БСЭ1/Многомерное пространство

← Многолетники

Многомерное пространство Большая советская энциклопедия (1-е издание)

Многомоторные приводы →

Словник: Мерави — Момоты. Источник: т. XXXIX (1938): Мерави — Момоты, стлб. 577—578

МНОГОМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО, пространство, имеющее число измерений (размерность, см.) больше трех. Обычное пространство, изучаемое в элементарной геометрии, трехмерно. Это надо понимать следующим образом. В элементарной геометрии за основные элементы, из которых составляются все остальные фигуры, принимаются точки. Положение же точки в пространстве может быть определено заданием трех действительных чисел — трех координат точки. Заданием двух координат положение точки в пространстве определить нельзя (если желать, чтобы координаты непрерывно зависели от положения точки). Трехмерность точечного пространства элементарной геометрии отражает определенные реальные свойства окружающего нас физич. пространства (см.). Когда математики говорят о М. п., они совсем не имеют в виду оспаривать тот физич. опыт, к-рый выражается в утверждении о трехмерности пространства. М. п. возникают в математике тогда, когда самому термину «пространство» придается другой, более общий и абстрактный смысл. Именно в математике пространством называют систему элементов любой природы, обладающую достаточно важными свойствами, аналогичными свойствам обыкновенного точечного трехмерного пространства. Более отчетливо эта идея выражается в определении таких общих понятий, как топологическое пространство (см. Топология), метрическое пространство (см.), Риманово пространство и т. д. Например, уже рассматривая в качестве основных элементов нового пространства прямые линии обыкновенного точечного трехмерного пространства, получаем четырехмерное «пространство прямых» (для определения прямой в пространстве нужны четыре координаты). При изложении физического принципа относительности пользуются четырехмерным пространством, элементами которого являются так наз. мировые точки. При этом в понятии «мировой точки» (в отличие от точек обычного пространства) объединяется определенное положение в пространстве с определенным положением во времени (поэтому «мировые точки» и задаются четырьмя координатами вместо трех). Подробнее о геометрии многомерных пространств см. Геометрия.

Элементарная геометрия $n$-мерного Эвклидова пространства. Простейшими М. п. являются Эвклидовы $n$-мерные пространства, где $n$ — любое натуральное число. В $n$-мерном Эвклидовом пространстве положение «точки» определяется заданием $n$ действительных чисел (координат) $x_1,x_2,\mathrm{...}{x}_n$. «Расстоянием» между двумя «точками» с координатами соответственно $x_1,x_2,\mathrm{...}{x}_n$ и $x{\text{'}}_1,x{\text{'}}_2,\mathrm{...}x{\text{'}}_n$ считается выражение

$+\sqrt{(x_1-x{\text{'}}_1{)}^2+(x_2-x{\text{'}}_2{)}^2+\mathrm{...}+(x_n-x{\text{'}}_n{)}^2}.$

$(n-1)$-мерным линейным подпространством называется множество «точек» с координатами, удовлетворяющими линейному уравнению

$a_1{x}_1+a_2{x}_2+\mathrm{...}+a_n{x}_n+b=0.$

$(n-k)$-мерным линейным подпространством называется множество «точек» с координатами, удовлетворяющими $k$ независимым линейным уравнениям. Одномерные линейные подпространства называются «прямыми». Мы заключили слова «точка», «расстояние», «прямая» в кавычки, чтобы отметить, что они употреблены здесь в смысле, отличном от обычного. Изложение элементарной геометрии $n$-мерного пространства см. в кн.: Шрейер О. и Шпернер Е., Введение в линейную алгебру в геометрии. изложении, т. I, М. — Л., 1934.

А. Колмогоров.