БСЭ1/Логарифмы

← Логарифмический потенциал

Логарифмы Большая советская энциклопедия (1-е издание)

Логау, Фридрих, фон →

Словник: Лилль — Маммалогия. Источник: т. XXXVII (1938): Лилль — Маммалогия, стлб. 299—304

ЛОГАРИФМЫ. Элементарная теория. Л. данного числа $N$ при основании $a$ называется показатель степени $x$, в к-рую нужно возвести число $a$, чтобы получить $N$. Этот Л. обозначается символом $\log _{a}N$ (иногда $\lg _{a}N$, реже $\mathrm {l} _{a}~N$, $\mathrm {L} _{a}~N$ или $^{\mathrm {a} }\mathrm {log} ~N$). Согласно определению $x=\log _{a}N$, если $N=a^{x}$. Например: т. к. 100=10^{2}, то $\log _{10}100=2$; или т. к. $32=2^{5}$, то $\log _{2}32=5$. Основание Л. $a$ берется положительным, и т. к. при всяком действительном $x$ всегда $a^{x}>0$, то лишь положительные числа имеют действительный Л. Выбор отрицательного основания привел бы к тому, что бесчисленное множество положительных и отрицательных чисел не имело бы действительных Л. Совокупность всех Л., соответствующих основанию $a$, называется системой Л. при основании $a$. Из определения Л. следует, что $a^{\log _{a}N}=N$, с помощью чего легко выводятся главные свойства логарифмов:

1) Л. произведения равен сумме Л. сомножителей: $\log _{a}(MN)=\log _{a}M+\log _{a}N$.

2) Л. частного равен разности Л. делимого и делителя: $\log _{a}({\frac {M}{N}})=\log _{a}M-\log _{a}N$.

3) Л. степени равен произведению показателя степени на Л. возводимого в степень числа: $\log _{a}N^{n}=n\cdot \log _{a}N$, Л. Отсюда вытекает также, что Л. чисел, образующих геометрич. прогрессию, сами составляют арифметическую прогрессию.

4) Л. корня равен Л. подкоренного выражения, деленному на показатель корня:

$\log _{a}{\sqrt[{n}]{N}}={\frac {1}{n}}\log _{a}N.$

Число, Л. которого есть $x$, называют антилогарифмом $x$.

Огромное практическое значение Л. основывается на перечисленных свойствах, позволяющих с помощью специальных таблиц Л. заменять умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня соответственно более простыми сложением, вычитанием, умножением и делением.Рис. 1. Многие вычисления без Л. были бы почти неосуществимыми. По выражению Лапласа, «логарифмы, сократив труды астронома, удвоили его жизнь». — Благодаря десятичному характеру нашего счета особенно употребительной является система Л. с основанием $10$. Десятичные Л. обозначают обычно $\log N$. На рис. 1 показана зависимость между числами $x$ и их десятичными Л.; видно, что $\log x<0$ при $x<1$, $\log 1=0$ и $\log x>0$ при $x>1$. Ноль не имеет Л. Десятичные Л. чисел, представляющих собой целые степени числа $10$, — сами целые ($\log 10^{n}=n)$; Л. остальных целых чисел суть трансцендентные числа (см. Число) и выражаются бесконечными непериодич. десятичными дробями. В таблицах приводятся поэтому лишь приближенные значения Л. Целую часть Л. называют характеристикой, а дробную — мантиссой. Например у $\log 253=2,40312$ характеристика есть $2$, а мантисса — $0,40312$. Л. чисел, меньших единицы, приводят к специальной форме, в к-рой их мантисса оказывается положительной. Например $\log 0,05={\overline {2}},69897$; это означает, что $\log 0,05=\log 5-\log 100=0,69897$ $-2$. Характеристика Л. числа, большего $1$, равна числу цифр, содержащихся в его целой части, минус единица; например $\log 1000=3$. Характеристика Л. десятичной дроби, меньшей $1$, равна числу нолей, содержащихся в десятичной дроби до первой отличной от ноля цифры, взятому со знаком минус. Мантисса Л. всегда положительна. Для построения таблиц Л. весьма важно также, что числа, отличающиеся в $10^{n}$ раз, имеют одинаковые мантиссы. Поэтому в таблицах можно приводить лишь мантиссы целых чисел. Например, зная, что $\log 253=2,40312$, легко получаем $\log 25,3=1,40312$, $\log 2,53=0,40312$, $\log 0,25=1,40312$ и т. д.

