БСЭ1/Минимальные поверхности

← Минийцы

Минимальные поверхности Большая советская энциклопедия (1-е издание)

Минимальный тариф →

Словник: Мерави — Момоты. Источник: т. XXXIX (1938): Мерави — Момоты, стлб. 445

МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ, поверхности, появляющиеся при решении следующей вариационной задачи: в пространстве дана некоторая замкнутая кривая; среди всевозможных поверхностей, проходящих через эту кривую, найти такую, для которой часть ее, заключенная внутри кривой, имела бы наименьшую (минимальную) площадь. Если заданная кривая — плоская, то решением, очевидно, будет плоскость этой кривой. В случае неплоской кривой необходимое условие, которому должна удовлетворять поверхность с минимальной площадью, было установлено Лагранжем в 1760 и несколько позже истолковано геометрически Менье: средняя кривизна (см. Кривизна) такой поверхности во всех ее точках должна быть равна нолю. Хотя это условие не является достаточным, т. е. не гарантирует минимума площади, однако впоследствии название М. п. было сохранено за всякой поверхностью с нолевой средней кривизной. Если предположить поверхность заданной уравнением $z=f(x,y)$, то, приравнивая нолю выражение для средней кривизны, приходим к дифференциальному уравнению с частными производными 2-го порядка:

$(1+q^{2})r-2pqs+(1+p^{2})t=0,$
где $p={\frac {\partial z}{\partial x}},~q={\frac {\partial z}{\partial y}},~r={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}},~s={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}},~t={\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}.$

Общее решение этого уравнения в различных формах неоднократно давалось математиками, начиная с Лагранжа и Монжа (см.). М. п. вполне определяется, если задана незамкнутая кривая, через к-рую эта поверхность должна проходить, и во всех точках кривой заданы направления нормалей к поверхности («задача Бьерлинга», всегда разрешимая). Значительно более сложной представляется задача проведения М. п. через данный замкнутый контур («задача Плато»). Примерами М. п. могут служить: 1) обыкновенная винтовая поверхность; 2) катеноид (см.) — единственная (вещественная) М. п. среди поверхностей вращения; 3) «поверхность Шерке», определяемая уравнением $z=\ln {\frac {\cos \,y}{\cos \,x}}$ М. п. имеет во всех точках отрицательную Гауссову (полную) кривизну, т. е. является седлообразной поверхностью. Пользуясь свойствами поверхностного натяжения тонких жидких пленок, франц. физик Плато осуществлял М. п. экспериментально с помощью проволочных каркасов, погружаемых в мыльный раствор.

Лит.: Бляшке, Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна, [т.] I, перевод с немецкого, Москва — Ленинград, 1935, гл. 8.

Я. Дубнов.