МНОГОГРАННИКИ, в трехмерном пространстве — совокупность плоских многоугольников (см.), таких, что каждая сторона одного из них есть одновременно сторона другого (но только одного из них). Многоугольники эти называются гранями, стороны их — ребрами, а их вершины — вершинами М. Совокупность всех граней М. называется его поверхностью. М. называется эйлеровым, если поверхность его гомеоморфна поверхности шара, т. е. может быть получена из поверхности шара ее растяжением, без склеиваний и разрывов. М. называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости любой его грани; тогда его грани тоже выпуклые. Всякий выпуклый М. — эйлеров, но не всякий эйлеров — выпуклый. Выпуклый М. может быть получен путем последовательного отсечения плоскостями кусков от некоторого тетраедра. М. называется общим, если в каждой из его вершин сходится только 3 грани. Сеткой выпуклого М. называется сетка, составленная его ребрами. Ее можно, например, изобразить на плоскости, если спроектировать М. из внешней точки, весьма близкой к внутренней точке какой-нибудь его грани. Сама грань эта спроектируется тогда в виде большого выпуклого многоугольника, а все остальные — в виде малых выпуклых многоугольников, к-рые его заполняют, не налегая друг на друга. Можно получить сетку также на поверхности шара с центром внутри рассматриваемого выпуклого» М., если спроектировать его ребра на шар из этого центра. Две такие сетки называются топологически тождественными, если одна из них может быть получена из другой сокращением и растяжением ее ребер. Можно, наконец, сетку задать совершенно абстрактно. Число топологически различных сеток с данным числом граней ограничено, а именно, если то На рис. 1 (ст. 567) даны все сетки для
Основные теоремы общей теории выпуклых M. следующие. Теорема Штейнитца (1917): существует выпуклый М. с любой наперед абстрактно заданной сеткой. — Теорема Эйлера (1758): каков бы ни был выпуклый М., если — числа его вершин, ребер и граней, то Имеется много доказательств этой теоремы; она верна для любых эйлеровых М. и обобщается на неэйлеровы. — Теорема Коши (1812): выпуклый М. вполне определяется своими гранями и их смежностью, т. е. если указано, какая грань с какой и по каким ребрам смежна. Отсюда следует, что если грани выпуклого М. жестки, то он сам жесток, хотя быграни и были по ребрам скреплены шарнирно. Это полагал верным еще Эвклид и знает всякий клеивший картонные модели М., но доказал только Коши через 2.000 лет после Эвклида. — Теорема Минковского (1896): выпуклый М. вполне определяется площадями своих граней и направлениями нормалей к ним. Доказательство Минковского не элементарно; элементарное геометрич. доказательство теоремы Минковского дал А. Д. Александров в 1937. — Наиболее важны следующие специальные типы выпуклых М. Правильные М., т. е. такие М., все грани которых одинаковые правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах тоже правильные и равные. Как это следует уже из подсчета суммы плоских углов при вершине, выпуклых правильных М. не больше пяти. Указанным ниже путем можно доказать, что эти пять М. существуют (доказал еще Эвклид).