В большинстве случаев практически достаточны таблицы, дающие пять знаков мантиссы; для выкладок, требующих особенной точности, Рис. 2.пользуются семизначными Л. В СССР широко распространены пятизначные таблицы логарифмов Пржевальского. В приведенном образце (рис. 2) содержатся Л. чисел от $2500$ до $2599$, напр. $\log 2511=3,39985$. Для вычисления Л. чисел, состоящих более чем из четырех цифр, служат таблички пропорциональных частей — Р. Р. Таблицы Л. содержат обычно указания, как ими пользоваться. Л. можно пользоваться и при действиях над отрицательными числами, оперируя над их абсолютными величинами и придавая затем результату подходящий знак. Кроме Л. чисел, таблицы содержат обычно Л. тригонометрии, величин и т. н. Гауссовы логарифмы. Гауссовы Л. служат для определения Л. суммы или разности двух чисел по данным их Л. без промежуточного отыскания самих чисел. Нахождение $\log(a+b)$ основывается на формуле

$\log(a+b)=\log a+\log \left[1+{\frac {1}{\left({\frac {a}{b}}\right)}}\right].$

Наряду с десятичными Л. большое значение имеют натуральные Л., основанием к-рых служит трансцендентное число $e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=2,718281828459...$; их обозначают $\ln N$. Натуральные Л. служат и в практич. вычислениях, но особенно существенны они в теории функций (см. ниже). Натуральные логарифмы называют также гиперболическими, ибо площадь $S$, ограниченная дугой равносторонней гиперболы $y={\frac {1}{x}}$ (рис. 3), отнесенной к асимптотам, осью абсцисс и ординатами, соответствующими абсциссам $1$ и $x$, равна $\ln x$.

Зная Л. какой-либо одной системы, можно получить легко Л. любой другой. Прологарифмировав в системе с основанием $b$ тождество $N=a^{\log _{a}N}$ получим, $\log _{b}N=\log _{a}N\cdot \log _{b}a$ и значит $\log _{a}N={\frac {1}{\log _{b}a}}\log _{b}N$. Таким образом, Л. любого числа при основании $a$ равен Л. того же числа при основании $b$, умноженному на множитель $M={\frac {1}{\log _{b}a}}$, одинаковый для всех чисел и называемый модулем перехода от основания $b$ к основанию $a$.Рис. 3. Например $\ln N=M\log N$, где модуль $M={\frac {1}{\log a}}=2,3025850929...$, обратно $\log N={\frac {1}{M}}\ln N$, где ${\frac {1}{M}}=0,4342944819...$

‎Первые таблицы были вычислены весьма громоздкими методами, опирающимися на определение членов геометрических прогрессий. Имеются прямые вычисления с помощью непрерывных дробей и другие. Но всегда выгоднее употребление бесконечных рядов. В основе различных логарифмич. рядов лежит ряд

$\ln ~(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+...$

(1)

‎Однако для выкладок он фактически не пригоден, т. к. члены его убывают очень медленно; кроме того, он сходится лишь при $-1<x\leqslant 1$. Из ряда (1) выводится ряд

$\ln {\frac {1+x}{1-x}}=2\left(x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+...\right),$

(2)

где $|x|<1$. Если положить здесь $x={\frac {M-N}{M+N}}$ $(M$ и $N$ — любые числа $>0$), то ${\frac {1+x}{1-x}}={\frac {M}{N}}$, и получается ряд

$\ln {\frac {M}{N}}=2\left\{{\frac {M-N}{M+N}}+{\frac {1}{3}}\left({\frac {M-N}{M+N}}\right)^{3}+{\frac {1}{5}}\left({\frac {M-N}{M+N}}\right)^{5}+...\right\}.$

(3)

‎Этот ряд очень быстро сходится, если $M=N+1$ и $N$ достаточно велико. Впрочем, уже при $M=2$, $N=1$ он пригоден для вычислений: $\ln 2=2\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5\cdot 3^{3}}}+{\frac {1}{7\cdot 3^{7}}}+...\right)=0,693147...$

