять любую другую фигуру на плоскости (т. е. любое множество, элементами к-рого являются точки плоскости), в частности множество всех точек плоскости; 3) пусть есть множество всех действительных чисел; для каждого действительного числа положим ; так как всегда для действительных значений имеем , то имеем отображение множества в множество всех действительных чисел , удовлетворяющих условию . (1—1)-соответствие между двумя множествами и является таким отображением множества в множество , при к-ром каждый элемент множества является образом одного и только одного элемента множества .
Операции над множествами. Суммой двух, трех,..., вообще произвольного конечного или бесконечного множества множеств называется множество всех тех предметов, каждый из к-рых есть элемент хотя бы одного из данных множеств-слагаемых. Пересечением двух, трех,..., вообще любого конечного или бесконечного множества множеств называется множество всех общих элементов всех данных множеств. Пересечение даже двух непустых множеств может быть пустым. Разностью между множеством и его подмножеством называется множество всех элементов , не являющихся элементами ; разность называют также дополнением множества до множества . — Операции сложения и пересечения множеств удовлетворяют условиям сочетательности и переместительности (см. Ассоциативный закон, Коммутативный закон). Пересечение, кроме того, распределительно и по отношению к сложению и по отношению к вычитанию. — Эти действия обладают тем общим свойством, что если их производить над множествами, являющимися подмножествами одного и того же множества М, то и результат будет подмножеством множества М. Этим свойством не обладает т. н. внешнее умножение множества: внешним произведением множеств и называется множество всех пар , где . Другим в этом смысле «внешним» действием является «возведение в степень»: степенью двух множеств и называется множество всех отображений множества в множество . Можно определить внешнее умножение любого множества множеств так, что в случае совпадения множителей оно переходит в возведение в степень. Если и \eta суть мощности множеств и , то и определяются соответственно как мощности множества и , что в частном случае конечных множеств согласуется с умножением и возведением в степень натуральных чисел. Аналогично определяется сумма мощностей как мощность суммы попарно непересекающихся множеств с заданными мощностями.
Упорядоченные множества. Установить в данном множестве порядок — значит установить для элементов этого множества нек-рое правило предшествования (следования) (утверждения: «элемент предшествует элементу », и « следует за », выражают одно и то же). При этом предполагаются выполненными следующие требования: 1) никакой элемент не предшествует самому себе; 2) из всяких двух различных элементов и один предшествует другому (т. е. или или ); 3) условие транзитивности: если и , то . — Множество, рассматриваемое вместе с каким-нибудь установленным в нем порядком, называется упорядоченным множеством. Пример: множество всех действительных чисел, в котором меньшее из любых двух чисел считается предшествующим большему, есть упорядоченное множество. — Два упорядоченных множества называются подобными, если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие, сохраняющее порядок. Про подобные упорядоченные множества говорят также, что они имеют один и тот же порядковый тип. Таким образом, порядковый тип данного упорядоченного множества есть единственное свойство, общее этому упорядоченному множеству и всем подобным ему.
Важно заметить, что всякое подмножество упорядоченного множества есть упорядоченное множество. — Какой-либо элемент упорядоченного множества называется первым, если он предшествует в этом упорядоченном множестве всем остальным элементам; аналогично определяется и последний элемент. Примеры: в упорядоченном множестве всех действительных чисел нет ни первого ни последнего элемента; в упорядоченном множестве всех неотрицательных чисел ноль есть первый элемент, а последнего элемента нет; в упорядоченном множестве всех действительных чисел , удовлетворяющих неравенству , число есть первый, число — последний элемент. — Упорядоченное множество называется вполне упорядоченным, если оно само и всякое его правильное подмножество имеет первый элемент. Порядковые типы вполне упорядоченных множеств называются порядковыми или ординальными числами. Если вполне упорядоченное множество конечно, то его порядковое число есть обычное порядковое число элементарной арифметики. Порядковые типы бесконечных вполне упорядоченных множеств называются трансфинитными числами (см.). — Цермело впервые доказал, что во всяком множестве может быть установлен такой порядок, что множество делается вполне упорядоченным. Его доказательство опирается на аксиому, известную под названием аксиомы Цермело или принципа произвольного выбора. Аксиома гласит: пусть дано некоторое множество множеств, попарно непересекающихся и не пустых. Тогда можно из всех этих множеств сразу выбрать по элементу. Эта аксиома вызвала большие возражения со стороны ряда математиков (см. ниже), к-рые поэтому не считают установленной и теорему Цермело.
Общая теория мощностей, отображений множеств и операций над ними, а также теория упорядоченных и вполне упорядоченных множеств составляет содержание т. н. абстрактной М. т. Основные составляющие ее факты были установлены еще Кантором. Из понятий, обогативших этот отдел М. т. в более поздние годы, уместно указать в первую очередь на понятие частично-упорядоченного множества, отличающегося от понятия упорядоченного множества тем, что при частичной упорядоченности отношение предшествования (следования) устанавливается, вообще говоря, не для всех пар элементов, а лишь для нек-рых, причем, однако, условия 1 и 3, формулированные для упорядоченных множеств, остаются в силе.
