БСЭ1/Кривизна

← Кривенко, Сергей Николаевич

Кривизна Большая советская энциклопедия (1-е издание)

Кривичи →

Словник: «Крестьянская газета» — Ларсон. Источник: т. XXXV (1937): «Крестьянская газета» — Ларсон, стлб. 57—59

КРИВИЗНА, название, объединяющее ряд величин, к-рыми пользуются в дифференциальной геометрии (см.) для того, чтобы оценивать степень отклонения кривой линии или кривой поверхности от прямолинейности или от плоскостности.

К. плоской кривой. Направление плоской кривой в точке $M$ характеризуется углом $\theta$, к-рый образует у касательная к кривой в точке $M$ с осью абсцисс $(OX)$. Скорость изменения угла $\theta$ вдоль кривой и называется кривизной. Если $\Delta S$ — длина дуги $MM'$ (см. рис.), где $M$ — постоянная точка, а $M'$ — подвижная, то К. в точке $M$ определяется формулой $k={\frac {d\theta }{dS}}=\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta \theta }{\Delta S}}.$ Среди плоских кривых наиболее отчетливое представление о К. связано с окружностью: последняя представляется нам одинаково искривленной во всех своих частях и притом тем сильнее, чем меньше радиус $(R)$ окружности. И действительно, К. окружности постоянна и равна т. е. является величиной, обратной радиусу. В случае произвольной плоской кривой $(C)$ мы можем в любой ее точке $(M)$ построить окружность (т. н. соприкасающийся круг), наиболее тесно примыкающую к кривой $C$ в точке $M$. Для этого берем на $C$ две точки ($M'$ и $M''$), бесконечно-близкие к $M$, и через три точки $M,M',M''$ проводим окружность, предельное положение к-рой (когда точки $M'$ и $M''$, двигаясь по кривой, неограниченно приближаются к $M$) и даст соприкасающийся круг. К. кривой $C$ в точке $M$ равна К., какую имеет построенный для этой точки соприкасающийся круг. Центр соприкасающегося круга и его радиус называются центром К. и радиусом К. кривой $C$ в точке $M$. Если кривая задана в Декартовых прямоугольных координатах уравнением $y=f(x)$, то ее К. ($k$) и радиус К. ($\varrho$) определяются формулами:

$k={\frac {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\left[1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3/2}}};~~\varrho ={\frac {1}{k}}={\frac {\left[1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3/2}}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}}.$

‎Заметим, что эти формулы дают для величин $k$ и $\varrho$ определенный знак, зависящий от выпуклости и вогнутости (см.) кривой в точке $M$. — Если известен закон, по которому изменяется К. ($k$) как функция длины дуги ($s$), измеренной вдоль кривой от нек-рого начального пункта до точки $M$, то этим форма и размеры кривой вполне определены (произвольным остается только положение кривой на плоскости). Уравнение $k=f(s)$, выражающее упомянутый закон, называется поэтому «натуральным (или внутренним) уравнением» кривой; все кривые, имеющие одно и то же натуральное уравнение, конгруэнтны друг другу (могут быть совмещены посредством наложения). Из смежных дисциплин теория К. находит наибольшее применение в теоретической и прикладной механике (ускорение в криволинейном движении, изгиб балок и др.).

Кривизна и кручение пространственных кривых. Для пространственной кривой сохраняют то же определение кривизны при помощи соприкасающегося круга. Однако теперь одного уравнения $k=f(s)$ недостаточно для того, чтобы определить форму пространственной кривой. Например винтовая линия и окружность могут иметь во всех своих точках одну и ту же (постоянную) К., будучи существенно различными по форме. Для полного описания кривой вводят в рассмотрение еще одну величину  — вторую К., или кручение, — характеризующую степень отклонения кривой от плоскостности. Для того чтобы получить кручение $(\sigma )$ в точке $M$ пространственной кривой, строим в этой точке и в бесконечно-близкой точке $M'$ той же кривой «соприкасающиеся плоскости» (т. е. плоскости соприкасающихся кругов, соответствующих точкам $M'$ и $M''$); если $\alpha$ — угол (острый) между этими плоскостями, то кручение $\alpha =\lim {\frac {\alpha }{\smile ~M~M'}}$ когда точка $M'$ неограниченно приближается вдоль кривой к $M$. У всякой плоской кривой кручение в любой точке равно нолю. Двумя «натуральными уравнениями» $k=f(s),~~\sigma =\varphi (s)$ пространственная кривая вполне определяется, если отвлечься от ее положения в пространстве. Отсюда название, часто применяемое к неплоским линиям, — «кривые двоякой кривизны».

