БСЭ1/Матрица, в математике

← Матрилокальность

Матрица, в математике Большая советская энциклопедия (1-е издание)

Матрица, в производстве →

Словник: Маммилярия — Мера стоимости. Источник: т. XXXVIII (1938): Маммилярия — Мера стоимости, стлб. 479—481

МАТРИЦА, прямоугольная таблица элементов $a_{ik}$ (чисел, буквенных выражений), состоящая из $m$ строк и $n$ столбцов:

$\left\|{\begin{matrix}a_{11}\quad a_{12}\quad a_{13}\quad \ldots \quad a_{1n}\\a_{21}\quad a_{22}\quad a_{23}\quad \ldots \quad a_{2n}\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\a_{m1}\quad a_{m2}\quad a_{m3}\quad \ldots \quad a_{mn}\end{matrix}}\right\|$    (1)

М. принято окаймлять двойными черточками; в нек-рых руководствах вместо двойных черточек употребляются круглые скобки. Иногда, ради сокращения письма, М. обозначается через $\left\|a_{ik}\right\|$. Наибольший интерес представляют квадратные М., для к-рых $m$ и $n$ равны. Квадратную М. $\left\|a_{ik}\right\|$ можно рассматривать как. сокращенную запись линейного однородного преобразования:

${\begin{matrix}y_{1}=a_{11}x_{1}+\ldots +a_{1n}x_{n}\\y_{2}=a_{21}x_{1}+\ldots +a_{2n}x_{n}\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\y_{n}=a_{n1}x_{1}+\ldots +a_{nn}x_{n}\end{matrix}}$.

Поэтому М. пользуются во всех разделах математики и физики, где приходится иметь дело с линейными преобразованиями, В квантовой механике часто употребляются бесконечные М.

$\left\|{\begin{matrix}a_{11}\quad a_{12}\ldots \ldots \ldots \\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{matrix}}\right\|$

появляющиеся при рассмотрении линейной зависимости между векторами в бесконечномногомерном пространстве.

Понятие М. обязано своим возникновением теории линейных уравнений (см.), в к-рой основную роль играет т. н. ранг М. Из М. (1) молено составить определители (см.) $k$-го порядка, выделяя произвольно $k$ строк и $k$ столбцов: очевидно, что порядок $k$ определителей не может превосходить меньшего из чисел $m$, $n$. Рангом М. называется наивысший порядок определителя М., отличного от ноля. Например, ранг М.:

$\left\|{\begin{matrix}1&3&5&6\\2&0&-1&1\\3&3&4&7\end{matrix}}\right\|$

равен двум, т. к. не равен нолю определитель второго порядка, напр. $\left|{\begin{matrix}1&3\\2&0\end{matrix}}\right|=-6$, а все определители высшего (в данном случае третьего) порядка равны нолю. — Понятие ранга М. позволяет высказать следующую важнейшую теорему теории линейных уравнений.

Теорема Кронекера-Капелли. Система $m$ линейных уравнений с $n$ неизвестными

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\ldots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\ldots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\ldots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{matrix}}$.

совместна тогда и только тогда, когда ранг М. из коэффициентов

$A=\left\|{\begin{matrix}a_{11}\quad a_{12}\quad \ldots \quad a_{1n}\\a_{21}\quad a_{22}\quad \ldots \quad a_{2n}\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\a_{m1}\quad a_{m2}\quad \ldots \quad a_{mn}\end{matrix}}\right\|$

равен рангу расширенной М.

$B=\left\|{\begin{matrix}a_{11}\quad a_{12}\quad \ldots \quad a_{1n}\quad b_{1}\\a_{21}\quad a_{22}\quad \ldots \quad a_{2n}\quad b_{2}\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\a_{m1}\quad a_{m2}\quad \ldots \quad a_{mn}\quad b_{m}\\\end{matrix}}\right\|$

Значительное развитие теория М, получила лишь после исследований англ, математика 19 в. Кели (см.). Он первый стал рассматривать квадратные М. $n$-го порядка (т. е. М., состоящие из $n$ строк и $n$ столбцов) как комплексные величины. Он ввел для этих М. правила сложения и умножения.

Две квадратные матрицы $A=\left\|a_{ik}\right\|$, $B=\left\|b_{ik}\right\|$ $n$-го порядка называются равными, если каждый элемент $a_{ik}$ матрицы $A$ равен соответственному элементу $b_{ik}$ матрицы $B$. М. считается равной нолю, если все ее элементы — ноли. Под суммой двух квадратных М. $n$-го порядка $A=\left\|a_{ik}\right\|$ и $B=\left\|b_{ik}\right\|$ разумеется М. $\left\|a_{ik}+b_{ik}\right\|$ элементы к-рой являются суммой соответствующих элементов слагаемых М. Отсюда получается и правило вычитания М.:

$\left\|a_{ik}\right\|-\left\|b_{ik}\right\|=\left\|a_{ik}-b_{ik}\right\|$

Несколько сложнее определяется умножение М. Следуя Кели, назовем произведением матриц $A=\left\|a_{ik}\right\|$ и $B=\left\|b_{ik}\right\|$ матрицу $C=\left\|c_{ik}\right\|$ с элементами

$c_{ik}=a_{i1}b_{1k}+a_{i2}b_{2k}+...+a_{in}b_{nk}$

По отношению к только что установленным операциям сложения и умножения квадратные М. $n$-го порядка похожи во многом на числа, а именно:

1) Выполняется ассоциативный (сочетательный) закон:

$A+(B+C)=(A+B)+C$;    $A(BC)=(AB)C$.

