БСЭ1/Механические квадратуры

← Механическая теория тепла

Механические квадратуры Большая советская энциклопедия (1-е издание)

Механические музыкальные инструменты →

Словник: Мерави — Момоты. Источник: т. XXXIX (1938): Мерави — Момоты, стлб. 281—283

МЕХАНИЧЕСКИЕ КВАДРАТУРЫ, собирательное название для различных методов приближенного вычисления определенных интегралов.

Так как интеграл $I=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$ равен площади фигуры $ABCD$ (рис.), где $CD$ — график функции $y=f(x)$, то вычисление интеграла эквивалентно отысканию площади. Бо́льшая часть М. к. основана на замене кривой $CD$ другими близкими к ней кривыми. Так, разбивая $AB$ на $n$ равных частей $h\left(h={\frac {b-a}{n}}\right)$ и заменяя дуги $CK_{1},~K_{1}K_{2},~...,~K_{n-1}D$ их хордами, получаем формулу трапеций:

$I\approx h\left({\frac {y_{0}}{2}}+y_{1}+y_{2}+...+y_{n-1}+{\frac {y_{n}}{2}}\right)$

Если $n$ — четное число, то, заменяя дуги $CK_{1}K_{2},K_{2}K_{3}K_{4};~...~;~K_{n-2}K_{n-1}D$ дугами парабол, проходящими соответственно через точки: $C,K_{1},K_{2};~K_{2},K_{3},K_{4};~...~;~K_{n-2},K_{n-1},D$, получаем формулу Симпсона:

$I\approx {\frac {h}{3}}(y_{0}+4y_{1}+2y_{2}+4y_{3}+2y_{4}+...+$
$+2y_{n-2}+4y_{n-1}+y_{n}).$

Точность этих формул (как и вообще всех М. к.) возрастает, когда возрастает $n$. Однако формула Симпсона вообще дает при одном и том же $n$ значительно более точный результат, чем формула трапеции; так как она при этом достаточно проста в употреблении, то ею пользуются чаще других.

Важный класс М. к. получается, если заменить кривую $CD$ одной дугой параболы порядка $n$, имеющей $n+1$ общих точек с $CD$ [что эквивалентно замене интегрируемой функции $f(x)$ многочленом степени $n$, совпадающим с $f(x)$ при $n+1$ значениях аргумента: $x_{0}^{(n)},x_{1}^{(n)},~...,~x_{n}^{(n)}$. При разном выборе абсцисс общих точек получаются разные формулы. Так, в случае, когда

$x_{0}^{(n)}=a,~x_{1}^{(n)}=a+h,~x_{2}^{(n)}=a+2h,~...,~x_{n}^{(n)}=a+nh=b$

получаем формулу Ньютона—Котеса:

$I\approx (b-a)\left[A_{0}^{(n)}f(x_{0}^{(n)})+A_{1}^{(n)}f(x_{1}^{(n)})+~...+~A_{n}^{(n)}f(x_{n}^{(n)})\right]$

где коэффициенты $A_{k}^{(n)}$ даются следующей таблицей:

$n$	$A_{0}^{(n)}$	$A_{1}^{(n)}$	$A_{2}^{(n)}$	$A_{3}^{(n)}$	$A_{4}^{(n)}$	$A_{5}^{(n)}$	$A_{6}^{(n)}$
1	$^{1}\!/_{2}$	$^{1}\!/_{2}$	—	—	—	—	—
2	$^{1}\!/_{6}$	$^{4}\!/_{6}$	$^{1}\!/_{6}$	—	—	—	—
3	$^{1}\!/_{8}$	$^{3}\!/_{8}$	$^{3}\!/_{8}$	$^{1}\!/_{8}$	—	—	—
4	$^{7}\!/_{90}$	$^{16}\!/_{45}$	$^{2}\!/_{15}$	$^{16}\!/_{45}$	$^{7}\!/_{90}$	—	—
5	$^{19}\!/_{288}$	$^{25}\!/_{96}$	$^{25}\!/_{144}$	$^{25}\!/_{144}$	$^{25}\!/_{96}$	$^{19}\!/_{288}$	—
6	$^{41}\!/_{840}$	$^{9}\!/_{35}$	$^{9}\!/_{280}$	$^{34}\!/_{105}$	$^{9}\!/_{280}$	$^{9}\!/_{35}$	$^{41}\!/_{840}$

