БСЭ1/Полином

Материал из Wikilivres.ru
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Полином
Большая советская энциклопедия (1-е издание)
Brockhaus Lexikon.jpg Словник: Пола — Призмы оптические. Источник: т. XLVI (1940): Пола — Призмы оптические, стлб. 47—48


ПОЛИНОМ (многочлен, или целая рациональная функция), сумма конечного числа членов вида , где —постоянное (действительное или комплексное) число (коэфф, данного члена), —независимые переменные (также действительные или комплексные), показатели степеней —целые числа, положительные или равные нолю. Сумма показателей называется степенью члена, а наивысшая из степеней членов (с коэффициентами, отличными от ноля)—степенью П. Например, есть П. от переменных и шестой степени, а —П. третьей степени одного переменного . П., все члены к-рого имеют одинаковую степень, называется однородным. При сложении, вычитании и умножении П. снова получаются П., так что совокупность П. является кольцом (см.). Если два П. равны между собой при любых значениях независимых переменных, то у этих П. коэффициенты при соответствующих членах (т. е. членах с одинаковыми степенями независимых переменных) должны быть одинаковы. Наибольший интерес представляют П. от одного независимого переменного. П. -й степени от одного независимого переменного имеют вид

(1)
(коэфф. предполагается отличным от ноля, из других коэффициентов некоторые или даже все могут быть равны нолю). В теории П. от одного независимого переменного основным является понятие корня П., т. е. значения независимого переменного, при котором П. равен нолю.

Согласно т. н. основной теореме высшей алгебры, веяний П. от одного независимого переменного имеет но крайней мере один (действительный или комплексный) корень. Число различных корней П. -й степени не может быть больше . Если , есть корень П., то этот П. делится без остатка на . Если П. делится на (—целое положительное число) и не делится на , то число называется кратностью корня . Если —корни П. (1), а кратности этих корней, то


причем, очевидно, . В современной алгебре рассматриваются также П., в к-рых коэффициенты и независимые переменные являются элементами нек-рого кольца. Для таких П. не все изложенное выше является верным (напр., П. -й степени от одного переменного может иметь более корней).

Лит.: Бохер М., Введение в высшую алгебру. М.—Л., 1933; Ван-дер-Верден Б. Л., Современная алгебра, ч. 1, М.—Л., 1934; Сушкевич А. К., Основы высшей алгебры, 3 изд., Москва—Ленинград, 1937.