ЭСГ/Риман, Бернгард

Материал из Wikilivres.ru
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Риман, Бернгард
Энциклопедический словарь Гранат
Brockhaus Lexikon.jpg Словник: Речь Посполитая — Род. Источник: т. 36 ч. II (1933): Речь Посполитая — Род, стлб. 523—527


Риман (Riemann), Бернгард, выдающийся нем. математик (1826—1866), один из творцов современной многомерной дифференциальной геометрии и теории функций комплексного переменного. Род. в Брезеленце (близ Ганновера) в семье сельского пастора, в 1846 г. слушает в геттингенском университете лекции Гаусса, затем учится у Якоби и Дирихле в Берлине и снова в Геттингене участвует в семинарии физика Вебера, что на всю жизнь привило ему интерес к физике; в 1851 г. Р. защищает докторскую диссертацию «Основания общей теории функций комплексной величины» («Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse»); в 1854 г. он получает звание приват-доцента, напечатав сочинение «О возможности представления функции тригонометрическим рядом», где он обобщает понятие интеграла (интеграл Р.), и прочтя знаменитую вступительную лекцию «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» («Über die Hypothesen die der Geometrie zugrunde liegen»; напеч. Дедекиндом в 1868 г. в Göttinger Abhandlungen, в 1919 г. переезд. Вейлем). В 1857 г. он избирается профессором, печатает «Теорию абелевых функций», «О числе простых чисел не свыше данной величины». В конце жизни Р. вернулся к вопросам физики — «О распространении плоских волн конечной длины», «Об одном вопросе распространения тепла» («Commentatio mathematica etc.»), где он дает весь аппарат квадратичных дифференциальных форм, применяемый теперь в теории относительности (см. XLI, ч. 7, 424/26). Последние 3 года, жизни Р. провел больной в Италии.

Р. — человек блестящей интуиций. Во всех областях, которые он затронул, он оставил глубокий след, давая 4 новые идеи, хотя и не всегда до конца обоснованные. Наиболее важны его работы но дифференциальной геометрии и по теории функций комплексного переменного, хотя сам он более придавал значения своим размышлениям по натурфилософии.

К геометрии относятся только две его статьи: вступительная лекция «О гипотезах и т. д.» и сочинение на премию Парижской академии «Commentatio etc.»; первая дает изложение общих принципов, без единой формулы, построения риманова пространства; вторая изложена так кратко, что по этой причине не получила премии. Тем не менее, они определили все развитие дифференциальной геометрии до наших дней. (Изложение римановой геометрии см. теоретические основания математики, XLI, ч. 7, 384'/92').

Работы Р. по теории функций комплексного переменного более многочисленны. Р. является родоначальником одного из трех направлений этой дисциплины (Коши, Р., Вейерштрасс), хотя охотно пользуется и другими методами.

Пусть есть функция комплексного переменного ; так как z может меняться при изменении только одного x или у или обоих вместе, то, чтобы существовала одна определенная производная в данной точке z, надо, чтобы и совпали бы, т.-е., чтобы , ... (1) (условия Коши-P.). Отсюда следует, что u и v каждая удовлетворяет одному и тому же уравнению (Лапласа): ... (2) (См. функция, XLV, ч. 1, 43/44). Тому же уравнению удовлетворяет потенциал скоростей, u (Гельмгольц) плоского движения несжимаемой жидкости ( и — компоненты скорости); та же величина u есть температура в задаче установившегося распространения тепла (Фурье), электростатический потенциал в задаче стационарного электрического тока (Кирхгоф). Эти сопоставления характерны для Р. Напр., из того, что при заданной температуре на границах на поверхности установится единственное распределение тепла, следует, что существует аналитическая функция w при заданных значениях ее действительной части u на границе. Аналитическая функция, по Р., удовлетворяет уравнениям (1) и получается непрерывным продолжением из задания в некоторой начальной области (см., XLV, ч. 2, 45 сл.). Чрезвычайно большое значение для ее исследование имеет понятие римановой поверхности. Еще Коши изображает комплексное число z точкой на плоскости с координатами x и y. Изменению переменного z соответствует движение точки по плоскости. Если функция однозначна, то каждой точке плоскости соответствует одно число w. Пусть теперь w многозначна, напр, определяется уравнением В каждой точке z мы имеем два значения и одно переходит в другое, когда точка z обойдет вокруг начала координат . Р. заменяет плоскость двумя наложенными друг на друга листами; они имеют одну общую точку (точка разветвления) — начало координат. Если, кроме того, разрежем оба листа от начала координат, напр. по положительной оси у, и соединим правый край верхнего листа с левым нижнего, то мы получим риманову поверхность для функции w. Каждой точке листа соответствует только одно значение функции, и при обходе около начала мы переходим с одного листа на другой, т.-е. приходим с новым значением функции. Число листов римановой поверхности, точки разветвления ее и взаимная связанность ее листов характеризует функцию (см. XLV, ч. 2,53). Напр., функция, однозначная на римановой поверхности с n листами и имеющая из особых точек только полюсы (точки, где функция обращается в бесконечность), есть алгебраическая функция, удовлетворяющая уравнению n-ой степени. — Исследование связанности римановой поверхности дало толчок развитию новой геометрической дисциплины — топологии (см.).

С работами по теории функций комплексного переменного тесно связаны исследования Р. по вопросам математической физики. Основной целью Р. ставил «исследовать взаимную» связь между теплотой, светом, магнетизмом и электричеством через изучение трудов Ньютона, Эйлера и, с другой стороны, Гербарта». Кроме отдельных статей, в этом направлении были опубликованы (его учениками) курсы лекций: «Притяжение, электричество и магнетизм», «Уравнения с частными производными и их приложения в вопросах физики». В особенности последняя книга получила большое распространение среди лиц, работающих в приложениях математики. Она неоднократно переиздавалась (Гаттендорф, 6 изданий Вебер, Мизес-Франк), впрочем в совершенно переработанном виде. — «Gesammelte mathematische Werke» с прилож. биографии Р. были изданы в 1876 г. Г. Вебером и Дедекиндом.

С. Фиников.

.