БСЭ1/Логика математическая

← Логика

Логика математическая Большая советская энциклопедия (1-е издание)

Логистика →

Словник: Лилль — Маммалогия. Источник: т. XXXVII (1938): Лилль — Маммалогия, стлб. 326—330

ЛОГИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ, дисциплина, исследующая свойства логич. операций, применяемых в математике; Л. м. исследует эти свойства теми же методами, какими, напр., алгебра исследует свойства операций арифметики. Целью Л. м. является создание исчисления, так же относящегося к обычной логике математического доказательства, как алгебра к арифметике или дифферецциальное и интегральное исчисление к задачам на касательные и квадратуры. Необходимость Л. м. обусловливается тем, что вообще в математике находит широкое применение исчисление; общие же законы всякого исчисления и изучаются Л. м. — Первые попытки создания логич. исчисления мы находим уже у Лейбница. Более систематически начатки Л. м. были развиты Булем (G. Boole, 1847). Шредеру (Е. Schröder, с 1890 по 1905) удалось полностью построить алгебру логики для элементарных частей этой дисциплины (т. н. логики предложений и логики предикатов, или свойств). Но в самостоятельную математич. дисциплину с собственными методами и задачами Л. м. превратилась лишь в связи с трудами по обоснованию математики, в первую очередь арифметики как теории чисел. Однако первые, включающие арифметику целых чисел системы Л. м., развитые логистами Г. Фреге (1879, 1893—1903), Б. Ресселем и Уайтхедом (1910—13), оказались неудовлетворительными. Несостоятельность этих систем была обусловлена тем идеалистич. и метафизич. основанием, на к-ром они были построены. В настоящее время Л. м. разрабатывается по преимуществу математиками, особенно Д. Гильбертом и его школой. Ряд результатов в этой области принадлежит и советским математикам.

Если основоположники Л. м. противополагали свое логическое исчисление логике в целом (Лейбниц думал даже, что наступит время, когда люди, вместо того чтобы спорить, возьмут карандаш и начнут вычислять), а нек-рые из их последователей занимались попытками конструкции логических машин (Джевонс и др.), долженствовавших заменить мышление вычислением (против чего со всей, вполне справедливой резкостью выступил еще Гегель), то дальнейшее развитие этой дисциплины показало, что она не только не отменяет логику в целом, но, наоборот, предполагает ее, показало, что переход к логическому исчислению возможен лишь на ее основе. Вместе с тем развитие Л. м. доказало не только недостаточность аристотелевской логики силлогизма (см.) для обоснования даже самых элементарных частей математики (арифметики натуральных чисел). Полностью провалилась идеалистическая метафизическая идея создания универсального логического исчисления, независимого от конкретного содержания тех областей, к которым оно применяется. Все попытки логистов (см. Логистика), стремившихся построить такое формальное и универсальное (по выражению Ресселя, пригодное во всех возможных мирах) логическое исчисление, кончились крахом. Это лишний раз подтверждает правильность материалистич. диалектики, к-рая учит о конкретности истины.

Л. м. пользуется широко развитой символической записью. К столь характерной для Л. м. символике, больше чем к какой-либо другой, относятся замечания В. И. Ленина: Отметить лишь, стр. [224], замечания о символах, что против них вообще ничего иметь нельзя. Но „против всякой символики“ надо сказать, что она иногда является „удобным средством обойтись без того, чтобы охватить, указать, оправдать „определения понятий“. А именно в этом дело философии» (Ленин, Философские тетради, М., 1936, стр. 117-118).

Самой элементарной частью Л. м. является логика предложений, рассматривающая предложения лишь как целые, которые можно комбинировать друг с другом посредством различных логических операций, но к-рые еще не рассматриваются в их связи с входящими в них понятиями. По содержанию эта часть Л. м, эквивалентна нек-рой арифметике двух чисел (напр., 1 и 0) или комбинаторике из двух объектов.

