ЛОГАРИФМЫ. Элементарная теория. Л. данного числа при основании называется показатель степени , в к-рую нужно возвести число , чтобы получить . Этот Л. обозначается символом (иногда , реже , или ). Согласно определению , если . Например: т. к. 100=10^{2}, то ; или т. к. , то . Основание Л. берется положительным, и т. к. при всяком действительном всегда , то лишь положительные числа имеют действительный Л. Выбор отрицательного основания привел бы к тому, что бесчисленное множество положительных и отрицательных чисел не имело бы действительных Л. Совокупность всех Л., соответствующих основанию , называется системой Л. при основании . Из определения Л. следует, что , с помощью чего легко выводятся главные свойства логарифмов:
1) Л. произведения равен сумме Л. сомножителей: .
2) Л. частного равен разности Л. делимого и делителя: .
3) Л. степени равен произведению показателя степени на Л. возводимого в степень числа: , Л. Отсюда вытекает также, что Л. чисел, образующих геометрич. прогрессию, сами составляют арифметическую прогрессию.
4) Л. корня равен Л. подкоренного выражения, деленному на показатель корня:
![{\displaystyle \log _{a}{\sqrt[{n}]{N}}={\frac {1}{n}}\log _{a}N.}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42d536c43b2dd934385e1358b27a301955aed96b)
Число, Л. которого есть , называют антилогарифмом .
Огромное практическое значение Л. основывается на перечисленных свойствах, позволяющих с помощью специальных таблиц Л. заменять умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня соответственно более простыми сложением, вычитанием, умножением и делением.
Рис. 1. Многие вычисления без Л. были бы почти неосуществимыми. По выражению Лапласа, «логарифмы, сократив труды астронома, удвоили его жизнь». — Благодаря десятичному характеру нашего счета особенно употребительной является система Л. с основанием . Десятичные Л. обозначают обычно . На рис. 1 показана зависимость между числами и их десятичными Л.; видно, что при , и при . Ноль не имеет Л. Десятичные Л. чисел, представляющих собой целые степени числа , — сами целые (; Л. остальных целых чисел суть трансцендентные числа (см. Число) и выражаются бесконечными непериодич. десятичными дробями. В таблицах приводятся поэтому лишь приближенные значения Л. Целую часть Л. называют характеристикой, а дробную — мантиссой. Например у характеристика есть , а мантисса — . Л. чисел, меньших единицы, приводят к специальной форме, в к-рой их мантисса оказывается положительной. Например ; это означает, что . Характеристика Л. числа, большего , равна числу цифр, содержащихся в его целой части, минус единица; например . Характеристика Л. десятичной дроби, меньшей , равна числу нолей, содержащихся в десятичной дроби до первой отличной от ноля цифры, взятому со знаком минус. Мантисса Л. всегда положительна. Для построения таблиц Л. весьма важно также, что числа, отличающиеся в раз, имеют одинаковые мантиссы. Поэтому в таблицах можно приводить лишь мантиссы целых чисел. Например, зная, что , легко получаем , , и т. д.
В большинстве случаев практически достаточны таблицы, дающие пять знаков мантиссы; для выкладок, требующих особенной точности, 
Рис. 2.пользуются семизначными Л. В СССР широко распространены пятизначные таблицы логарифмов Пржевальского. В приведенном образце (рис. 2) содержатся Л. чисел от до , напр. . Для вычисления Л. чисел, состоящих более чем из четырех цифр, служат таблички пропорциональных частей — Р. Р. Таблицы Л. содержат обычно указания, как ими пользоваться. Л. можно пользоваться и при действиях над отрицательными числами, оперируя над их абсолютными величинами и придавая затем результату подходящий знак. Кроме Л. чисел, таблицы содержат обычно Л. тригонометрии, величин и т. н. Гауссовы логарифмы. Гауссовы Л. служат для определения Л. суммы или разности двух чисел по данным их Л. без промежуточного отыскания самих чисел. Нахождение основывается на формуле
![{\displaystyle \log(a+b)=\log a+\log \left[1+{\frac {1}{\left({\frac {a}{b}}\right)}}\right].}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01ff09c3cf865bc35a85b48ecd73f7e45f25f646)
Наряду с десятичными Л. большое значение имеют натуральные Л., основанием к-рых служит трансцендентное число ; их обозначают . Натуральные Л. служат и в практич. вычислениях, но особенно существенны они в теории функций (см. ниже). Натуральные логарифмы называют также гиперболическими, ибо площадь , ограниченная дугой равносторонней гиперболы Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y=\frac{1}{x}} (рис. 3), отнесенной к асимптотам, осью абсцисс и ординатами, соответствующими абсциссам и Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} , равна Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ln x} .