К. поверхности. К понятию о К. поверхности мы приходим, рассматривая в точке $M$ этой поверхности т. н. нормальные сечения. Для этого в точке $M$ строим нормаль к поверхности и устанавливаем на этой нормали определенное («положительное») направление. Какая-нибудь плоскость, проходящая через нормаль, даст в пересечении с поверхностью плоскую кривую  — одно из нормальных сечений; остальные нормальные сечения получим, вращая плоскость вокруг нормали. Каждое нормальное сечение как плоская кривая имеет определенную К., которую мы еще снабдим знаком $+$ или $-$, в зависимости от того, лежит ли центр К. этого нормального сечения на положительном или отрицательном луче нормали. Оказывается, что при полном обороте секущей плоскости вокруг нормали К. нормального сечения достигает один раз максимума и один раз минимума. Эти максимальная и минимальная К. называются главными К. поверхности в точке $M$; обратные им величины ($R_{1}$ и $R_{2}$) — радиусами главных К. Полусумма (иногда сумма) главных К. называется средней К. ($H$), а произведение их — полной или гауссовой К. ($K$) поверхности в данной ее точке: $H={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right),~~K={\frac {1}{R_{1}R_{2}}}.$ Если поверхность задана в Декартовых прямоугольных координатах уравнением $z=f(x,y)$, то

$2H={\frac {2pqs-(1+q^{2})r-(1+p^{2})t}{(1+p^{2}+q^{2})^{3/2}}},~~K={\frac {rt-s^{2}}{(1+p^{2}+q^{2})^{2}}}$

‎где, как обычно,

$p={\frac {\partial z}{\partial x}},~~q={\frac {\partial z}{\partial y}},~~r={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}},~~s={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}},~~t={\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}.$

В зависимости от характера геометрического исследования на первый план выступает то средняя, то полная К. Подобно тому, как на плоскости среди всех дуг, имеющих общие концы, наименьшей длиной обладает дуга нолевой К. (прямолинейный отрезок), точно так же в пространстве среди всех кусков поверхностей, ограниченных одним и тем же замкнутым контуром, наименьшую площадь представляет кусок поверхности с нолевой средней К. (т. н. минимальная поверхность). Такие минимальные поверхности могут быть реализованы с помощью мыльных пленок, образующихся на проволочном каркасе («опыты Плато»). — Если подвергнуть поверхность «изгибанию без складок и разрывов», т. е. такой деформации, при к-рой длины всех линий, начерченных на поверхности, сохраняются, то средняя К. при этом, вообще говоря, изменяется, но полная К. сохраняет в каждой точке прежнюю величину. Например полную К., равную нолю, имеет не только плоскость, но также конус, «цилиндр», вообще — любая поверхность, допускающая развертывание на плоскость. В силу этого полная К. играет важную роль в тех исследованиях, к-рые посвящены т. н. внутренней геометрии поверхности, не зависящей от того, какую форму мы придаем этой поверхности в объемлющем ее трехмерном пространстве (см. Геометрия). К внутренней геометрии относится, напр., свойство поверхности иметь в данной точке $k>0$ («эллиптическая точка») или $k<0$ («гиперболическая точка») или $k=0$ («параболическая точка»). Особый интерес представляет внутренняя геометрия на поверхностях постоянной (т. е. одинаковой во всех точках) полной К. Так, на поверхности постоянной отрицательной К. (псевдосфера, см.) осуществляется неевклидова геометрия Лобачевского.

Все, что говорилось о К. до сих пор, относилось к обычному пространству, изучаемому с точки зрения «группы евклидовых движений». В новейших геометрических системах («афинно-дифференциальная геометрия», «проективно-дифференциальная» и др.), в основу к-рых положены другие группы преобразований, К. возникает уже не из сопоставления кривой линии или поверхности с прямой или плоскостью, а появляется каждый раз как простейший (в известном смысле) дифференциальный инвариант (см.) рассматриваемой группы.

Лит.: Гурса Э., Курс математического анализа (вновь проем, и перераб. по 5 франц. изд. В. В. Степановым), 3 изд., т. I—II, М.—Л., 1936; Блашке В., Дифференциальная геометрия, геометрические основы теории относительности Эйнштейна..., М.—Л., 1935.

Я. Дубнов.