2) Сложение матрицы—коммутативно (перестановочно):

$A+B=B+A$

3) Выполняется дистрибутивный (распределительный) закон:

$A(B+C)=AB+AC$;    $(B+C)A=BA+CA$.

4) Существует вполне определенная матрица $E$, для к-рой $AE=A$,    $EA=A$, какова бы ни была матрица $A$.  $E$ есть не что иное, как М., состоящая из единиц по главной диагонали и нолей на остальных местах.

Но у М. есть свои характерные особенности. Прежде всего умножение М., вообще говоря, некоммутативно, не всегда $AB=BA$, Затем произведение $A\cdot B$ может равняться нолю, несмотря на то, что сомножители $A$ и $B$ нолю не равны. Например:

$\left\|{\begin{matrix}0&0\\0&1\end{matrix}}\right\|\cdot \left\|{\begin{matrix}1&0\\0&0\end{matrix}}\right\|=\left\|{\begin{matrix}0&0\\0&0\end{matrix}}\right\|=0$.

Матрицы $A$ и $B$, обладающие подобным свойством, называются делителями ноля.

Для матрицы $A$ может существовать не более одной обратной матрицы $A^{-1}$, для к-рой $A^{-1}A=AA^{-1}=E$. Чтобы матрица, обратная к $A$, существовала, необходимо и достаточно, чтобы определитель $\left|a_{ik}\right|$ был отличен от ноля.

Значение умножения М. станет более понятным, если мы рассмотрим М. в связи с линейными преобразованиями (см.). Матрица $\left\|a_{ik}\right\|=A$ соответствует линейное преобразование

$z_{i}=a_{i1}y_{1}+a_{i2}y_{2}+...+a_{in}y_{n}$;    $i=1,2,...,n$;    ($A$)

матрице же $\left\|b_{ik}\right\|=B$ — преобразование

$y_{i}=b_{i1}x_{1}+b_{i2}x_{2}+...+b_{in}x_{n}$;    $i=1,2,...,n$;    ($B$)

Если совершить сначала над переменными $x$ преобразование ($B$), а затем над полученными переменными $y$ преобразование ($A$), приводящее к переменным $z$ то в результате получается, преобразование переменной $x$ в переменные $z$:

$z_{i}=c_{i1}x_{1}+c_{i2}x_{2}+...+c_{in}x_{n}$;    ($C$)

Это последнее преобразование и соответствует матрице $C=A\cdot B$. При этом М. с определителем $\left|a_{ik}\right|\neq 0$ соответствуют взаимно-однозначным (невырождающимся) линейным преобразованиям. Во всей математике фундаментальную роль играют группы (см.) взаимно-однозначных преобразований. Матрицы, соответствующие группе линейных преобразований, образуют группу матриц. В теории групп имеет большое значение представление произвольных (абстрактных) групп при помощи групп М.

Алгебра М. с указанными выше действиями сложения и умножения имеет множество применений в различных частях математики. В последнее время все более выдвигается также то, что можно назвать «матричным анализом», — теория аналитич. функций от М., дифференцирование и интегрирование матриц. В частности, на этих последних понятиях основано современное изложение теории систем линейных дифференциальных уравнений.

При изучении М. большую роль играет т. к. характеристич. уравнение матрицы $A=\left\|a_{ik}\right\|$, т. е. уравнение

$\left\|{\begin{matrix}a_{11}-x\quad a_{12}\quad \quad \quad a_{13}\quad \ldots \quad a_{1n}\quad \quad \\a_{21}\quad \quad \quad a_{22}-x\quad a_{23}\quad \ldots \quad a_{2n}\quad \quad \\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\a_{n1}\quad \quad \quad a_{n2}\quad \quad \quad a_{n3}\quad \ldots \quad a_{nn}-x\end{matrix}}\right\|=0$

В частности, последний коэффициент характеристич. уравнения — сумма $\sum {a_{ii}}$ диагональных элементов матрицы $A$ — называется в теории групп характером М. Впервые теория характеров была развита Фробениусом в 1896—1899. В настоящее время характеры являются весьма сильным средством исследования в теории групп, в особенности в таких вопросах, как простота или разрешимость групп.

Лит.: Изложение общей теории матриц можно найти в следующих руководствах: Граве Д. А., Элементы высшей алгебры, Киев, 1914; Сушкевич А. К., Основы высшей алгебры, 3 изд., М. — Л., 1937; Бохер М., Введение в высшую алгебру, М. — Л., 1934; Окунев Л. Я., Высшая алгебра, М. — Л., 1937; Шрейер О. и Шпернер Е., Теория матриц, М. — Л., 1936; Wedderburn J. Н. М., Lectures on matrices, N. Y., 1934 (в этой книге имеется обширная библиография по теории матриц). Изложение теории характеров можно найти в следующих книгах: Шмидт О. Ю., Абстрактная теория групп, М. — Л., 1933; Ван дер Верден Б. Л., Современная алгебра, ч. 2, М. — Л., 1937; Weber Н., Lehrbuch der Algebra, Bd II, 2 Aufl., Braunschweig, 1899; Burnside W., Theory of groups of finite order, 2 ed., Cambridge, 1911. О функциях матриц и роли их при изучении дифференциальных уравнений см.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. III, 2 изд., Л — М., 1934.

Л. Окунев.