Они суть (см. табл, на ст. 563—564, фиг. 1—5)Рис. 1. правильные тетраедр, куб, октаедр, додекаедр и икосаедр (см.). Куб и октаедр дуальны, т. е. получаются друг из друга, если центры тяжестей граней одного принять за вершины другого или обратно. Аналогично дуальны додекаедр и икосаедр. Тетраедр дуален сам себе. Правильный додекаедр получается из куба построением «крыш» на его гранях (способ Эвклида), а тетраедр — отбрасыванием половины вершин куба. Так получаются из куба все остальные правильные М. Существует еще четыре правильных невыпуклых М. (см. табл.; фиг. 6—9) (т. н. тела Пуансо), впервые найденные Пуансо в 1809. Первое доказательство несуществования других невыпуклых правильных М. дал Коши в 1811. Все этим, многократны (см. Многоугольники). — Если — ребро правильного М., то радиус описанного, радиус вписанного шара и объем правильного М. равны:
1) для тетраедра
2) для куба
3) для октаедра
4) для додекаедра
5) для икосаедра
Полуправильные М. (тела Архимеда), т.-е. такие,у к-рых все грани — правильные многоугольники нескольких разных наименований, а многогранные углы — все друг другуРис. 2. конгруэнтны или симметричны. Их всего 13, вполне определенных (см. табл. наст. 565—566, фиг. 10—22), и еще две бесконечные серии т. н. призм и антипризм Архимеда (рис. 2). — Параллелоедры (выпуклые; найдены Федоровым в 1881) — М., параллельным перенесением которых можно заполнить все бесконечное пространство так, чтобы они не входили друг в друга и не оставляли пустот между собой. Таковы, напр., куб или правильная 6-угольная призма (соты). Топологически различных, т. е. имеющих топологически различные сетки, параллелоедров пять (см. табл., фиг. 23—27). Число их граней — 6, 8, 12, 12, 14. Для того чтобы М. был параллелоедром, необходимо и достаточно, чтобы он был выпуклым М. одного из пяти указанных топологич. типов и чтобы все грани его имели центры симметрии (а, следовательно, по одной теореме А. Д. Александрова, и сам М.). Если параллелоедры заполнения смежны целыми гранями, заполнение называется нормальным. Центры параллелоедров такого заполнения образуют параллелепипедальную систему точек . Область точек пространства, из к-рых каждая не дальше от нек-рой данной точки рассматриваемой параллелепипедальной системы , чем от всякой другой точки этой системы , называется областью Дирихле (или Вороного) точки в ; она представляет собой выпуклый М. с центром в точке . Совокупность областей Вороного всех точек нек-рой параллелепипедальной системы дает нормальное заполнение пространства. Существует замечательная теорема, что произвольное нормальное заполнение может быть афинным преобразованием превращено в такое заполнение Вороного нек-рой параллелепипедальной системы . Всякое преобразование симметрии (см.) в себя, оставляющее точку на месте, преобразует в себя и обратно. Группа всех таких преобразований симметрии называется голоедрией или кристаллография, системой . Их всего семь: кубическая, ромбоидальная, квадратная (или тетрагональная), ортогональная (или ромбическая), моноклинная, триклинная и гексагональная.
Кристаллографические М. Каждая и» семи групп имеет подгруппы, причем если соответственная подгруппа есть подгруппа данной голоедрии, но не есть подгруппа какой-нибудь в ней содержащейся голоедрии, то говорят, что она ей принадлежит или есть группа сингонии данной голоедрии. Всех различных таких групп и их подгрупп 32, они называются кристаллографич. классами. Если взять плоскость общего по отношению к элементам симметрии группы положения и преобразовать ее всеми преобразованиями симметрии одной из этих 32 групп, то получившиеся плоскости ограничат выпуклый М. с центром в точке , к-рый называется общей формой данной группы. Таких М., следовательно, 32. Если же допустить, чтобы плоскость, кроме того, была какой-нибудь частью по отношению к элементам симметрии положения, то получается еще 15 частных форм. Таким образом, всех этих кристаллографических М. 47 (см. Кристаллография).
Примеры нерешенных задач теории М. 1) Штейнитц доказал, что выпуклый М. не со всякой сеткой можно описать вокруг шара; общий же критерий, с какой сеткой описать можно, а с какой нельзя, не найден. 2) Параллелоедры суть выпуклые основные области групп параллельных переносов, но до сих пор не определены основные типы стереоедров, т. е. выпуклых основных областей произвольных (федоровских) дискретных групп движений.
Лит.: Федоров Е. С., Начала учения о фигурах, СПБ, 1885; Brückner М., Vielecke und Vielfache, Lpz., 1900; Steinitz E., Polyeder und Raumeinteilungen, в книге: Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften, Bd III, [T.] 1, H. 9, Lpz., 1930; его жe, Algebraische Theorie der Korper, B., 1930.