БСЭ1/Лексиса критерий

← Лексис, Вильгельм

Лексиса критерий Большая советская энциклопедия (1-е издание)

Лекуантр, Лоран →

Словник: Ларте — Лилло. Источник: т. XXXVI (1938): Ларте — Лилло, стлб. 288—289

ЛЕКСИСА КРИТЕРИЙ. Очень многие выводы в теории вероятностей и математической статистике делаются в предположении, что изучаемый ряд большого числа однотипных случайных явлений, или, как обычно говорят в теории вероятностей, испытаний, подчинен двум условиям: независимости испытаний между собой и постоянства вероятностей различных исходов каждого испытания. Идеальным образцом ряда независимых испытаний с постоянными вероятностями может служить ряд бросаний правильной кубической кости: при каждом бросании вероятность выпадения того или иного числа очков (1, 2, 3, 4, 5 или 6) равна ¹/₆, причем эта вероятность не меняется в зависимости от уже известного исхода предшествующих испытаний. Л. к. является простейшим критерием, позволяющим проверить, применима ли (хотя бы с тем или иным приближением) к данному реальному ряду явлений схема последовательности независимых испытаний с постоянными вероятностями.

Пусть произведено $N$ испытаний, в каждом из к-рых отмечалось появление или непоявление нек-рого определенного события (напр. в ряде рождений — рождение мальчика). Требуется проверить, допустима ли гипотеза, что отмечаемое событие в каждом испытании имело постоянную (неизвестную нам) вероятность $p$, независимую от исхода предшествующих испытаний. Допустим, что $N=sn$, и разделим произведенные испытания на $s$ групп по $n$ испытаний. Пусть число появлений нашего события в различных группах равно $m_{1},m_{2},m_{3},...,m_{s}$. Образуем выражение $\sigma ^{2}={\frac {1}{s}}\sum _{i=1}^{s}{\left({\frac {m_{i}}{n}}-p\right)^{2}}.$

Можно доказать, что при достаточно большом $N$ это выражение с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, сколь угодно мало отличается от $\sigma '^{2}={\frac {p(1-p)}{n}}.$ Если бы вероятность $p$ была нам известна, то мы могли бы проверить, действительно ли $\sigma ^{2}$ близко к $\sigma '^{2}$. Так как $p$ a priori не известно, но при большом $N$ должно быть близко ${\frac {M}{N}}$, где $M=m_{1},m_{2},m_{3},...,m_{s}$ есть общее число появлений интересующего нас события, то сравнивают выражения

$\sigma _{e}^{2}={\frac {1}{s-1}}\sum _{i=1}^{s}{\left({\frac {m_{i}}{n}}-{\frac {M}{N}}\right)^{2}}$ и ${\sigma '}_{e}^{2}={\frac {S}{N-1}}{\frac {M}{N}}\left(1-{\frac {M}{N}}\right).$

Обозначим их отношение ${\frac {\sigma _{e}^{2}}{{\sigma '}_{e}^{2}}}=L$. Л. к. и заключается в том, что, в случае правильности допущений о независимости и постоянстве вероятности (будем далее называть этот случай схемой Бернулли), число $L$ должно быть близко к единице. В 1918 А. А. Чупров доказал, что в схеме Бернулли математическое ожидание (см.) $L$ точно равно единице, а дисперсия, т. е. математическое ожидание $\mu ^{2}=E(1-L)^{2}$ квадрата уклонения $L$ от единицы, — при больших $n$, приближенно равно ${\frac {2}{m}}$.

Это дает возможность более точного количественного применения Л. к. Если $L$ значительно больше единицы, то говорят о сверхнормальной дисперсии, если же $L$ много меньше единицы — о поднормальной. Поднормальная дисперсия всегда указывает на нарушения независимости испытаний. Сверхнормальная дисперсия может объясняться как нарушением независимости, так и переменностью вероятности отмечаемого события от испытания к испытанию с сохранением независимости испытаний. Если значительное уклонение $L$ от единицы (например $|1-L|>{\frac {3}{\sqrt {m}}}$ при не слишком маленьком $n$) с полной определенностью говорит против применимости схемы Бернулли, то из близости $L$ к единице, вообще говоря, еще нельзя сделать никакого надежного заключения: $L$ может оказаться близким к единице и для схем, очень существенно отличающихся от схемы Бернулли.

Лит.: Mises R., Wahrscheinlichkeitsrechnung und ihre Anwendung in der Statistik und theoretischen Physik, Leipzig, 1931.

А. Колмогоров.