В логике предложений рассматриваются обычно 5 основных операций, позволяющих из предложений $P,Q,R...,$ каждое из к-рых либо истинно либо ложно и притом только одно из двух (высказывания, не подходящие под это требование, в этой части логики просто не рассматриваются), образовывать новые (сложные) предложения (приводимые ниже обозначения операций известны каждому исследователю в области Л. м., но не общеприняты; вполне единообразной символики не существует): 1) Операция отрицания, символически выражаемая либо чертой над предложением либо поставленным перед ним знаком $\rightharpoondown$. 2) Операция, выражением к-рой в разговорной речи служит союз «и». Для символического выражения ее пользуются знаком $\&$. Из двух предложений $P$ и $Q$ с помощью этой операции образуется одно (сложное) предложение $P~\&~Q$, истинное только в случае истинности каждого из предложений $P$ и $Q$ и ложное во всех остальных случаях. 3) Операция, соответствующая отчасти союзу «или» и обозначаемая знаком $\lor$. Предложение $P~\lor ~Q$ ложно только в случае ложности каждого из предложений $P$ и $Q$ и истинно во всех остальных случаях. 4) Операция, соответствующая образованию условного предложения (если... то ) и обозначаемая символом $\Rightarrow$ или $\supset$. Предложение $P~\supset ~Q$ (или в другой символике $P~\Rightarrow ~Q$) считается обычно ложным только в случае истинности предложения $P$ и ложности $Q$: формулу $P~\supset ~Q$ читают часто: «$P$ влечет $Q$». 5) Операция, соответствующая термину равносильно и обозначаемая знаком $\equiv$. Предложение $P~\equiv ~Q$ истинно в случае одновременной истинности или ложности предложений $P$ и $Q$.

Некоторые из этих операций, однако, могут быть сведены к другим. Так, предложение $P~\supset ~Q$ можно заменить предложением $\rightharpoondown P~\lor ~Q$ («неверно $P$ или же верно $Q$»); предложение $P~\equiv ~Q$ — предложением $(P~\supset ~Q)~\&~(Q~\supset ~P)$ ($P$ равносильно $Q$ означает, таким образом, то же самое, что «$P$ влечет $Q$ и $Q$ влечет $P$»).

Нетрудно заметить, что некоторые из образованных с помощью этих операций сложные предложения будут всегда истинными независимо от истинности или ложности входящих в них предложений $P,Q,R....$ Таково, напр., предложение, выражающее коммутативность операции $\&$, т. е. независимость сложного предложения $P~\&~Q$ от порядка предложений $P,~Q$: $P~\&~Q~\equiv ~Q~\&~P$; или предложение $P~\lor ~\rightharpoondown P$, выражающее закон исключенного третьего (применимость его к логике предложений обусловливается сделанными нами в отношении предложений $P,Q,R....$ допущениями и нашим определением операции). Такие всегда истинные предложения носят название логических, или тождественных. Они выражают законы логики.

Для логики предложений проблема paзpешимости, т. е. проблема создания регулярного способа вычислений (алгоритма), позволяющего совершенно механически, применяя правила, выяснить, представляет ли произвольно заданная формула правильное предложение или нет, решается полностью, ибо здесь нетрудно установить критерий, позволяющий с помощью конечного числа операций решить вопрос о том, имеем ли мы дело с предложением тождественным (всегда истинным), всегда ложным или иногда истинным, иногда ложным. Несмотря на то, что, применяя к предложениям $P,Q,R....$ рассмотренные нами операции, мы можем получить принципиально неограниченное число логических, или тождественных выражений, все они, однако, могут быть выведены из небольшого числа принятых за аксиомы предложений с помощью небольшого же числа простых правил, т. е. сама логика предложений тоже может быть построена, как дедуктивная система. В качестве такой системы аксиом можно выбрать, напр., следующую:

I.	1) $A~\supset ~(B~\supset ~A),$
	2) $(A~\supset ~(A~\supset ~B))~\supset ~(A~\supset ~B),$
	3) $(A~\supset ~B)~\supset ~((B~\supset ~C)~\supset ~(A~\supset ~C)).$
II.	1) $(A~\&~B)~\supset ~A,$
	2) $(A~\&~B)~\supset ~B,$
	3) $(A~\supset ~B)~\supset ~((A~\supset ~C)~\supset ~(A~\supset ~(B~\&~C))).$
III.	1) $A~\supset ~(A~\lor ~B),$
	2) $B~\supset ~(A~\lor ~B),$
	3) $(A~\supset ~C)~\supset ~((B~\supset ~C)~\supset ~((A~\lor ~B)~\supset ~C)).$
IV.	1) $\rightharpoondown ~A~\supset ~(A~\supset ~B),$
	2) $(A~\supset ~B)~\supset ~((A~\supset ~\rightharpoondown ~B)~\supset ~\rightharpoondown ~A),$
	3) $(A~\supset ~B)~\supset ~((\rightharpoondown ~A~\supset ~B)~\supset ~B).$