Формула Ньютона — Котеса дает совершенно точный результат для всех многочленов степени не выше $n$. Если от параболы порядка $n$, к-рой заменяется данная кривая, потребовать, чтобы она не только имела $n+1$ общих точек с кривой, но и касалась бы её в этих точках, то получим формулу Гаусса:

$I\approx (b-a)\left[B_{0}^{(n)}f(x_{0}^{(n)})+B_{1}^{(n)}f(x_{1}^{(n)})+~...+~B_{n}^{(n)}f(x_{n}^{(n)})\right]$

Здесь абсциссы общих точек вычисляются по формуле

$x_{k}^{(n)}=a+(b-a)\xi _{k}^{(n)},$

где $\xi _{k}^{(n)}$ даются следующей таблицей:

$n$	$\xi _{0}^{(n)}$	$\xi _{1}^{(n)}$	$\xi _{2}^{(n)}$	$\xi _{3}^{(n)}$	$\xi _{4}^{(n)}$
1	0,211325	0,788675	—	—	—
2	0,112702	0,500000	0,887298	—	—
3	0,069432	0,330009	0,669991	0,930568	—
4	0,046910	0,230765	0,500000	0,769235	0,953090

Коэффициенты $B_{k}^{(n)}$ даются следующей таблицей:

$n$	$B_{0}^{(n)}$	$B_{1}^{(n)}$	$B_{2}^{(n)}$	$B_{3}^{(n)}$	$B_{4}^{(n)}$
1	$^{1}\!/_{2}$	$^{1}\!/_{2}$	—	—	—
2	$^{5}\!/_{18}$	$^{4}\!/_{9}$	$^{5}\!/_{18}$	—	—
3	0,173927	0,326073	0,326073	0,173927	—
4	0,118463	0,284444	0,284444	0,239314	0,118463

Формула Гаусса дает совершенно точный результат для всех многочленов степени не выше $2n+1$. Применение ее на практике неудобно, т. к. значения функции помножаются на громоздкие коэффициенты (помимо того, что они берутся для абсцисс, выражаемых также громоздкими числами). Чебышев распорядился произволом в выборе абсцисс общих точек: $x_{0},x_{1},~...,~x_{n}$ так, чтобы получить формулу квадратур с самыми простыми, именно — равными между собой, коэффициентами. Формула Чебышева имеет вид:

$I\approx {\frac {(b-a)}{n}}\left[f(x_{0}^{(n)})+f(x_{1}^{(n)})+~...+~f(x_{n}^{(n)})\right].$

Абсциссы общих точек вычисляются по формуле

$x_{k}^{(n)}=a+(b-a)\xi _{k}^{(n)},$

где $\xi _{k}^{(n)}$ даются таблицей:

$n$	$\xi _{0}^{(n)}$	$\xi _{1}^{(n)}$	$\xi _{2}^{(n)}$	$\xi _{3}^{(n)}$	$\xi _{4}^{(n)}$
1	0,211325	0,788675	—	—	—
2	0,146447	0,500000	0,853553	—	—
3	0,102673	0,406204	0,593796	0,897327	—
4	0,083751	0,312729	0,500000	0,687271	0,916249

Формула квадратур Эйлера — Маклорена:

$I\approx h\left({\frac {y_{0}}{2}}+y_{1}+y_{2}+...+y_{n-1}+{\frac {y_{n}}{2}}\right)-{\frac {h^{2}}{12}}(y'_{n}-y'_{0})+$
$+{\frac {h^{4}}{720}}(y'''_{n}-y'''_{0})-{\frac {h^{6}}{30~240}}(y_{n}^{\mathrm {v} }-y_{0}^{\mathrm {v} })~...$

дает уточнение формулы трапецией. Поправочные члены выражаются здесь через значения производных нечетных порядков от $f(x)$ на концах промежутка интегрирования. Если эти значения непосредственно не заданы, то их можно выразить приблизительно через конечные разности (см. Конечных разностей исчисление) различных порядков от $f(x)$ и притом различными способами. Так получаются: формула Грегори (называемая также формулой Лапласа):

$I\approx h\left({\frac {1}{2}}y_{0}+y_{1}+y_{2}+...+y_{n-1}+{\frac {1}{2}}y_{n}\right)-$
$-{\frac {h}{12}}(\Delta y_{n-1}-\Delta y_{0})-{\frac {h}{24}}(\Delta ^{2}y_{n-2}-\Delta ^{2}y_{0})-{\frac {9}{720}}(\Delta ^{3}y_{n-3}-\Delta ^{3}y_{0})-$
$-{\frac {3}{160}}(\Delta ^{4}y_{n-4}-\Delta ^{4}y_{0})-{\frac {863}{60~480}}(\Delta ^{5}y_{n-5}-\Delta ^{5}y_{0})-...,$

формула квадратур с центральными разностями:

$I\approx h\left({\frac {1}{2}}y_{0}+y_{1}+y_{2}+...+y_{n-1}+{\frac {1}{2}}y_{n}\right)-$
$-{\frac {1}{12}}\left({\frac {\Delta y_{n-1}+\Delta y_{n}}{2}}-{\frac {\Delta y_{-1}+\Delta y_{0}}{2}}\right)+$
$+{\frac {11}{720}}\left({\frac {\Delta ^{3}y_{n-2}+\Delta ^{3}y_{n-1}}{2}}-{\frac {\Delta ^{3}y_{-2}+\Delta ^{3}y_{-1}}{2}}\right)-$
$-{\frac {191}{60~480}}\left({\frac {\Delta ^{5}y_{n-3}+\Delta ^{5}y_{n-2}}{2}}-{\frac {\Delta ^{5}y_{-3}+\Delta ^{5}y_{-2}}{2}}\right)+...,$

и другие аналогичные формулы. В них:

$\Delta y_{k}=y_{k+1}-y_{k},~\Delta ^{2}y_{k}=\Delta y_{k+1}-\Delta y_{k},~...,~\Delta ^{m}y_{k}=\Delta ^{m-1}y_{k+1}-\Delta ^{m-1}y_{k},~...$

Под $y_{-1},~y_{-2},~y_{-3},~...$ понимаются значения $f(x)$ при $x=a-h,~a-2h,~a-3h,~...$ Формула квадратур с центральными разностями требует знания значений функции для значения аргумента, лежащих вне интервала интегрирования, но она дает вообще более точный результат, чем формула Грегори. Она (и нек-рые ей аналогичные формулы) широко применяется в механике и астрономии. Поэтому под механическими квадратурами понимают иногда именно эти формулы.

Лит.: Крылов Д. Н., Лекции о приближенных вычислениях, 3 изд., Л. — М., 1935; Уиттекер Э. и Робинсон Г., Математическая обработка результатов наблюдений, пер. с англ., Л. — М., 1933; то же, 2 изд., Л. — М., 1935; Скарборо Д., Численные методы математического анализа, пер. с англ., М. — Л., 1934; Марков А., Исчисление конечных разностей, 2 изд., Одесса, 1910; Runge С. und König Н., Vorlesungen über numerisches Rechnen, В., 1924 (Die Grundlehren d. mathemat. Wissenschaften tn Einzeldarstellungen, Bd XI).

А. Маркушевич.