Зная Л. какой-либо одной системы, можно получить легко Л. любой другой. Прологарифмировав в системе с основанием Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b}
тождество
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle N=a^{\log _{a} N}}
получим, Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \log _{b} N = \log _{a} N \cdot \log _{b} a}
и значит Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \log _{a} N =\frac{1}{\log _{b} a} \log _{b} N}
. Таким образом, Л. любого числа при основании Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a}
равен Л. того же числа при основании Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b}
, умноженному на множитель Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle M=\frac{1}{\log _{b} a}}
, одинаковый для всех чисел и называемый модулем перехода от основания к основанию Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a}
.
Рис. 3. Например Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ln N= M \log N}
, где модуль Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle M=\frac{1}{\log a} = 2,3025850929...}
, обратно Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \log N = \frac{1}{M} \ln N}
, где
|
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ln~(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+...} |
(1) |
|
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ln \frac{1+x}{1-x}=2\left ( x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+... \right ),} |
(2) |
|
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ln \frac{M}{N}=2\left \{ \frac{M-N}{M+N}+\frac{1}{3}\left ( \frac{M-N}{M+N} \right )^{3} +\frac{1}{5} \left ( \frac{M-N}{M+N} \right )^{5} +... \right \}.} |
(3) |
Л. как функция действительного переменного. Если вместо числа, стоящего под знаком Л., мы будем рассматривать переменную величину то Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \log _{a} x}
определяет логарифмическую функцию Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y=\log _{a} x}
. Функция эта определяется (если ограничиваются действительными функциями действительного переменного) лишь для действительных
Рис. 4. Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x}
(о функции в комплексной области см. ниже). Так как, по определению Л., Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=a^{y}}
, т. е. Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x}
есть показательная функция от Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y}
, то логарифмическая функция является обратной к показательной. Логарифмическая функция может быть наглядно представлена ее графиком, обычно называемым логарифмической кривой. Поскольку, как указывалось выше, основание логарифмов выбирается положительным, а логарифмич. функция определена лишь для положительных значений Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x}
, постольку логарифмич. кривая расположена целиком в правой полуплоскости (рис. 4). Если Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a > 1}
, логарифмич. функция возрастает при возрастании Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x}
; для ее значения отрицательны, для Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x > 1}
— положительны; при стремлении Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x}
к бесконечности Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \log _{a} x}
также стремится к бесконечности, т. е. . Если основание Л. Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a<1}
, то логарифмич. функция убывает при возрастании Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x}
; для Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x< 1}
ее значения положительны, для — отрицательны. В обоих случаях Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \log _{a} x=0}
, при Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=1}
и Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \log _{a} x=1}
при . При Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=0}
функция не определена, но Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{x \to 0} \log _{a} x=\pm \infty}
(знак плюс в случае Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a<1}
, минус — в случае ). Смысл этого равенства заключается в том, что при приближении Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x}
от Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1}
к Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0}
функция принимает все большие и большие значения (положительные или отрицательные). Если в выражении давать величине Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a}
различные значения, то получаем семейство всевозможных логарифмич. кривых, пересекающихся в одной точке Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x = 1}
. Логарифмическая функция выражается в виде неопределенного интеграла Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \log _{a} x= \log _{a} e \int\limits_1^x \frac{dx}{x},}
что можно принять за другое ее определение. Обратное этому выражение для производной от логарифмич. функции будет . В теории функций, в дифференциальном и интегральном исчислениях особенно существенную роль играют натуральные Л.: все формулы значительно упрощаются, если за основу Л. берется число Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e}
. Соответствующие формулы для интеграла и производной очень просты:
Л. как функция комплексного переменного. В теории функций комплексного переменного понятие Л. обнимает все действительные и комплексные числа, кроме ноля. Натуральным Л. любого числа называется показатель степени в к-рую нужно возвести число , чтобы получить . Представим число в тригонометрич. форме где Тогда по определению С другой стороны, по формуле Эйлера, и, следовательно, и a ( обозначает здесь обыкновенный натуральный Л. положительного числа , Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k} — пробегает все целые числа). Таким образом, обобщенный Л. числа Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z} дается формулой и имеет бесчисленное множество значений, составляющих арифметич. прогрессию с разностью Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2\pi i} , расходящуюся в обе стороны от числа Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ln r + i \varphi} . Для положительных чисел Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle N,~ \varphi= 0,~ \mathrm{Ln}~N = \ln N + r 2k \pi} и среди значений имеется одно действительное Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{Ln}~\mathrm{N}.} Л. отрицательных и комплексных чисел действительных значений не имеют. Например, Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1 = \cos\, 2k \pi + i \sin\, 2k \pi} и Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{Ln}~1 = 2k \pi} (при получится Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{Ln}~1 = 0} ; Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{Ln}~(-1)= (2k + 1 )\pi i.} В комплексной области сохраняет смысл формула
Так как подинтегральная функция имеет точку Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z=0} особой точкой, значение интеграла зависит от пути интегрирования, а именно от того, сколько раз путь интегрирования обегает точку Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0} .
