Квадратура круга (Перельман)/Глава 6

Материал из Wikilivres.ru
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Квадратура круга — Глава 6
автор Яков Исидорович Перельман (1882-1942)
Опубл.: 1941.


Десять задач

1. В старину при определении площади круглого участка землемеры часто поступали так: считали круг равновеликим квадрату, периметр которого равен длине окружности измеряемого участка. Какую относительную ошибку (в процентах) они при этом делали, если принять = 3,14? (Этот способ восходит к временам древнего Египта: он указан, наряду c другими, в папирусе Ринда. В средние века он был широко распространён также в Европе).

2. В древней египетской рукописи (в „папирусе Ринда“) находим следующее правило для определения площади круга: она равна площади квадрата, сторона которого составляет диаметра круга. Определите относительную ошибку такого расчёта в %%, принимая == 3,14.

3. У нас встарину употреблялся сходный с древнеегипетским (см. предыдущую задачу) приём вычисления площади круга, рекомендуемый старинными русскими руководствами по землемерному делу — площадь круга приравнивалась площади квадрата со сторонами, равными диаметра. Какой способ точнее — этот или древнеегипетский?

4. Валлис нашёл (1656 г.) для вычисления следующий ряд

и т.д.

Лейбниц вывел (1674) такое равенство:

и т.д.

Почему этими равенствами нельзя воспользоваться для точной квадратуры круга?

5. Индусский математик Брамагупта (VII век) предложил для следующее приближённое выражение:

Как помощью этого выражения приближённо решить задачу о квадратуре круга?

6. Проверьте следующее приближённое равенство:

Как воспользоваться этим соотношением для приближённой квадратуры круга?

7. Проверьте; приближенное равенство

Как воспользоваться им для приближенной квадратуры круга?

8. Проверьте следующее соотношение: периметр прямоугольного треугольника с катетами в и диаметра круга, приближённо равен длине окружности этого круга.

Как помощью этого соотношения приближённо решить задачу о квадратуре круга?

9. Голландский инженер Петр Меций нашёл (в 1585 г.) для легко запоминаемое выражение . Представив его в виде десятичной дроби, установите, сколько в ней верных цифр.

10. придумайте самостоятельно какое-нибудь правило, практически удобное для быстрого приближенного вычисления площади круга.