МНОГОУГОЛЬНИКИ. М. называется совокупность прямолинейных отрезков, каждый из концов к-рых есть одновременно конец одного и только одного, другого из них. Далее рассматриваются только плоские М. (т. е. предполагается, что все отрезки, образующие М., лежат в одной плоскости). Отрезки эти называются сторонами М. Многоугольник называется выпуклым, если он весь лежит по одну сторону от прямой, являющейся продолжением любой из его сторон. Если М. ограничивает определенную часть плоскости (как это всегда бывает в случае выпуклых М.), то эта часть плоскости сама называется М. Важнейшие М.: треугольники, в частности равнобедренный, равносторонний или правильный, прямоугольный; четырехугольники, в частности трапеция, параллелограм, прямоугольник, ромб, квадрат. Выпуклый М. называется правильным, если все стороны его равны и все углы его равны. Циркулем и линейкой, как показал Гаусс в 1801, можно построить правильный М. тогда и только тогда, когда число его сторон имеет вид: где — любой целый рациональный показатель, a — различные Гауссовы простые числа в любом числе , т. е. простые числа вида , где — целый рациональный надпоказатель. До сих пор известны только следующие пять таких Таким образом, построение возможно при и невозможно при Если — сторона правильного М., то радиус описанного, радиус вписанного круга и площадь правильного М. равны:
для 3-угольника
для 4-угольника
для 5-угольника
для 6-угольника
для 8-угольника
для 10-угольника
Начиная с пятиугольника существуют также невыпуклые правильные М., т. е. такие М.,
все стороны и все углы к-рых равны, но стороны к-рых друг друга пересекают. Такова, напр., советская звезда. Если провести любой луч из внутренней точки М., то он пересечет стороны такого М. либо 2 раза, и тогда этот М. называется двукратным, либо 3 раза, и тогда он называется трехкратным, и т. д. На рисунке даны правильные (как выпуклые, так и невыпуклые) М. от трехугольника до семиугольника.