Л. как функция действительного переменного. Если вместо числа, стоящего под знаком Л., мы будем рассматривать переменную величину $x,$ то $\log _{a}x$ определяет логарифмическую функцию $y=\log _{a}x$. Функция эта определяется (если ограничиваются действительными функциями действительного переменного) лишь для действительныхРис. 4. $x$ (о функции $\log _{a}x$ в комплексной области см. ниже). Так как, по определению Л., $x=a^{y}$, т. е. $x$ есть показательная функция от $y$, то логарифмическая функция является обратной к показательной. Логарифмическая функция может быть наглядно представлена ее графиком, обычно называемым логарифмической кривой. Поскольку, как указывалось выше, основание логарифмов $a$ выбирается положительным, а логарифмич. функция определена лишь для положительных значений $x$, постольку логарифмич. кривая расположена целиком в правой полуплоскости (рис. 4). Если $a>1$, логарифмич. функция возрастает при возрастании $x$; для $x<1$ ее значения отрицательны, для $x>1$ — положительны; при стремлении $x$ к бесконечности $\log _{a}x$ также стремится к бесконечности, т. е. $\lim _{x\to +\infty }\log _{a}x=+\infty$. Если основание Л. $a<1$, то логарифмич. функция убывает при возрастании $x$; для $x<1$ ее значения положительны, для $x>1$ — отрицательны. В обоих случаях $\log _{a}x=0$, при $x=1$ и $\log _{a}x=1$ при $x=a$. При $x=0$ функция не определена, но $\lim _{x\to 0}\log _{a}x=\pm \infty$ (знак плюс в случае $a<1$, минус — в случае $a>1$). Смысл этого равенства заключается в том, что при приближении $x$ от $1$ к $0$ функция принимает все большие и большие значения (положительные или отрицательные). Если в выражении $\log _{a}x$ давать величине $a$ различные значения, то получаем семейство всевозможных логарифмич. кривых, пересекающихся в одной точке $x=1$. Логарифмическая функция выражается в виде неопределенного интеграла $\log _{a}x=\log _{a}e\int \limits _{1}^{x}{\frac {dx}{x}},$ что можно принять за другое ее определение. Обратное этому выражение для производной от логарифмич. функции будет ${\frac {d}{dx}}\log _{a}x={\frac {1}{x}}\log _{a}e$. В теории функций, в дифференциальном и интегральном исчислениях особенно существенную роль играют натуральные Л.: все формулы значительно упрощаются, если за основу Л. берется число $e$. Соответствующие формулы для интеграла и производной очень просты:

$\ln x=\int \limits _{1}^{x}{\frac {dx}{x}}$ и ${\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}.$

Л. как функция комплексного переменного. В теории функций комплексного переменного понятие Л. обнимает все действительные и комплексные числа, кроме ноля. Натуральным Л. любого числа $z=x+yi$ называется показатель степени $u+vi,$ в к-рую нужно возвести число $e$, чтобы получить $z$. Представим число $x+yi,$ в тригонометрич. форме $r(\cos \,\varphi +i\sin \,\varphi )$ где $r=+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}},~\cos \,\varphi ={\frac {x}{r}},~\sin \,\varphi ={\frac {y}{r}}.$ Тогда по определению $e^{u+vi}=r(\cos \,\varphi +i\sin \,\varphi ).$ С другой стороны, по формуле Эйлера, $e^{u+vi}=e^{u}(\cos \,v+i\sin \,v)$ и, следовательно, $e^{u}=r$ и $u=\ln r,$ a $v=\varphi +2k\pi$ ($\ln r$ обозначает здесь обыкновенный натуральный Л. положительного числа $r$, $k$ — пробегает все целые числа). Таким образом, обобщенный Л. числа $z$ дается формулой $\mathrm {Ln} ~z=\ln r+i(\varphi 2k\pi )$ и имеет бесчисленное множество значений, составляющих арифметич. прогрессию с разностью $2\pi i$, расходящуюся в обе стороны от числа $\ln r+i\varphi$. Для положительных чисел $N,~\varphi =0,~\mathrm {Ln} ~N=\ln N+r2k\pi$ и среди значений $\mathrm {Ln} ~N$ имеется одно действительное $\mathrm {Ln} ~\mathrm {N} .$ Л. отрицательных и комплексных чисел действительных значений не имеют. Например, $1=\cos \,2k\pi +i\sin \,2k\pi$ и $\mathrm {Ln} ~1=2k\pi$ (при $k=0$ получится $\mathrm {Ln} ~1=0$; $\mathrm {Ln} ~(-1)=(2k+1)\pi i.$ В комплексной области сохраняет смысл формула