Можно сказать, что аксиомы первой группы определяют при этом операцию «если... то», второй — «и», третьей — «или», четвертой — «отрицания».

Особого внимания заслуживает четвертая группа аксиом (аксиомы отрицания). Аксиома IV, 1) может быть. словесно изложена так: «если $A$ ложно, то предположение, что $A$ истинно, повлечет как следствие истинность любого предложения $B$». Так, напр., ебли предположить. что $0=1$, то отсюда получится как следствие любое равенство между числами как любое верное, так и любое неверное равенство. Принцип, выражаемый этой аксиомой, отсутствовал в логике Аристотеля. Аксиома IV, 2) влечет за собой предложение $\rightharpoondown ~(A~\&~\rightharpoondown ~A).$ Это — принцип противоречия в логике Аристотеля: «одно и то же предложение $A$ не может быть и истинно и ложно». Аксиома IV, 3) влечет за собой предложение $A~\lor ~\rightharpoondown ~A.$ Это — принцип исключенного третьего в логике Аристотеля: «любое предложение $A$ или истинно или ложно». Приведенные аксиомы дают только описание операций над предложениями. Для того же, чтобы иметь возможность делать выводы из этих аксиом, надо установить еще правила, следуя к-рым должны делаться эти выводы. Таких правил достаточно установить три: $\alpha$) предложения, выражаемые аксиомами I, 1)—IV, 3), всегда истинны; $\beta$) если предложение, составленное посредством нек-рых операций над предложениями $A,B,...,$ всегда истинно, то и после замены здесь одного на предложений $A,B,...$ каким угодно, но одним и тем же предложением, получается предложение, всегда истинное; $\gamma$) если предложение $A$ и $A~\supset ~B$ истинны, то и предложение $B$ истинно. Так, напр., из аксиомы I, 1) по правилу $\beta$) (после замены предложения $B$ предложением $A)$ получается

$A~\supset ~(A~\supset ~A),$

(1)

‎Точно так же из аксиомы I, 2) по правилу $\beta$) (после замены предложения $B$ предложением $A)$ получается

$(A~\supset ~(A~\supset ~A))~\supset ~(A~\supset ~A).$

(2)

‎Наконец, из (1) и (2) по правилу $\gamma$) [где в качестве предложения $A$ берется предложение $A~\supset ~(A~\supset ~A),$ а в качестве предложеция $B$ ― предложение $A~\supset ~A$] выводится $A~\supset ~A.$ Это ― то, что соответствует принципу тождества в логике Аристотеля.

Хотя логика предложений (или какая-нибудь ее модификация) составляет неизбежную часть всякой развитой Л. м., однако одной ее недостаточно даже для простейших математич. выводов. Первая серьезная попытка обоснования математики с помощью Л. м. привела поэтому к необходимости расширить эту логику и создать т. н. логику функций, или отношений. Эта часть логики оперирует уже не только с предложениями как целыми, но и с понятиями, или отношениями (функциями). Предложение рассматривается при этом как образуемое из функций по определенным правилам. Так, выражение $x<y$ есть не предложение, а функция, или отношение, превращающееся в предложение при подстановке вместо переменных $x$ и $y$ объектов той области, для к-рой имеет смысл это отношение (напр. чисел), а также т. н. кванторов — терминов: «все» и «существует». Например, из функции $2x=4$ можно получить предложения (как истинные, так и ложные):

