БСЭ1/Момент

← Момбаса

Момент Большая советская энциклопедия (1-е издание)

Момент главный →

Словник: Мерави — Момоты. Источник: т. XXXIX (1938): Мерави — Момоты, стлб. 747—748

МОМЕНТ, математическое понятие, играющее значительную роль в механике и теории вероятностей. Если на прямой линии расположена система материальных точек, массы к-рых соответственно равны $m_{1},m_{2},...,$ а абсциссы относительно некоторого начала отсчета $O$: $x_{1},x_{2},...,$ то М. порядка $k$ этой системы относительно точки $O$ называют сумму $\sum _{i}^{}{x_{i}^{k}m_{i}}$ М. первого порядка в механике называют статическим моментом, а М. второго порядка — моментом инерции. Если в выражении моментов все абсциссы заменить их абсолютными значениями, то получатся т. н. абсолютные М. Точка с абсциссой $\left(\sum _{i}^{}{x_{i}m_{i}}\right)$ $:$ $\left(\sum _{i}^{}{m_{i}}\right)$ называется центром данной системы масс; при вычислении моментов эта точка обычно является наиболее удобным началом отсчета. Моменты, вычисленные относительно центра, называются центральными. Центральный момент первого порядка для всякой системы равен нолю. Для моментов инерции имеет место теорема сдвига: М. инерции системы относительно любой точки $O$ равен центральному М. инерции, сложенному с произведением полной массы системы на квадрат расстояния точки $O$ от центра системы. Отсюда, в частности, следует, что из всех М. инерции центральный является наименьшим. Неравенство Чебышева: сумма масс, находящихся от точки $O$ на расстоянии, большем, чем $a$, не превышает момента инерции системы относительно $O$, разделенного на $a^{2}$. В случае непрерывно распределенной массы суммы в выражениях моментов заменяются интегралами; если плотность материи в точке с абсциссой $x$ равна $f(x)$, то М. порядка $k$ данного распределения масс называется выражение

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }x^{k}f(x)\,dx$

к-рому приписывается определенный смысл только в случае абсолютной сходимости интеграла. Все упомянутые определения и теоремы при этом сохраняют силу.

В теории вероятностей роль абсцисс играют различные возможные значения случайной величины, а на места масс становятся соответствующие вероятности. М. первого порядка, к-рый здесь всегда совпадает с центром (так как общая масса равна 1), называется математическим ожиданием (см.) данной случайной величины, а центральный М. второго порядка — ее дисперсией (см.). В теории вероятностей чрезвычайно важную роль играет упомянутое неравенство Чебышева. В практической статистике М. служат обычно основными статистич. сводными характеристиками данных или искомых распределений.

Выше говорилось только о линейных распределениях. Но в приложениях (в особенности механических) часто и даже преимущественно рассматриваются распределения масс на плоскости или в пространстве. Здесь говорят о моментах относительно точек, прямых или плоскостей. Так, моментом инерции данной системы материальных точек относительно данной точки, прямой или плоскости называют сумму $\sum _{i}^{}{m_{i}r_{i}^{2}}$ где $r_{i}$ — означает расстояние точки с массой $m_{i}$ от данной точки, прямой или плоскости.

Вопрос о том, при каких дополнительных условиях совокупность моментов $m_{k}=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }x^{k}f(x)\,dx,~k=0,1,2,...,$ однозначно определяет функцию $f(x)$, имеет большое значение для теории вероятностей и многих других областей математики. Примыкающие к этой проблеме исследования составляют т. н. теорию моментов.

Лит.: Общие учебники теории вероятностей и механики, напр. — Бернштейн С. Н., Теория вероятностей, М. — Л., 1927; Кирпичев В. Л., Беседы о механике, 3 изд., Москва — Ленинград, 1933. См. также Гливенко В. И., Интеграл Стильтьеса, Москва — Ленинград, 1936, гл. III — IV.

А. Хинчин.