$\mathrm {Ln} ~z=\int \limits _{1}^{z}{\frac {dz}{z}}$

Так как подинтегральная функция ${\frac {1}{z}}$ имеет точку $z=0$ особой точкой, значение интеграла зависит от пути интегрирования, а именно от того, сколько раз путь интегрирования обегает точку $0$.

История Л. Изобретение Л. было определено быстрым ростом в 16 в. мореплавания. Нужды навигации потребовали резкого уточнения астрономических наблюдений, в свою очередь приведшего к чрезвычайному усложнению астрономических выкладок. Для облегчения громоздких действий над большими числами был изобретен целый ряд приемов, сводивших, напр., умножение к сложению, и составлено множество таблиц. Однако все эти приемы были мало удовлетворительны; окончательный переворот в вычислительном деле произвели лишь Л. Творцы первых таблиц Л. исходили из зависимости между свойствами геометрич. прогрессии и арифметич. прогрессии, составленной из показателей степени членов первой. Сопоставление прогрессий

${\begin{matrix}...&a^{-2}&a^{-1}&1=a^{0}&a^{1}&a^{2}&a^{3}&...\\...&-2&-1&0&1&2&3&...\end{matrix}}$

показывает, что умножению, делению, возведению в степень и извлечению корней из членов первой соответствуют сложение, вычитание, умножение и деление членов второй, т. е., что члены второй суть Л. членов первой. Эти зависимости отчасти были подмечены еще Архимедом и были хорошо известны математикам нового времени, напр. Ш. Шюке (1484), М. Штифелю, сформулировавшему их в 1544, и другим, не замечавшим лишь возможности их использования для вычислений. Для этого использования необходимо было, однако, чтобы члены геометрич. прогрессии следовали по величине достаточно близко друг за другом. Оба изобретателя таблиц Л., работавшие независимо один от другого и почти одновременно, шотландский любитель математики Джон Непер (J. Neper, 1550—1617) и немецкий механик Иобст Бюрги (J. Burgi, 1552—1632) сознательно стремились к заполнению этого пробела. Однако пути обоих ученых оказались различными, и идеи Непера были значительно глубже, чем узкопрактич. устремления Бюрги.Рис. 5. Непер близко подошел к пониманию Л. как непрерывной величины. Он представил отношение Л. и чисел с помощью двух движущихся прямолинейно и параллельно точек. Одна из них, $y,$ движется равномерно, исходя из $C,$ другая, $x,$ начиная движение из $A,$ перемещается пропорционально замедленно, со скоростью, пропорциональной ее расстоянию до $B$ (рис. 5). Отрезок $AB$ берется равным $10^{7}.$ Неперов логарифм числа $XB$ равен $CY.$ В нашем обозначении

${\frac {dy}{dt}}~=~v~=~\mathrm {Const} ,~{\frac {dx}{dt}}~=~-{\frac {vx}{10^{7}}}$ ($t$ — время) и ${\frac {dx}{dy}}~=~-{\frac {x}{10^{7}}}.$