1) $2\cdot 2=4$ (истина),

2) $2\cdot 5=4$ (ложь),

3) Существует $x$, для которого $2x=4$ (истина). В символах Л. м. $(Ex)(2x=4),$

4) Для всех $x~~2x=4$ (ложь). В символах Л. м. $(x)~~(2x=4).$

Нужно отметить, что введение кванторов «все» и «существует» для конечных областей не означает ничего нового, ибо утверждение, напр., что «все трехзначные целые числа, оканчивающиеся двумя нолями, делятся на 25», означает только, что «$100$ делится на $25$ и $200$ делится на $25$ и $200$ делится на $25$ и .. и $900$ делится на $25$», т. е. квантор «все» равносилен в этом случае несколько раз примененной операции $\&.$ Точно так же утверждение, что «существует трехзначное число, оканчивающееся двумя нолями и делящееся на $8$», означает только: «или $100$ делится на $8$, или $200$ делится на $8$, или $300$ делится на $8$, или ... или $900$ делится на $8$», т. е. квантор «существует» равносилен в этом случае несколько раз примененной операции $~\lor ~.$

Если $F~(x)$ означает какую-нибудь функцию, $x$ — переменный объект области, к к-рой она отнесена, $a$ — некоторый объект той же области, то нетрудно показать, что для конечных областей всегда истинны выражения:

$(x)~F(x)~\supset ~F(a),$ $F(a)~\supset ~(Ex)~F(x).$

Однако в случае бесконечных областей (арифметика, оперирующая с натуральными числами, имеет дело с бесконечной областью) предложения эти становятся недоказуемыми и должны быть приняты как новые аксиомы, определяющие кванторы «все» и «существует». Введение этих кванторов в этом случае равносильно как бы введению бесконечного числа операций $\&$ и $\lor$, и можно сказать, что переход от логики предложений к логике функций аналогичен в известном смысле переходу от элементарной алгебры к анализу бесконечно-малых. В соответствии с введением новых родов переменных (переменных функций и объектов) приходится не только расширять при этом систему аксиом, но и значительно усложнять (и конкретизировать) правило подстановки Если для логики предложений проблема разрешимости решается полностью, то здесь она решена лишь в ряде отдельных случаев.

И созданием логики функций не исчерпывается, однако, Л. м. При переходе к более конкретным областям математики приходится усложнять и конкретизировать и самое логическое исчисление. В частности, теоремы арифметики трактуют не только об объектах определенной области, но и об имеющих среди них место отношениях. Самое отношение, таким образом, тоже может быть подставлено на место переменной в функцию.

В начале развития Л. м. была сделана соблазнительная попытка построить такую систему знаков и правил, которые позволили бы сразу охватить обыкновенные логические функции (функции первого порядка), функции второго порядка, допускающие в качестве аргументов функции первого порядка, и т. д. Однако вскоре обнаружилось (см. Парадоксы математические), что такая универсальная система Л. м. неизбежно приводит к формальным противоречиям. Дальнейшие исследования сделали еще более ясным, что все логические средства, могущие понадобиться математике, не могут быть соединены в одну формально непротиворечивую систему, допускающую единообразную символическую запись. Всякая такая формальная и символизированная система отщепляет лишь некоторую часть необходимых в диалектическом развитии науки логических средств. Построение Л. м., таким образом, возможно только на основе содержательного и притом диалектического мышления, только набазе материалистической диалектики. Тесная историч. связь Л. м. с идеалистич. философией разных толков привела к тому, что с этой дисциплиной связаны различные идеалистич. спекуляции, особенно ярко проявившиеся в так называемой логистике (см.). См. также Формализм в философии математики, Интуиционизм, Конвенционализм.

Лит.: Вейль Г., О философии математики. Сборник работ, пер. с нем., М. — Л., 1934; Гейтинг А., Обзор исследований по основаниям математики. Интуиционизм — теория доказательства, пер. с нем., М. — Л., 1936; Couturat L., L’algèbre de la logique, Р., 1905 (есть рус. пер.: Кутюра Л., Алгебра логики, Одесса, 1909); Whitehead А. N. and Russell В., Prlncipia mathematica, v. I — III, Cambridge, 1910—13; Hilbert D. und Ackermann W., Grundzuge der theoretischen Logik, Berlin, 1928; Hilbert D. und Вernaуs P., Grundlagen der Mathematik, [Bd] I, Berlin, 1934.

С. Яновская, В. Гливенко.