Точечные множества. Теория точечных множеств, т. е. в первоначальном понимании слова — теория множеств, элементами которых являются действительные числа (точки числовой прямой), а также точки трех и вообще -мерного пространства, основана Кантором, установившим понятие предельной точки множества и примыкающие к нему понятия замкнутого множества и др. В дальнейшем своем развитии теория точечных множеств разбилась на несколько направлений. Метрическая теория множеств (Борель и Лебег, 1898—1902), основанная на понятии меры (см.) множества, развивалась как фундамент общей теории интегрирования и смежных отделов анализа и теории функций действительного переменного (тригонометрич. ряды, интегральные уравнения и т. д.), а далее повела к общей теории длин, площадей и объемов разного числа измерений (Лебег, Каратеодори, Хаусдорф). Топологическая теория множеств, отправляясь от элементарных понятий замкнутых и открытых множеств, связности (см.) и др., установленных еше Кантором, развилась после работ Фреше (1906) и Хаусдорфа (1914) в теорию множеств, лежащих в общих метрических и топологич. пространствах (см.) и, т. о., сделалась частью топологии (см.). Наиболее самостоятельное существование ведет дескриптивная М. т. Основанная франц. математиками Бэром и Лебегом в связи с классификацией разрывных функций (1905), дескриптивная М. т. началась с изучения и классификации т. н. борелевских множеств. Борелевские множества определяются, по Борелю, как множества, могущие быть построенными, отправляясь от замкнутых множеств, применением операций сложения и пересечения в любых комбинациях, но каждый раз к счетному множеству множеств. Лебег показал, что те же множества — и только они — могут быть получены как множества точек, в к-рых некоторая входящая в классификацию Бэра (см.) действительная функция обращается в ноль или общее удовлетворяет условию вида . — Дальнейшее развитие дескриптивной М. т. переносится по преимуществу в Россию и отчасти в Польшу. Доказывается теорема о том, что всякое несчетное борелевское множество имеет мощность континуума (Александров, 1916). Аппарат этого доказательства использован Суслиным для построения теории -множеств, охватывающих, как частный случай, борелевские множества (считавшиеся до того времени единственными множествами, принципиально могущими встретиться в анализе). Суслин показывает, что множество, дополнительное к -множеству , является само -множеством только в том случае, когда множество — борелевское (дополнение к борелевскому множеству есть всегда борелевское множество). При этом -множества оказались совпадающими с непрерывными образами множества всех иррациональных чисел. Теория -множеств в течение нескольких лет остается в центре дескриптивной теории. В развитие идей Суслина Лузин приходит к общему определению проективных множеств, получаемых, отправляясь от замкнутых множеств, счетным применением, операций вычитания и непрерывного отображения. К теории -множеств и проективных относятся также работы Новикова и др. Объединение теории -множеств, -множеств и проективных множеств осуществляется в общей теории операций над множествами (Хаусдорф, Колмогоров, Канторович и др.).
Влияние М. т. на развитие современной математики очень велико. Прежде всего М. т. вызвала к жизни ряд новых математич. дисциплин (теорию функций действительного переменного, современную общую топологию, общую алгебру, включая теорию бесконечных и топологич. групп, функциональный анализ и др.), к-рые вместе с М. т. в собственном смысле слова занимают все большее место в математике не только с точки зрения объема математич. продукции, посвященной этим дисциплинам, но и с точки зрения все возрастающего удельного веса совокупности этих дисциплин во всей системе нашего математического познания. — Параллельно с развитием М. т. происходит теоретико-множественное обоснование ряда классич. областей математики и изменение их содержания путем пополнения его объектами, самое определение которых возможно лишь на почве М. т. Такого рода влияние испытали на себе почти все отделы анализа, особенно, напр., вариационное исчисление, многие отделы теории дифференциальных уравнений и др. Примером теоретико-множественного обоснования одной из самых старых математич. дисциплин является построение основ теории вероятностей на почве общей теории меры (в наиболее законченном виде осуществлено Колмогоровым). Наконец, М. т. оказала глубокое влияние на наше понимание самого предмета математики (см.). На философию математики М. т. оказала также очень значительное влияние. Почти все новые проблемы философии математики так или иначе связаны с М. т. Первые проблемы философского характера, возникшие по поводу М. т., были связаны с т. н. парадоксами М. т. (см. Парадоксы математические). Эти парадоксы возникают вследствие употребления понятий, не имеющих достаточно определенного математич. содержания (вроде «множества всех вещей»), и исчезают, если при всех рассуждениях следить за тем, чтобы каждое привлекаемое понятие имело конкретное, реальное содержание, не подмениваемое словесными конструкциями. Значительно более серьезный характер имела широкая философско-математическая полемика, возникшая, начиная, примерно, с 1904, по поводу аксиомы Цермело (см. выше) и далее по поводу безоговорочной применимости в рассуждениях, касающихся бесконечных множеств, логического закона исключенного третьего. В этой полемике были поставлены общие проблемы математич. познания и прежде всего вопрос о конкретном содержании понятия существования в математике. В это же время определились и основные течения буржуазной философии математики — логистика (см.), формализм и интуиционизм (см.), а также эффективизм (возглавляемый Борелем, Лузиным). Буржуазная философия математики не смогла распутаться в возникших трудных вопросах и колеблется между чисто формальным пониманием математики, как некоторой игры символами, и по существу ликвидаторскими тенденциями интуиционистов и эффективистов, готовых пожертвовать значительными частями математики и особенно ее теоретико-множественными отделами для т. н. конструктивного, в действительности же субъективно-идеалистического обоснования тех отделов математики, к-рые они считают подлежащими сохранению. Советской научной мысли обе эти разновидности идеализма одинаково враждебны. Критическая обработка с точки зрения диалектич. материализма всего громадного фактич. материала, накопленного М. т., к-рая продолжает оставаться одной из областей математики, осуществляющей наиболее глубокое взаимное проникновение математич. и философских проблем, является очередной задачей, стоящей перед советской математикой.
Лит.: Александров П. С. и Колмогоров А. Н., Введение в теорию функций действительного переменного, 2 изд., М. — Л., 1933; Хаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М. — Л., 1937; Сборник статей по философии математики, под ред. С. А. Яновской, М., 1936.