История Л. Изобретение Л. было определено быстрым ростом в 16 в. мореплавания. Нужды навигации потребовали резкого уточнения астрономических наблюдений, в свою очередь приведшего к чрезвычайному усложнению астрономических выкладок. Для облегчения громоздких действий над большими числами был изобретен целый ряд приемов, сводивших, напр., умножение к сложению, и составлено множество таблиц. Однако все эти приемы были мало удовлетворительны; окончательный переворот в вычислительном деле произвели лишь Л. Творцы первых таблиц Л. исходили из зависимости между свойствами геометрич. прогрессии и арифметич. прогрессии, составленной из показателей степени членов первой. Сопоставление прогрессий
показывает, что умножению, делению, возведению в степень и извлечению корней из членов первой соответствуют сложение, вычитание, умножение и деление членов второй, т. е., что члены второй суть Л. членов первой. Эти зависимости отчасти были подмечены еще Архимедом и были хорошо известны математикам нового времени, напр. Ш. Шюке (1484), М. Штифелю, сформулировавшему их в 1544, и другим, не замечавшим лишь возможности их использования для вычислений. Для этого использования необходимо было, однако, чтобы члены геометрич. прогрессии следовали по величине достаточно близко друг за другом. Оба изобретателя таблиц Л., работавшие независимо один от другого и почти одновременно, шотландский любитель математики Джон Непер (J. Neper, 1550—1617) и немецкий механик Иобст Бюрги (J. Burgi, 1552—1632) сознательно стремились к заполнению этого пробела. Однако пути обоих ученых оказались различными, и идеи Непера были значительно глубже, чем узкопрактич. устремления Бюрги.
Рис. 5. Непер близко подошел к пониманию Л. как непрерывной величины. Он представил отношение Л. и чисел с помощью двух движущихся прямолинейно и параллельно точек. Одна из них, движется равномерно, исходя из Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C,}
другая, Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x,}
начиная движение из Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A,}
перемещается пропорционально замедленно, со скоростью, пропорциональной ее расстоянию до (рис. 5). Отрезок Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle AB}
берется равным Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 10^{7}.}
Неперов логарифм числа Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle XB}
равен В нашем обозначении
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{dy}{dt}~=~v~=~\mathrm{Const},~\frac{dx}{dt}~=~-\frac{vx}{10^{7}}} (Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t} — время) и Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{dx}{dy}~=~-\frac{x}{10^{7}}.}
Так как при Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=10^{7}} , то Неперов Л. числа Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} равен Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 10^{7}~\ln \frac{10^{7}}{x}.} Когда числа образуют геометрич. прогрессию, то Неперовы Л. их составляют убывающую арифметическую, в частности Л. Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 10^{7}} равен нолю, а Л. положительных чисел, меньших Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 10^{7}} , положительны. Особенности Неперовых Л. объясняются тем, что он составлял таблицы Л. тригонометрич. величин. Так как синус 90° принимался за Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 10^{7}} и на него часто приходилось умножать и делить, то его Л. выгодно было иметь равным нолю. Нередко встречающееся утверждение, что Неперовы Л. совпадают с натуральными, совершенно неверно. Непер вообще не имел понятия об основании системы