БСЭ1/Лексиса критерий

← Лексис, Вильгельм

Лексиса критерий Большая советская энциклопедия (1-е издание)

Лекуантр, Лоран →

Словник: Ларте — Лилло. Источник: т. XXXVI (1938): Ларте — Лилло, стлб. 288—289

ЛЕКСИСА КРИТЕРИЙ. Очень многие выводы в теории вероятностей и математической статистике делаются в предположении, что изучаемый ряд большого числа однотипных случайных явлений, или, как обычно говорят в теории вероятностей, испытаний, подчинен двум условиям: независимости испытаний между собой и постоянства вероятностей различных исходов каждого испытания. Идеальным образцом ряда независимых испытаний с постоянными вероятностями может служить ряд бросаний правильной кубической кости: при каждом бросании вероятность выпадения того или иного числа очков (1, 2, 3, 4, 5 или 6) равна ¹/₆, причем эта вероятность не меняется в зависимости от уже известного исхода предшествующих испытаний. Л. к. является простейшим критерием, позволяющим проверить, применима ли (хотя бы с тем или иным приближением) к данному реальному ряду явлений схема последовательности независимых испытаний с постоянными вероятностями.

Пусть произведено $N$ испытаний, в каждом из к-рых отмечалось появление или непоявление нек-рого определенного события (напр. в ряде рождений — рождение мальчика). Требуется проверить, допустима ли гипотеза, что отмечаемое событие в каждом испытании имело постоянную (неизвестную нам) вероятность $p$, независимую от исхода предшествующих испытаний. Допустим, что $N=sn$, и разделим произведенные испытания на $s$ групп по $n$ испытаний. Пусть число появлений нашего события в различных группах равно $m_1,m_2,m_3,\mathrm{...},m_s$. Образуем выражение ${\sigma }^2=\frac{1}{s}\sum _{i=1}^s{(\frac{m_i}{n}-p)}^2.$

Можно доказать, что при достаточно большом $N$ это выражение с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, сколь угодно мало отличается от $\sigma {\text{'}}^2=\frac{p(1-p)}{n}.$ Если бы вероятность $p$ была нам известна, то мы могли бы проверить, действительно ли ${\sigma }^2$ близко к $\sigma {\text{'}}^2$. Так как $p$ a priori не известно, но при большом $N$ должно быть близко $\frac{M}{N}$, где $M=m_1,m_2,m_3,\mathrm{...},m_s$ есть общее число появлений интересующего нас события, то сравнивают выражения

${\sigma }_e^2=\frac{1}{s-1}\sum _{i=1}^s{(\frac{m_i}{n}-\frac{M}{N})}^2$ и ${{\sigma }^{\prime }}_e^2=\frac{S}{N-1}\frac{M}{N}(1-\frac{M}{N}).$

Обозначим их отношение $\frac{{\sigma }_e^2}{{{\sigma }^{\prime }}_e^2}=L$. Л. к. и заключается в том, что, в случае правильности допущений о независимости и постоянстве вероятности (будем далее называть этот случай схемой Бернулли), число $L$ должно быть близко к единице. В 1918 А. А. Чупров доказал, что в схеме Бернулли математическое ожидание (см.) $L$ точно равно единице, а дисперсия, т. е. математическое ожидание ${\mu }^2=E(1-L{)}^2$ квадрата уклонения $L$ от единицы, — при больших $n$, приближенно равно $\frac{2}{m}$.

Это дает возможность более точного количественного применения Л. к. Если $L$ значительно больше единицы, то говорят о сверхнормальной дисперсии, если же $L$ много меньше единицы — о поднормальной. Поднормальная дисперсия всегда указывает на нарушения независимости испытаний. Сверхнормальная дисперсия может объясняться как нарушением независимости, так и переменностью вероятности отмечаемого события от испытания к испытанию с сохранением независимости испытаний. Если значительное уклонение $L$ от единицы (например $|1-L|>\frac{3}{\sqrt{m}}$ при не слишком маленьком $n$) с полной определенностью говорит против применимости схемы Бернулли, то из близости $L$ к единице, вообще говоря, еще нельзя сделать никакого надежного заключения: $L$ может оказаться близким к единице и для схем, очень существенно отличающихся от схемы Бернулли.

Лит.: Mises R., Wahrscheinlichkeitsrechnung und ihre Anwendung in der Statistik und theoretischen Physik, Leipzig, 1931.

А. Колмогоров.