Квадратура круга (Перельман)/Глава 6
← Глава 5 | Квадратура круга — Глава 6 |
Глава 7 → |
Опубл.: 1941. |
Десять задач
1. В старину при определении площади круглого участка землемеры часто поступали так: считали круг равновеликим квадрату, периметр которого равен длине окружности измеряемого участка. Какую относительную ошибку (в процентах) они при этом делали, если принять = 3,14? (Этот способ восходит к временам древнего Египта: он указан, наряду c другими, в папирусе Ринда. В средние века он был широко распространён также в Европе).
2. В древней египетской рукописи (в „папирусе Ринда“) находим следующее правило для определения площади круга: она равна площади квадрата, сторона которого составляет диаметра круга. Определите относительную ошибку такого расчёта в %%, принимая == 3,14.
3. У нас встарину употреблялся сходный с древнеегипетским (см. предыдущую задачу) приём вычисления площади круга, рекомендуемый старинными русскими руководствами по землемерному делу — площадь круга приравнивалась площади квадрата со сторонами, равными диаметра. Какой способ точнее — этот или древнеегипетский?
4. Валлис нашёл (1656 г.) для вычисления следующий ряд
и т.д.
Лейбниц вывел (1674) такое равенство:
Почему этими равенствами нельзя воспользоваться для точной квадратуры круга?
5. Индусский математик Брамагупта (VII век) предложил для следующее приближённое выражение:
Как помощью этого выражения приближённо решить задачу о квадратуре круга?
6. Проверьте следующее приближённое равенство:
Как воспользоваться этим соотношением для приближённой квадратуры круга?
7. Проверьте; приближенное равенство
Как воспользоваться им для приближенной квадратуры круга?
8. Проверьте следующее соотношение: периметр прямоугольного треугольника с катетами в и диаметра круга, приближённо равен длине окружности этого круга.
Как помощью этого соотношения приближённо решить задачу о квадратуре круга?
9. Голландский инженер Петр Меций нашёл (в 1585 г.) для легко запоминаемое выражение . Представив его в виде десятичной дроби, установите, сколько в ней верных цифр.
10. придумайте самостоятельно какое-нибудь правило, практически удобное для быстрого приближенного вычисления площади круга.