Л., Неперовым же Л. соответствуют Л., вычисленные при основании, очень близком к — Ближе к натуральным — логарифмы Бюрги, им соответствует основание, равное Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left ( 1+ \frac{1}{10^{4}} \right )^{4}= 2,71824,} что отличается от Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e} лишь в пятом десятичном знаке. Таблицы Бюрги («Arithmetische und geometrische Progress-Tabulen», 1620) были собственно таблицами антилогарифмов, т. е. давали значения чисел, соответствующие равноотстоящим Л. — Сочинения Непера «Mirifici logarithmorum canonis descriptio», 1614, и «Mirifici logarithmorum canonis construction 1619, содержащие таблицы и описание способов их построения, встречены были с огромным интересом. Сразу же стали появляться новые таблицы и работы в этой области. Еще по совету Непера, Г. Бриггс (Н. Briggs, 1556—1630) вычислил таблицы десятичных Л. для чисел от 1 до 20.000 и от 90.000 до 101.000 с 14 десятичными знаками (1617 и 1624). А. Влакк (A. Vlack) заполнил сохранявшийся пробел в своей десятизначной таблице Л. чисел от 1 до 100.000 (1628); он же издал посмертные тригонометрич. таблицы Бриггса (1633), интересные в том отношении, что в них проведено десятичное деление градусов. С тех пор таблицы Л. вычислялись с различным числом знаков неоднократно. При этом долго менялась их структура (напр. Р. Р. появляются лишь в 1705, расположение тригонометрич. таблиц установилось в конце 18 в.) и исправлялись отдельные ошибки (у Влакка их еще было 173, у знаменитого О. Vega в 1783 — пять, у Sang в 1871 — две), первые безошибочные таблицы выпустил Бремикер (Bremicker) в 1857. — Первый шаг в теоретич. изучении Л. сделали Григорий из Сен-Винцента (1647) и де Сараза (de Sarasa, 1649), обнаружившие связь натуральных Л. и гиперболич. площадей. Еще важнее было связанное с этим результатом открытие бесконечного ряда (1), выпавшее на долю Н. Меркатора (N. Mercator, 1667). Ряд (2) дал в несколько ином виде Дж. Грегори (J. Gregory, 1668), ряд (3) астроном Э. Галлей (Е. Halley, 1695). — Ученым 17 в. было чуждо понимание Л. как показателя степени определенного основания. Непер, напр., определял Л., как «равностоящие числа, сопряженные с пропорциональными величинами», т. е. членами геометрич. прогрессии. Рассмотрение Л. как самостоятельных величин, получающихся в итоге действия — логарифмирования, выпало лишь на долю 18 в. Первое современное определение Л. встречается у Гардинера (W. Gardiner, 1742). Очень многим обязано учение о Л. знаменитому Эйлеру. Он ввел понятие о логарифмировании как второго рода действии, обратном возведению в степень, он же положил твердое начало изучению Л. в комплексной области, открыл многозначность и периодичность обобщенных Л. (1748) и разрешил ряд парадоксов, указанных еще Иоганом Бернулли и Лейбницем. Так называемые Гауссовы Л. были открыты в 1803 Леонелли (Z. Leonelli). — Слово «Л.» предложил сам Непер, произведший его от греч. logos (отношение) и arithmos (число). Термин «натуральный логарифм» принадлежит Меркатору, «основание» — Эйлеру. Понятие модуля имеется у Меркатора, слова «характеристика» и «мантисса» ввели соответственно Бриггс и Эйлер. Символ Л. — результат сокращения этого слова — встречается почти одновременно с появлением первых таблиц у разных авторов.
Лит.: Успенский Я. В., Очерк истории логарифмов, П., 1923; Цейтен Г. Г., История математики в 16 и 17 веках, М. — Л., 1933; Клейн Ф., Элементарная математика с точки зрения высшей, т. I, 3 изд., М. — Л., 1935; Пржевальский Е., Пятизначные таблицы логарифмов, 19 изд., М., 1936; Tropfke J. Geschichte der Elementar-Mathematik, t. II, 2 Aufl., Berlin — Leipzig, 1921.
