БСЭ1/Выпуклость и вогнутость

Выпуклость и вогнутость
Большая советская энциклопедия (1-е издание)

Словник: Волчанка — Высшая. Источник: т. XIII (1929): Волчанка — Высшая, стлб. 760—761

ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ, одно из двух возможных расположений кривой линии относительно прямой. Если кривая вблизи точки $M$ по обе стороны от нее расположена между касательной $PQ$ (см. чертеж) и прямой $AB$ , то говорят,что она в этой точке обращена к прямой $AB$ вогнутостью; если же, как в точке $M'$ , кривая вблизи точки расположена относительно касательной не со стороны прямой $AB$ , а с противоположной стороны, то говорят, что она в этой точке обращена к прямой $AB$ выпуклостью. Если примем прямую $AB$ за ось $x$ -ов, а ординату точки $M$ обозначим через $y$ , то кривая обращена в точке $M$ к прямой $AB$ вогнутостью, когда ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ имеет в точке $M$ тот же знак, что и $y$ , и выпуклостью—в противоположном случае. Если ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ обращается в точке $M$ в нуль, а ${\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}$ в ней в нуль не обращается, то кривая в этой точке переходит от вогнутости к выпуклости: она имеет в этой точке (на чертеже в точке $N$ ) перегиб (см. Точки перегиба). Если и ${\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}$ обращается в точке $M$ в нуль, то критерий остается тот же, только вместо 2-й и 3-й производных рассматривают 4-ю и 5-ю; при уничтожении 4-й и 5-й производных, вопрос решает 6-я и 7-я, и т. д. Аналогично определяется вогнутость и выпуклость поверхности относительно данной плоскости; здесь, однако, возможно большее многообразие случаев в зависимости от кривизны (см.) поверхности в рассматриваемой точке.