Так как $y=0$ при $x=10^{7}$, то Неперов Л. числа $x$ равен $10^{7}~\ln {\frac {10^{7}}{x}}.$ Когда числа $x$ образуют геометрич. прогрессию, то Неперовы Л. их составляют убывающую арифметическую, в частности Л. $10^{7}$ равен нолю, а Л. положительных чисел, меньших $10^{7}$, положительны. Особенности Неперовых Л. объясняются тем, что он составлял таблицы Л. тригонометрич. величин. Так как синус 90° принимался за $10^{7}$ и на него часто приходилось умножать и делить, то его Л. выгодно было иметь равным нолю. Нередко встречающееся утверждение, что Неперовы Л. совпадают с натуральными, совершенно неверно. Непер вообще не имел понятия об основании системы Л., Неперовым же Л. соответствуют Л., вычисленные при основании, очень близком к ${\frac {1}{e}}.$ — Ближе к натуральным — логарифмы Бюрги, им соответствует основание, равное $\left(1+{\frac {1}{10^{4}}}\right)^{4}=2,71824,$ что отличается от $e$ лишь в пятом десятичном знаке. Таблицы Бюрги («Arithmetische und geometrische Progress-Tabulen», 1620) были собственно таблицами антилогарифмов, т. е. давали значения чисел, соответствующие равноотстоящим Л. — Сочинения Непера «Mirifici logarithmorum canonis descriptio», 1614, и «Mirifici logarithmorum canonis construction 1619, содержащие таблицы и описание способов их построения, встречены были с огромным интересом. Сразу же стали появляться новые таблицы и работы в этой области. Еще по совету Непера, Г. Бриггс (Н. Briggs, 1556—1630) вычислил таблицы десятичных Л. для чисел от 1 до 20.000 и от 90.000 до 101.000 с 14 десятичными знаками (1617 и 1624). А. Влакк (A. Vlack) заполнил сохранявшийся пробел в своей десятизначной таблице Л. чисел от 1 до 100.000 (1628); он же издал посмертные тригонометрич. таблицы Бриггса (1633), интересные в том отношении, что в них проведено десятичное деление градусов. С тех пор таблицы Л. вычислялись с различным числом знаков неоднократно. При этом долго менялась их структура (напр. Р. Р. появляются лишь в 1705, расположение тригонометрич. таблиц установилось в конце 18 в.) и исправлялись отдельные ошибки (у Влакка их еще было 173, у знаменитого О. Vega в 1783  — пять, у Sang в 1871  — две), первые безошибочные таблицы выпустил Бремикер (Bremicker) в 1857. — Первый шаг в теоретич. изучении Л. сделали Григорий из Сен-Винцента (1647) и де Сараза (de Sarasa, 1649), обнаружившие связь натуральных Л. и гиперболич. площадей. Еще важнее было связанное с этим результатом открытие бесконечного ряда (1), выпавшее на долю Н. Меркатора (N. Mercator, 1667). Ряд (2) дал в несколько ином виде Дж. Грегори (J. Gregory, 1668), ряд (3) астроном Э. Галлей (Е. Halley, 1695). — Ученым 17 в. было чуждо понимание Л. как показателя степени определенного основания. Непер, напр., определял Л., как «равностоящие числа, сопряженные с пропорциональными величинами», т. е. членами геометрич. прогрессии. Рассмотрение Л. как самостоятельных величин, получающихся в итоге действия — логарифмирования, выпало лишь на долю 18 в. Первое современное определение Л. встречается у Гардинера (W. Gardiner, 1742). Очень многим обязано учение о Л. знаменитому Эйлеру. Он ввел понятие о логарифмировании как второго рода действии, обратном возведению в степень, он же положил твердое начало изучению Л. в комплексной области, открыл многозначность и периодичность обобщенных Л. (1748) и разрешил ряд парадоксов, указанных еще Иоганом Бернулли и Лейбницем. Так называемые Гауссовы Л. были открыты в 1803 Леонелли (Z. Leonelli). — Слово «Л.» предложил сам Непер, произведший его от греч. logos (отношение) и arithmos (число). Термин «натуральный логарифм» принадлежит Меркатору, «основание» — Эйлеру. Понятие модуля имеется у Меркатора, слова «характеристика» и «мантисса» ввели соответственно Бриггс и Эйлер. Символ Л. — результат сокращения этого слова — встречается почти одновременно с появлением первых таблиц у разных авторов.

Лит.: Успенский Я. В., Очерк истории логарифмов, П., 1923; Цейтен Г. Г., История математики в 16 и 17 веках, М. — Л., 1933; Клейн Ф., Элементарная математика с точки зрения высшей, т. I, 3 изд., М. — Л., 1935; Пржевальский Е., Пятизначные таблицы логарифмов, 19 изд., М., 1936; Tropfke J. Geschichte der Elementar-Mathematik, t. II, 2 Aufl., Berlin — Leipzig, 1921.

А. Юшкевич.