БСЭ1/Гармонический анализ

← Гармоническая пропорция

Гармонический анализ Большая советская энциклопедия (1-е издание)

Гармонический анализатор →

Словник: Высшее — Гейлинкс. Источник: т. XIV (1929): Высшее — Гейлинкс, стлб. 601—603

ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ, отдел высшей математики, посвященный вопросу о разложении функций в тригонометрические ряды. Если $f(x)$ есть четная функция от $x$, т. е. функция, не меняющая своего значения при замене $x$ на $-x$, то ее можно разложить в ряд:

$f(x)=a_{0}+a_{1}\cos {x}+a_{2}\cos {2x}+\ldots$

Нечетная функция, т. е. функция, меняющая только знак при замене $x$ на $-x$, разлагается в ряд:

$f(x)=b_{1}\sin {x}+b_{2}\sin {2x}+b_{3}\sin {3x}+\ldots$

Это—частные случаи общей теоремы, установленной в 1807 Фурье и гласящей, что всякая функция $f(x)$, определенная в интервале $0\leqslant x\leqslant 2\pi$, может быть представлена в виде ряда:

$f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{(a_{n}\cos {nx}+b_{n}\sin {nx})}$ (1)

Коэффициенты $a_{n}$ и $b_{n}$ выражаются определенными интегралами:

$a_{0}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }f(x)dx$; $a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }f(x)\cos {nx}dx$;
$b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }f(x)\sin {nx}dx$.

Исследование вопросов, связанных с таким разложением функций в ряд, и составляет содержание Г. а.—Значения функции $f(x)$ были определены только в интервале $0\leqslant x\leqslant 2\pi$. Но т. к. все члены правой части формулы (1) имеют период $2\pi$, то эта формула определяет функцию периодическую, принимающую в дальнейших интервалах $(2\pi ,4\pi ),(4\pi ,6\pi ),\ldots ,(-2\pi ,0),\ldots$ те же значения, что в интервале $(0,2\pi )$. На этом основано большое значение Г. а. в физике и др. естествен. науках при решении задач, связанных с периодическими функциями, заданными только графически и не имеющими аналитического выражения или имеющими очень сложное аналитическое выражение. Встречаясь при изучении той или иной проблемы с какой-нибудь часто очень сложной функцией, изображающей ход процесса, мы можем ограничиться несколькими членами этого ряда и с достаточной степенью точности заменить изучение данной функции изучением более простых функций, входящих в разложение (1). Название Г. а. связано с тем, что движение, определяемое формулами вида $x=A\sin(nt+\varphi )$, называется обычно гармоническим (см. Гармоническое движение). Т. о., сущность метода Г. а. заключается в том, что данное сложное периодическое движение мы рассматриваем как результат сложения нескольких более простых гармонических движений. Вообще говоря, разложение (1) является формальной математической операцией, и нельзя утверждать, что каждый член его имеет реальный физический смысл, т. е. что каждое из гармонических движений, на к-рые мы разлагаем данный процесс, может быть связано с определенным физич. явлением. Однако, в целом ряде случаев это разложение имеет реальное значение, и путем Г. а. удается выделить отдельные физические явления, сложение которых дает запутанную картину сложной периодической функции. Такой случай имел место в классической задаче о колебании струны, которая привела к установлению теоремы Фурье, и в ряде др. физических и естественно-научных проблем.

Если струна длины $l$ расположена по оси $x$, при чем концы ее соответствуют значениям $x=0$ и $x=l$, а отклонение (малое) ее точек от положения равновесия обозначим через $u$. то $u$ есть функция от $x$, удовлетворяющая дифференциальному уравнению в частных производных

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=a^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$  (2)

где $a$ нек-рая постоянная, зависящая от натяжения и плотности струны. Для полного решения вопроса о колебании струны нужно задать т. н. начальные условия, т. е. функции $f(x)$ и $F(x)$, определяющие положения и скорости точек струны в момент $t=0$: $(u)_{0}=f(x)$; $({\frac {du}{dt}})_{0}=F(x)$. Физически очевидно, что функции $f(x)$ и $F(x)$ совершенно произвольны. Кроме того, конечно, должны соблюдаться условия $u(0)=0$; $u(l)=0$. Общее решение уравнения (2) дал в 1747 Даламбер, к-рый показал, что это решение имеет вид $u=\varphi (x+at)+\psi (x-at)$, где $\varphi$ и $\psi$—две произвольные функции; сопоставляя это решение с начальными условиями, легко показать, что эти функции связаны с функциями $f(x)$ и $F(x)$ условиями:

$\varphi (x)={\frac {1}{2}}f(x)+{\frac {1}{2a}}\int F(x)dx$; $\psi (x)={\frac {1}{2}}f(x)-{\frac {1}{2a}}\int F(x)dx$ (3)

С другой стороны, еще до Даламбера, Тейлор показал, что частные решения уравнения (2) имеют вид:

$\cos {\frac {n\pi a}{l}}t\cdot \sin {\frac {n\pi }{l}}x$ и $\sin {\frac {n\pi a}{l}}t\cdot \sin {\frac {n\pi }{l}}x$ (4)

Каждое такое решение соответствует колебанию струны? дающей определенный тон. При $n=1$ период колебания равен ${\frac {l}{a}}$, узловые точки находятся на концах струны, а пучность—посередине, струна издает свой основной тон; при $n=2$ появляется новая узловая точка в середине струны, каждая половина струны колеблется в другую сторону, период равен ${\frac {l}{2a}}$, и струна издает тон на октаву (т. е. в 2 раза) более высокий, т. н. первый гармонический тон; при $n=3$ струна дает второй гармонический тон, в 3 раза более высокий, чем основной, и т. д. Тейлор считал свое частное решение общим и Полагал, что колебание струны всегда может быть по крайней мере с большим приближением, выражено формулой (4), если выбрать $n$ в соответствии с высотой тона. Наблюдение, что струна может одновременно давать различные свои тоны, привело Даниила Бернулли в 1753 к замечанию, что струна (согласно математической теории) может колебаться по формуле:

$u=\sum a_{n}\sin {\frac {n\pi x}{l}}\cos {\frac {n\pi a}{l}}(t-b_{n}),$

и. т. к., этим равенством объясняются все физические стороны явления, то он считал свое решение самым общим. Это решение вызвало, однако, возражения со стороны как Даламбера, так и Эйлера, тоже занимавшегося этой проблемой. Оба они считали, что решение Даламбера более общее, т. к. в него входят произвольные функции, которые, по их мнению, не могли быть изображены тригонометрическими рядами. Попытку доказать возможность такого разложения сделал Лагранж, но ему это не удалось. Окончательное решение было дано работой Фурье, результат которого формулирован выше. Позднейшие опыты Гельмгольца показали, что действительно, колеблющаяся струна всегда дает наряду со своим основным тоном и ряд обертонов, относительная интенсивность которых, определяемая коэффициентами $a_{n}$, характеризует тембр инструмента. Т. о., в этом первом разложении произвольной функции в ряд Фурье каждый из членов имеет реальный физический смысл.

Фурье предполагал, что ряд (1) всегда сходится, но он не производил исследования тех условий, при к-рых это предположение справедливо. Такое исследование произвел позже (в 1829) Лежен-Дирикле, к-рый и установил точные условия сходимости ряда (1) и, стало быть, условия применимости теоремы Фурье («условия Дирикле»). Дальнейшие исследования тригонометрических рядов привели Риманна к обобщению понятия об интеграле и послужили толчком к созданию Г. Кантором теории бесконечных множеств. Вейерштрасс при помощи тригонометрических рядов впервые построил непрерывную функцию, не имеющую производной.—В последние годы ряды Фурье получили новое обобщение для представления т. н. «почти-периодических функций». Этот класс функций не имеет точной периодичности, но значения такой функции воспроизводятся с любой степенью точности, если брать достаточно большие «почти-периоды». Гаральд Бор показал, что почти-периодическая функция может быть представлена «обобщенным рядом Фурье»:

$\sum a_{n}\cos(\lambda _{n}x+a_{n})$,

где $\lambda _{n}$ вообще уже не будут целыми числами.

Лит.: Лежен-Диракле П. Г., Риманн К., Липшиц Р., Разложение функций в тригонометрические ряды, Харьков, 1914; Тамаркин Я. и Смирнов В., Курс высшей математики для техников и физиков, т. II, Л., 1926.

В. Степанов.